大学物理学(第三版上)课后习题5答案详解

习题55.1选择题(1)一物体作简谐振动，振动方程为)2cos(tAx，则该物体在0t时刻的动能与8/Tt（T为振动周期）时刻的动能之比为：(A)1：4（B）1：2（C）1：1(D)2：1[答案：D](2)弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹性力在半个周期内所作的功为(A)kA2(B)kA2/2(C)kA2//4(D)0[答案：D](3)谐振动过程中，动能和势能相等的位置的位移等于(A)4A(B)2A(C)23A(D)22A[答案：D]5.2填空题(1)一质点在X轴上作简谐振动，振幅A＝4cm，周期T＝2s，其平衡位置取作坐标原点。若t＝0时质点第一次通过x＝－2cm处且向X轴负方向运动，则质点第二次通过x＝－2cm处的时刻为____s。[答案：23s](2)一水平弹簧简谐振子的振动曲线如题5.2(2)图所示。振子在位移为零，速度为－A、加速度为零和弹性力为零的状态，对应于曲线上的____________点。振子处在位移的绝对值为A、速度为零、加速度为－2A和弹性力为－KA的状态，则对应曲线上的____________点。题5.2(2)图[答案：b、f；a、e](3)一质点沿x轴作简谐振动，振动范围的中心点为x轴的原点，已知周期为T，振幅为A。(a)若t=0时质点过x=0处且朝x轴正方向运动，则振动方程为x=___________________。(b)若t=0时质点过x=A/2处且朝x轴负方向运动，则振动方程为x=_________________。[答案：cos(2//2)xAtT；cos(2//3)xAtT]5.3符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动：(1)拍皮球时球的运动；(2)如题5.3图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很短)．题5.3图题5.3图(b)解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用．或者说，若一个系统的运动微分方程能用0dd222t描述时，其所作的运动就是谐振动．(1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线性回复力．(2)小球在题5.3图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为sinmg，如题5.3图(b)中所示，因S＜＜R，故RS→0，所以回复力为mg.式中负号，表示回复力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以O为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有mgtmR22dd令Rg2，则有222d0dt5.4弹簧振子的振幅增大到原振幅的两倍时，其振动周期、振动能量、最大速度和最大加速度等物理量将如何变化？解：弹簧振子的振动周期、振动能量、最大速度和最大加速度的表达式分别为22212,2,mmmTEkAkvAaA所以当振幅增大到原振幅的两倍时，振动周期不变，振动能量增大为原来的4倍，最大速度增大为原来的2倍，最大加速度增大为原来的2倍。5.5单摆的周期受哪些因素影响？把某一单摆由赤道拿到北极去，它的周期是否变化？解：单摆的周期为22lTg因此受摆线长度和重力加速度的影响。把单摆由赤道拿到北极去，由于摆线长度不变，重力加速度增大，因此它的周期是变小。5.6简谐振动的速度和加速度在什么情况下是同号的？在什么情况下是异号的？加速度为正值时，振动质点的速率是否一定在增大？解：简谐振动的速度和加速度的表达式分别为020sin()cos()vAtaAt当00sin()cos()tt与同号时，即位相在第1或第3象限时，速度和加速度同号；当00sin()cos()tt与异号时，即位相在第2或第4象限时，速度和加速度异号。加速度为正值时，振动质点的速率不一定增大。5.7质量为kg10103的小球与轻弹簧组成的系统，按20.1cos(8)(SI)3xt的规律作谐振动，求：(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等?(3)s52t与s11t两个时刻的位相差；解：(1)设谐振动的标准方程为)cos(0tAx，则知：3/2,s412,8,m1.00TA又8.0Avm1sm51.21sm2.632Aam2sm(2)0.63NmmFmaJ1016.32122mmvEJ1058.1212EEEkp当pkEE时，有pEE2，即)21(212122kAkx∴m20222Ax(3)32)15(8)(12tt5.8一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示．如果0t时质点的状态分别是：(1)Ax0；(2)过平衡位置向正向运动；(3)过2Ax处向负向运动；(4)过2Ax处向正向运动．试求出相应的初位相，并写出振动方程．解：因为0000sincosAvAx将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有)2cos(1tTAx)232cos(232tTAx)32cos(33tTAx)452cos(454tTAx5.9一质量为kg10103的物体作谐振动，振幅为cm24，周期为s0.4，当0t时位移为cm24．