四校2015届高三5月联考数学(文)试题

12015届高三“四校”联考数学（文科）试题一、选择题：1.设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数.若复数z满足29)52(zi，则z（）A.25iB.25iC.25iD.25i2.抛物线24xy的准线方程为（）A.1yB.161xC.1xD.161y3.设集合A=22(,)1xyxy,B=(,)1xyx,则AB子集的个数是（）A．1B.2C.3D.44.问题：①某地区10000名中小学生，其中高中生2000名，初中生4500名，小学生3500名，现从中抽取容量为200的样本；②从1002件同一生产线生产的产品中抽取20件产品进行质量检查.方法：Ⅰ、随机抽样法Ⅱ、分层抽样法III、系统抽样法.其中问题与方法配对较适宜的是()A.①Ⅰ，②ⅡB.①III，②ⅠC.①Ⅱ，②IIID.①III，②Ⅱ5.命题p：“1)3(log,,1020xx使得存在”，则命题p的否定是（）A.0021,,(log3)1xx存在使得B.0021,,(log3)1xx存在使得C.21,,(log3)1xx任意都有D.21,,(log3)1xx任意都有6.要得到3sin2cos2yxx的图像，只需将xy2sin2的图像（）A.向左平移6个单位长度B.向右平移6个单位长度C.向左平移12个单位长度D.向右平移12个单位长度7.已知等差数列na中，11a，70na)3(n.若na公差为某一自然数,则n的所有可能取值为()A．3,23,69B.4,24,70C.4,23,70D.3,24,708.设yx、满足约束条件07205yxyx，则目标函数22yxz的最小值为（）A.549B.11C.225D.139.已知矩形ABCD中，22ABBC，现向矩形ABCD内随机投掷质点P，则满足20PBPA的概率是（）A.44B.4C.1616D.1610.设函数43,0()log,0xxfxxx，若关于x的方程2()()0afxfx恰有三个不同的实数解，则实数a的取值范围为（）A.]1,0(B.1,C.0,1D.1,二、填空题11.函数12log(34)1yx的定义域是；12.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体所有棱长的取值集合为；13．已知实数nm,满足,1,0nmnm则nm11的最大值为；14.运行如右图的程序框图，若输出的y随着输入的x的增大而减小，则a的取值范围是；15.如图所示，在确定的四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD.(1)若AB⊥CD，则截面EFGH与侧面ABC垂直；(2)当截面四边形EFGH面积取得最大值时，E为AD中点；(3)截面四边形EFGH的周长有最小值；(4)若AB⊥CD，ACBD，则在四面体内存在一点P到四面体ABCD六条棱的中点的距离相等.上述说法正确的是．三、解答题：16．(本题满分12分)已知函数2()sin()cos()()2sin632xfxxxgx，．（I）求函数()()yfxgx的单调递减区间；（）在ABC中，A为锐角，且角ABC、、所对的边分别为abc、、，若5a，(第１2题图)(第１4题图)(第１5题图)3453)(Af,求ABC面积的最大值.17．为了解甲、乙两校高三年级学生某次期末联考地理成绩情况，从这两学校中分别随机抽取30名高三年级的地理成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示：（I）若乙校高三年级每位学生被抽取的概率为0.15，求乙校高三年级学生总人数；（II）根据茎叶图，分析甲、乙两校高三年级学生在这次联考中地理成绩；（III）从样本中甲、乙两校高三年级学生地理成绩不及格（低于60分为不及格）的学生中随机抽取2人，求至少抽到一名乙校学生的概率．18．如图，在四棱锥ABCED中，ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，M为棱EA的中点，2CEBD.（I）求证：DM∥平面ABC；（II）求证：平面BDM⊥平面ECA．19．已知正项数列na的前n项和为nS，且满足21nnSa，nN.（I）求1a、2a的值，并求数列na的通项公式；[来源:学科网ZXXK]（II）设1(3)nnnbaa，数列nb的前n项和为nT，证明：12nT.(第１8题图)420．已知函数1()ln,fxxaxaRx.（I）若函数()fx在1x处的切线与x轴平行，求a值；（II）讨论函数()fx在其定义域内的单调性；（III）定义：若函数()hx在区间D上任意12,xx都有1212()()()22xxhxhxh，则称函数()hx是区间D上的凹函数.设函数2()(),0gxxfxa，其中)(xf是)(xf的导函数．根据上述定义．．．．，判断函数()gx是否为其定义域内．．．．的凹函数，并说明理由.21．设椭圆E:22221xyab0ab（）过22Me（，），(32),Ne两点，其中e为椭圆的离心率，O为坐标原点.