四川省达州市大竹县文星中学2015届高三数学上学期期末考试试题理

-1-四川省达州市大竹县文星中学2015届高三上学期期末考试数学（理）试题考试时间：120分钟；满分150分第I卷（选择题）一、选择题：共12题每题5分共60分1．若集合A={0,1,2,3},B={1,2,4},则集合A∪B=A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{1,2}D.{0}2．函数y＝sin(π2x＋θ)·cos(π2x＋θ)在x＝2时取最大值，则θ的一个值是()A．π4B．π2C．2π3D．3π43．设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝()A．2＋3iB．2－3iC．3＋2iD．3－2i4．k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱的对角面个数f(k＋1)为()A．f(k)＋k－1B．f(k)＋k＋1C．f(k)＋kD．f(k)＋k－25．已知a0，b0，a、b的等差中项为12，且α＝a＋1a，β＝b＋1b，则α＋β的最小值为()A．3B．4C．5D．66．若m，n是正整数，则m＋nmn成立的充要条件是()A．m，n都等于1B．m，n都不等于2C．m，n都大于1D．m，n至少有一个等于17.函数f(x)＝3x－4x3(x∈[0,1])的最大值是()A.12B．－1C．0D．18．某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为-2-A.πB.πC.4πD.16π9．阅读下面的程序框图,输出的结果是A.9B.10C.11D.1210．已知双曲线22221xyab的渐近线方程为3yx，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于A.1B.22C.32D.1211．如果实数x,y满足不等式组目标函数z=kx+y的最大值为12,最小值为3,那么实数k的值为A.2B.-2C.1D.-112．已知函数f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,若对于任一实数x,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数,则实数m的取值范围是A.(0,2)B.(0,8)C.(2,8)D.(-∞,0)-3-第II卷（非选择题）二、填空题：共4题每题5分共20分13.随机变量ξ的取值为0,1,2，若P(ξ＝0)＝15，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.14．观察下列等式(1+1)=2×1(2+1)(2+2)=22×1×3(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5……照此规律,第n个等式可为.15.下图展示了一个由区间)1,0(到实数集R的映射过程：区间()0,1中的实数m对应数上的点m，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点BA,恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为()0,1，如图3.图3中直线AM与x轴交于点(),0Nn，则m的象就是n，记作()fmn=.下列说法中正确命题的序号是.(填出所有正确命题的序号)①方程()0fx=的解是x=12；②114f；③fx是奇函数；④fx在定义域上单调递增；⑤fx的图象关于点1,02对称．16．对于定义域在R上的函数f(x)，若实数x0满足f(x0)＝x0，则称x0是函数f(x)的一个不动点．若函数f(x)＝x2＋ax＋1没有不动点，则实数a的取值范围是__________．三、解答题：(共6题，共72分)17．(本题10分)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x＝π6处取得最大值-4-2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为π2.(1)求f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝6cos4x－sin2x－1＋π6的值域．18．(本题12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．19.（本题12分）在四棱锥ABCDP中，BCAD//，090ABCAPB，点M是线段AB上的一点，且CDPM，BMADPBBCAB422．（1）证明：面PAB面ABCD；（2）求直线CM与平面PCD所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）已知等差数列}{na的公差为2，前n项和为nS，且1S，2S，4S成等比数列。（Ⅰ）求数列}{na的通项公式；（Ⅱ）令nb=,4)1(11nnnaan求数列}{nb的前n项和nT。21．（本题13分）已知函数f(x)＝x2＋ax＋3，g(x)＝(6＋a)·2x－1.(1)若f(1)＝f(3)，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，判断函数F(x)＝21＋的单调性，并给出证明；(3)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a(a∉(－4,4))恒成立，求实数a的最小值．22．（本题13分）PABMCD-5-椭圆C错误!未找到引用源。=1（ab0）的离心率32e，a+b=3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m-k为定值．参考答案∴α＋β＝a＋1a＋b＋1b＝1＋a＋ba＋a＋bb＝3＋ba＋ab≥3＋2＝5.故选C.6.答案D【解析】∵m＋nmn，∴(m－1)(n－1)1.∵m，n∈N*，∴(m－1)(n－1)∈Z，-6-∴(m－1)(n－1)＝0.∴m＝1或n＝1，故选D.7.