大学物理_第2章_质点动力学_习题答案

第二章质点动力学2－1一物体从一倾角为30的斜面底部以初速v0=10m·s1向斜面上方冲去，到最高点后又沿斜面滑下，当滑到底部时速率v=7m·s1,求该物体与斜面间的摩擦系数。解：物体与斜面间的摩擦力f＝uN＝umgcos30物体向斜面上方冲去又回到斜面底部的过程由动能定理得220112(1)22mvmvfs物体向斜面上方冲到最高点的过程由动能定理得2010sin302mvfsmghfsmgs20(2)(31)vsgu把式（2）代入式（1）得，2202200.1983vvuvv2－2如本题图，一质量为m的小球最初位于光滑圆形凹槽的A点，然后沿圆弧ADCB下滑，试求小球在C点时的角速度和对圆弧表面的作用力，圆弧半径为r。解：小球在运动的过程中受到重力G和轨道对它的支持力T.取如图所示的自然坐标系，由牛顿定律得22sin(1)cos(2)tndvFmgmdtvFTmgmR由,,1dsrdrdvdtdtdtv得代入式（），A并根据小球从点运动到点C始末条件进行积分有，00902n(sin)2cos2cos/mcos3cos'3cos,evvdvrgdvgrvgrrvmgmgrmg得则小球在点C的角速度为＝由式（2）得T由此可得小球对园轨道得作用力为TT方向与反向2－3如本题图，一倾角为的斜面置于光滑桌面上，斜面上放一质量为m的木块，两习题2－2图AoBrDCT者间摩擦系数为，为使木块相对斜面静止，求斜面的加速度a应满足的条件。解：如图所示1212minmaxsin,coscossin(1)sincos2(1)(2)(sincos)(cossin)(sincos)()(cossin)1(2)(1)(sincos)(cossin)(sincosaaaaNmgmamamguNmamauguaugugtguauutguguaugua得，得，)()(cossin)1()()11gtguuutggtgugtguautgutg2－4如本题图，A、B两物体质量均为m，用质量不计的滑轮和细绳连接，并不计摩擦，则A和B的加速度大小各为多少。解：如图由受力分析得(1)(2)2(3)2(4)ggAABBABABABmgTmaTmgmaaaTTaa1解得＝－52＝－52－5如本题图所示，已知两物体A、B的质量均为m=3.0kg，物体A以加速度a=1.0m/s2运动，求物体B与桌面间的摩擦力。（滑轮与连接绳的质量不计）解：分别对物体和滑轮受力分析（如图），由牛顿定律和动力学方程得，1f111f(1)''(2)2'(3)'2(4)5'6'7(4)7.22ATATBTTABTTTTmgFmaFFmaaaFFmmmFFFFmgmmaFN＝解得2－6质量为M的三角形木块，放在光滑的水平桌面上，另一质量为m的木块放在斜面上(如本题图所示)。如果所有接触面的摩擦均可忽略不计，求M的加速度和m相对M的加AB习题2-4图习题2－5图aθ习题2-3图maAmgTATBaBmg速度。解：（如图）m相对M的相对加速度为ma，则cos,sin,mxmmymaaaa在水平方向，cosmxmxMxmxmxMxmMaaaaaaaa在竖直方向sinmymymymaaaa由牛顿定律可得，sincoscossinsinmxmMmymMNmamamamgNmamaNMa解得2sincossinmMmgaM，2()sinsinmMmgaMm＝2－7在一只半径为R的半球形碗内，有一粒质量为m的小钢球。当钢球以角速度ω在水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动时，它距碗底有多高？解：取钢球为隔离体，受力分析如图所示，在图示坐标中列动力学方程得，2sinsincoscos()/nFmamRFmgRhR解得钢球距碗底的高度2gRh2－8光滑的水平面上放置一半径为R的固定圆环，物体紧贴环的内侧作圆周运动，其摩擦系数为μ。物体的初速率为v0，求：（1）t时刻物体的速率；（2）当物体速率从v0减少到v0/2时，物体所经历的时间及经过的路程。解：（1）设物体质量为m，取图示的自然坐标系，由牛顿定律得，02222tv2v(1)(2)(3)4dv4dtuvNnftfNvFmamRdvFmamdtFuFvdvuRdt0由上三式可得＝（）R对（）式积分得＝－习题2-6图00RvvRvt（2）当物体速率从v0减少到v0/2时，由上式00RvvRvt可得物体所经历的时间0tRv经过的路程tt0000vdtdtln2RvRsRvt＝＝2－9从实验知道，当物体速度不太大时，可以认为空气的阻力正比于物体的瞬时速度，设其比例常数为k。将质量为m的物体以竖直向上的初速度v0抛出。（1）试证明物体的速度为tmktmkevekmgv0)1((2)证明物体将达到的最大高度为)1ln(020mgkvkgmkmvH(3)证明到达最大高度的时间为)1ln(0mgkvkmtH证明：由牛顿定律可得00000220200ln(1)(2),()ln(13tvvmmttkkxmgmgkvmdvdtmgkvmgkvmmgtvevekmgkvkmvdvdxmgkvmgkvudukdvkmgdukmgdudxmdudxmdumumumvkvmgxkkmgmtkdv(1)-mg-kv=m，dt，dv-mg-kv=mv，dx令，）（）00ln0tlnmgkvmgkvmgkvmvkmgk当时，＝即为到达最高点的时间2－10质量为m的跳水运动员，从距水面距离为h的高台上由静止跳下落入水中。把跳水运动员视为质点，并略去空气阻力。