（I）求椭圆E的方程；（II）过椭圆右焦点F的一条直线l与椭圆交于,AB两点，若ABOBOA，求弦AB的长.52015届高三“四校”联考数学（文科）参考答案一、选择题12345678910[来源:学科网ZXXK]ADBCCDBCAB二、填空题11.43(,]3212.2,3,513.414.131,8215.②④三、解答题[来源:学科网ZXXK]16、解：()sincos+cossincoscos+sinsin6633fxxxxx=3sinx()1gxcosx…………………3分（1）y=()()fxgx=3sinx-cosx+1=2sin-+16x令322,()262kxkkZ得252233kxk()kZ所以y=()()fxgx的单调递减区间是252,233kk()kZ……6分（2）∵35(A)3sinA4f∴15sinA4又∵A为锐角∴1cosA4又∵a=5，∴2222251cosA224bcabcbcbc…8分∴221522bcbcbc∴103bc当且仅当b=c=3103时,bc取得最大值∴ΔABC的面积最大值为1515sinA212bc……………12分17、解：（）因为每位同学被抽取的概率均为0.15，则高三年级学生总数20015.030M……………………………………………3分（）由茎叶图可知甲校有22位同学分布在60至80之间，乙校也有22位同学分布在670至80之间，乙校的总体成绩分布下沉且较集中即成绩的平均数较大，方差较小.所以，乙校学生的成绩较好.…………………………………………7分（III）由茎叶图可知，甲校有4位同学成绩不及格，分别记为:1、2、3、4；乙校有2位同学成绩不及格，分别记为：5、6.则从两校不及格的同学中随机抽取两人有如下可能：（1,2）、（13）、（1,4）、（1,5）、（1,6）、（2,3）、（2,4）、（2,5）、（2,6）、（3,4）、（3,5）、（3,6）、（4,5）、（4,6）、（5,6），总共有15个基本事件.其中，乙校包含至少有一名学生成绩不及格的事件为A,则A包含9个基本事件，如下：（1,5）、（1,6）、（2,5）、（2,6）、（3,5）、（3,6）、（4,5）、（4,6）、（5,6）.…………………10分所以，53159)(AP…………………………………………………12分18、解：（1）取AC中点N，连接MN,BN由于M、N分别是AE、AC的中点，∴MN//21EC，又BD//21EC∴MN//BD从而MNBD为平行四边形∴DM//BN,又,DMABCBNABC面面所以DM//面ABC………………6分(2)由（1）及ABC为等边三角形，∴BN丄AC，又BD丄面ABC∴BD丄AC,BN∩BD=B从而AC⊥面BDN，即AC丄面BDMN而AC在平面AEC内，∴面EAC上面BDMN,即面ECA丄面BDM………12分19、解：（1）当1n时，1121aa，又10a，则11a.同理求得23a，.…………………2分由21nnSa，2n时，121nnnSSS，即211nnSS，又0na易知10nS，则11nnSS，即11nnSS，所以nS是以1为首项1为公差的的等差数列.所以nSn，代入21nnSa得21nan，nN.…………………6分（2）由（1）知21nan，所以12122nbnn12121nn11122121nn,………9分N7则111111123352121nTnn11112212n.所以12nT.…………………13分20、解：（1）由题意211'()fxaxx又()fx在1x处切线与x轴平行从而2a……………………………………4分(2)由222111'()axxfxaxxx(0)x①当0'()0afx时，恒成立，此时()fx在定义域（0,+)内单调递增……..6分②当0a时，令'()0fx得210axx而方程210axx有二根③12114114,22aaxxaa，且120xx从而()fx在1(0,)x上递增，1(,)x上递减，……..8分综上，0a时，()fx在（0,+)上递增；0a时，()fx在1(0,)x上递增，1(,)x上递减……………………9分(3)由题意2()1(0),(0,)gxaxxax…………………10分令任意12,(0,)xx则2121212()()1222xxxxxxga22121122()()(1)(1)22gxgxaxxaxx所以12()2xxg12()()2gxgx=212()04axx……………12分也即12()2xxg12()()2gxgx故()gx是其定义域内的凹函数………….13分'(1)20fa821、解：（1）1341442422222bacbaca13)(4424222babab8422ab14822yx………………..6分（2）因为ABOBOA，得OAOB………………..7分若直线l斜率不存在时直线l方程为2x此时A（2，2），B（2，2）不满足OAOB………………..8分若直线l斜率存在时不妨设直线l方程为)2(xky，A),(11yx，B),(22yx联立0888)12(148)2(222222kxkxkyxxky128812822212221kkxxkkxx又∵124]4)(2[)2()2(2221212212211kkxxxxkyyxkyxky∴201284,002222121kkkyyxxOBOA………………..11分52124)(1212212xxxxkAB………………..13分