答案D【解析】由f′(x)＝3－12x2＝0得，x＝±12，∵x∈[0,1]，∴x＝12，∵当x∈[0，12]，f′(x)0，当x∈[12，1]时，f′(x)0，∴f(x)在[0，12]上单调递增，在[12，1]上单调递减，故x＝12时，f(x)取到极大值也是最大值，f(12)＝3×12－4×(12)3＝1，故选D.8.D【解析】本题主要考查三视图、空间几何体的结构和球的表面积公式,意在考查考生的空间想象能力.如图所示,由三视图可知该几何体为圆锥AO,AD为该圆锥外接球的直径,则AO=1,CO=,由射影定理可知CO2=AO·OD,得OD=3,所以外接球的半径为(AO+OD)=2,表面积为4π×22=16π.9.B【解析】本题主要考查算法与程序框图的相关知识,考查运算求解能力.a=95→y=ax是减函数,否→a=×(95-1)=47→y=ax是减函数,否→a=×(47-1)=23→y=ax是减函数,否→a=×(23-1)=11→y=ax是减函数,否→a=×(11-1)=5→y=ax是减函数,否→a=×(5-1)=2→y=ax是减函数,否→a=×(2-1)=→y=ax是减函数,是→x=1→ax=()110-3,是→x=1+1=2→ax=()210-3,是→x=2+1=3→ax=()310-3,是→…→x=8+1=9→ax=()910-3,是→x=9+1=10→ax=()1010-3,否→输出x为10.10.D11.A12.B13.25【解析】本题考查期望，方差的求法．设ξ＝1概率为P.则E(ξ)＝0×15＋1×P＋2(1－P－15)＝1，∴P＝35.故D(ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)×35＋(2－1)2×15＝25.14.(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1)【解析】本题主要考查归纳推理,考查考生的观察、归纳、猜测能力.观察规律可知,左边为n项的积,最小项和最大项依次为(n+1),(n+n),右边为连续奇数之积乘以2n,则第n个等式为(n+1)(n+2)·(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1).15.①④○516.(－1,3)-7-【解析】由题意，得方程x2＋ax＋1＝x，即x2＋(a－1)x＋1＝0无实根，∴Δ＝(a－1)2－4＝a2－2a－3＜0，∴－1＜a＜3.17.解：(1)由题设条件知f(x)的周期T＝π，即2πω＝π，解得ω＝2.因为f(x)在x＝π6处取得最大值2，所以A＝2，从而sin(2×π6＋φ)＝1，所以2×π6＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，又由－πφ≤π，得φ＝π6.故f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x＋π6)．(2)g(x)＝6cos4x－sin2x－1＋π2＝6cos4x＋cos2x－22cos2x＝－＋－1＝32cos2x＋1(cos2x≠12)．因cos2x∈[0,1]，且cos2≠12.故g(x)的值域为[1，74)∪(74，52]．18.解：(1)设至少有一组研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功，因为甲，乙成功的概率分别为23，35.则P(B)＝(1－23)×(1－35)＝13×25＝215，再根据对立事件概率之间的公式可得P(A)＝1－P(B)＝1315，所以至少一种产品研发成功的概率为1315.(2)由题可设该企业可获得利润为ξ，则ξ的取值有0,120＋0,100＋0,120＋100，即ξ＝0,120,100,220，由独立试验的概率计算公式可得：P(ξ＝0)＝(1－23)×(1－35)＝215；-8-P(ξ＝120)＝23×(1－35)＝415；P(ξ＝100)＝(1－23)×35＝15；P(ξ＝220)＝23×35＝25；所以ξ的分布列如下：ξ0120100220P(ξ)2154151525则数学期望E(ξ)＝0×215＋120×415＋100×15＋220×25＝32＋20＋88＝140.19.解（1）由BMPBAB42，得ABPM，又因为CDPM，且CDAB，所以PM面ABCD，且PM面PAB．所以，面PAB面ABCD。（2）过点M作CDMH，连结HP，因为CDPM，且MMHPM，所以CD平面PMH，又由CD平面PCD，所以平面PMH平面PCD，平面PMH平面PHPCD，过点M作PHMN，即有MN平面PCD，所以MCN为直线CM与平面PCD所成角．在四棱锥ABCDP中，设tAB2，则172CMt，tPM23，tMH1057，∴tPH554，tMN1637，从而751sin136MNMCNCM，即直线CM与平面PCD所成角的正弦值为751136．20.解：（Ⅰ）,64,2,,2141211daSdaSaSd4122421,,SSSSSS成等比解得12,11naan-9-（Ⅱ）)121121()1(4)1(111nnaanbnnnnn11111(1)()()335571111()()23212121nnTnnnn当为偶数时，1221211nnnTn11111(1)()()335571111()()23212121nnTnnnn当为奇数时，12221211nnnTn为奇数为偶数nnnnnnTn,1222,12221．解：(1)∵f(1)＝f(3)，∴函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝2，即－a2＝2，故a＝－4.(2)由(1)知，g(x)＝(6－4)·2x－1＝2x，F(x)＝21＋2x(x∈R)函数F(x)在R上是减函数设x1，x2∈R，且x1x2.∴Δx＝x2－x10，Δy＝F(x2)－F(x1)＝21＋2x2－21＋2x1＝1＋1－2x2－＋2x1＋2x2＝1－＋2x1＋.根据指数函数性质及x1x2，得2x1－2x20，由上式得Δy0，所以F(x)在R上是减函数．(3)f(x)＝x2＋ax＋3＝(x＋a2)2＋3－a24，x∈[－2,2]，又a∉(－4,4)，故－a2∉(－2,2)．-10-①当－a2≥2，即a≤－4时，f(x)在[－2,2]上单调递减，f(x)min＝f(2)＝7＋2a，故7＋2a≥a，即a≥－7.所以－7≤a≤－4.②当－a2≤－2，即a≥4时，f(x)在[－2,2]上