运动员入水后垂直下沉，水对其阻力为－bv2，其中byf＝－kvmgv为一常量。若以水面上一点为坐标原点O，竖直向下为Oy轴，求：（1）运动员在水中的速率v与y的函数关系；（2）跳水运动员在水中下沉多少距离才能使其速率v减少到落水速率v0的1/10？（假定跳水运动员在水中的浮力与所受的重力大小恰好相等）解：运动员入水可视为自由落体运动，所以入水时的速度为0v2gh，入水后如图由牛顿定律的0220//0100mg-f-F=mamg=Ff=bvdva=dtvdy2(2)0.4,0.1mvyln5.76mbyvvbymbymdvvdydvbmvdybdvmvvveghemvvvb将已知条件代入上式得，m＝－＝2－11一物体自地球表面以速率v0竖直上抛。假定空气对物体阻力的值为f＝－kmv2，其中k为常量，m为物体质量。试求：（1）该物体能上升的高度；（2）物体返回地面时速度的值。解：分别对物体上抛和下落时作受力分析（如图），000h0120m1ln()2v01ln()2(2)mv=v1gyvvvvdvdygkgkykgkgkkgvdvdygkk2222020max222－/0dvmvdv(1)-mg-kv=m＝，dtdyvvv物体达到最高点时，＝，故vh=y＝dvmvdv下落过程中，-mg+kv=m＝dtdy－vv（）2－12长为60cm的绳子悬挂在天花板上，下方系一质量为1kg的小球，已知绳子能承受的最大张力为20N。试求要多大的水平冲量作用在原来静止的小球上才能将绳子打断？解：由动量定理得000ImvIvm，如图受力分析并由牛顿定律得，2020220/202.47mvTmglmvTmglmgIlINs2－13一作斜抛运动的物体，在最高点炸裂为质量相等的两块，最高点距离地面为19.6m。爆炸1.0s后，第一块落到爆炸点正下方的地面上，此处距抛出点的水平距离为100m。问第二块落在距抛出点多远的地面上？(设空气的阻力不计)解：取如图示坐标系，根据抛体运动规律，爆炸前，物体在最高点得速度得水平分量为10110x2x12y2x0x/2(1),v2mvmv30mvmv414vv100xxvxght21111211物体爆炸后，第一块碎片竖直下落的运动方程为1y=h-vt-gt2当碎片落地时，y=0,t=t则由上式得爆炸后第一块碎片抛出得速度为1h-gt2＝（）t又根据动量守恒定律，在最高点处有1＝（）211＝－22联立以上（）－（）式得爆炸后第二块碎片抛出时的速度分量分别为g＝2＝2x2h11212x2222y222214.7vt5y=h+vt-60,x500mymsvvmsgty21211h-gt2t爆炸后第二块碎片作斜抛运动，其运动方程为x＝x+（）1（）2落地时由式（5）和（6）可解得第二块碎片落地点得水平位置＝2－14质量为M的人手里拿着一个质量为m的物体，此人用与水平面成θ角的速率v0向前跳去。当他达到最高点时，他将物体以相对于人为u的水平速率向后抛出。问：由于人抛出物体，他跳跃的距离增加了多少？（假设人可视为质点）解：取如图所示坐标，把人和物视为一系统，当人跳跃到最高点处，在向左抛物得过程中，满足动量守恒，故有00000mcos()vumuvcosmmuvv-cosmsintgmsinxvtumgvMvmvuvvvvv+M式中为人抛物后相对地面的水平速率，－为抛出物对地面得水平速率，得＝++M人的水平速率得增量为＝＝+M而人从最高点到地面得运动时间为＝所以人跳跃后增加的距离为＝＝（+M）2－15铁路上有一静止的平板车，其质量为M，设平板车可无摩擦地在水平轨道上运动。现有N个人从平板车的后端跳下，每个人的质量均为m，相对平板车的速度均为u。问：在下列两种情况下，（1）N个人同时跳离；（2）一个人、一个人地跳离，平板车的末速是多少?所得的结果为何不同，其物理原因是什么?解：取平板车及N个人组成的系统，以地面为参考系，平板车的运动方向为正方向，系统在该方向上满足动量守恒。考虑N个人同时跳车的情况，设跳车后平板车的速度为v，则由动量守恒定律得0＝Mv+Nm（v－u）v＝Nmu/(Nm+M)(1)又考虑N个人一个接一个的跳车的情况。设当平板车上商有n个人时的速度为vn，跳下一个人后的车速为vn－1，在该次跳车的过程中，根据动量守恒有（M+nm）vn=Mvn－1+(n-1)mvn－1+m(vn－1-u)(2)由式（2）得递推公式vn－1=vn+mu/(M+nm)(3)当车上有N个人得时（即N＝n），vN＝0；当车上N个人完全跳完时，车速为v0，根据式（3）有，vN-1=0+mu/(Nm+M)vN-2=vN-1+mu/((N-1)m+M)………….v0=v1+mu/(M+nm)将上述各等式的两侧分别相加，整理后得，0n0muvnm,1,2,3....vvMnmMNmnNNN＝1＝M+由于故有，即个人一个接一个地跳车时，平板车的末速度大于N个人同时跳下车的末速度。这是因为N个人逐一跳离车时，车对地的速度逐次增加，导致跳车者相对地面的速度也逐次增加，并对平板车所作的功也相应增大，因而平板车得到的能量也大，其车速也大。2－16A、B两船在平静的湖面上平行逆向航行，当两船擦肩相遇时，两船各自向对方平稳地传递50kg的重物，结果是A船停了下来，而B船以3.4m/s的速度继续向前驶去。A、B两船原有质量分别为500kg和1000kg，求在传递重物前两船的速度。(忽略水对船的阻力)解：设A、B两船原有的速度分别为vA和vB，传递重物后的速度分别为v’A和v’B,由动量守恒定律可得1111mmvmvmvmmvmvmv