求：(1)s5.0t时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向；(2)由起始位置运动到cm12x处所需的最短时间；(3)在cm12x处物体的总能量．解：由题已知s0.4,m10242TA∴1srad5.02T又，0t时，0,00Ax故振动方程为m)5.0cos(10242tx(1)将s5.0t代入得0.17mm)5.0cos(102425.0txN102.417.0)2(10103232xmmaF方向指向坐标原点，即沿x轴负向．(2)由题知，0t时，00，tt时3,0,20tvAx故且∴s322/3t(3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为J101.7)24.0()2(10102121214223222AmkAE5.10有一轻弹簧，下面悬挂质量为g0.1的物体时，伸长为cm9.4．用这个弹簧和一个质量为g0.8的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开cm0.1后，给予向上的初速度10scm0.5v，求振动周期和振动表达式．解：12311mN2.0109.48.9100.1xgmk而0t时，-12020sm100.5m,100.1vx(设向上为正)又s26.12,51082.03Tmk即m102)5100.5()100.1()(222222020vxA45,15100.1100.5tan022000即xv∴m)455cos(1022tx5.11题5.11图为两个谐振动的tx曲线，试分别写出其谐振动方程．题5.11图解：由题5.11图(a)，∵0t时，s2,cm10,,23,0,0000TAvx又即1srad2T故m)23cos(1.0txa由题5.11图(b)∵0t时，35,0,2000vAx01t时，22,0,0111vx又253511∴65故mtxb)3565cos(1.05.12一轻弹簧的倔强系数为k，其下端悬有一质量为M的盘子．现有一质量为m的物体从离盘底h高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动．(1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同?(2)此时的振动振幅多大?(3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子的振动方程．解：(1)空盘的振动周期为kM2，落下重物后振动周期为kmM2，即增大．(2)按(3)所设坐标原点及计时起点，0t时，则kmgx0．碰撞时，以Mm,为一系统动量守恒，即0)(2vMmghm则有Mmghmv20于是2222002()()()21()vmgmghAxkkmMmgkhkmMg（3）gmMkhxv)(2tan000(第三象限)，所以振动方程为221cosarctan()()mgkhkkhxtkmMgmMMmg5.13有一单摆，摆长m0.1l，摆球质量kg10103m，当摆球处在平衡位置时，若给小球一水平向右的冲量14smkg100.1tF，取打击时刻为计时起点)0(t，求振动的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程．解：由动量定理，有0mvtF∴1-34sm01.0100.1100.1mtFv按题设计时起点，并设向右为x轴正向，则知0t时，100sm01.0,0vx＞0∴2/30又1srad13.30.18.9lg∴m102.313.301.0)(302020vvxA故其角振幅rad102.33lA小球的振动方程为rad)2313.3cos(102.33t5.14有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为m20.0，位相与第一振动的位相差为6，已知第一振动的振幅为m173.0，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的位相差．题5.14图解：由题意可做出旋转矢量题5.14图．由图知01.02/32.0173.02)2.0()173.0(30cos222122122AAAAA∴m1.02A设角为OAA1，则cos22122212AAAAA即01.0173.02)02.0()1.0()173.0(2cos2222122221AAAAA即2，这说明，1A与2A间夹角为2，即二振动的位相差为2.5.15试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：(1)cm)373cos(5cm)33cos(521txtx(2)cm)343cos(5cm)33cos(521txtx解：(1)∵,233712∴合振幅cm1021AAA(2)∵,334∴合振幅0A5.16一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为m)652cos(3.0m)62cos(4.021txtx试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。解：∵)65(6∴m1.021AAA合1122112250.4sin0.3sinsinsin366tan5coscos30.4cos0.3cos66AAAA∴6其振动方程为m)62cos(1.0tx(作图法略)*5.17如题5.17图所示，两个相