大学物理第一章刚体的定轴转动

第一章刚体的定轴转动1．计算质量为m，长度为L的均匀细棒对通过距一端为a（外侧）且与棒垂直的轴的转动惯量。解：dxxLmdmxdJdxLmdxdm22)33(31])[(331223332aLaLmaLaLmxLmdxxLmdJJLaaLaa或用平行轴定理：mLaJJC2)2(2.如图，一块均匀的长方形薄板，边长为a、b，取中心O为原点，坐标系OXYZ如图所示。设薄板的质量为M。求：薄板对OX轴、OY轴的转动惯量。解：abMadydSdm,dyaydmydJx2222032021213122MbyadyyadJJbbxx同理2121MaJy1xdxoxaLdyxyzaboy3.质量为m1的物体置于一张水平桌面上，桌面与该物体间的滑动摩擦系数为µ。用一根不可伸长的细绳一端与m1相连，另一端与质量为m2的物体相连，细绳跨过固定于桌子边缘的定滑轮，如图。定滑轮质量为m，半径为r。若忽略轴间的摩擦力，求：滑轮与m1之间的绳子张力F1；滑轮与m2之间的绳子张力F2；两物体运动的加速度a（设m2m1足以使m1向右平移运动）。解：由图可得11122221FmgmamgFmaFrFrJar解之，得121121212()mmmgFmmmmmmgmmammmgmmmmF21)(21)21(21122121124.有一均匀圆盘，质量为m，圆盘半径为R，可绕过盘中心的光滑竖直轴在水平桌面上转动。圆盘与桌面间的滑动摩擦系数为μ。求圆盘转动后受到的摩擦力矩。解：任取一半径为r,宽dr的圆环元，则其面积为rdrdS2，其质量为dSdm式中2Rm，则grdrgdmdFrdrdSdm2,2mafF2F1m2gm2m1dFdr.r摩擦力矩为drrgrdFdM22，方向垂直纸面向外向外。mgRdrrgMdMR32202方向垂直纸面向外。5.一均匀细棒可绕通过其端点并与棒垂直的水平轴转动。已知棒长为L，质量为m，开始时棒处于水平位置。令棒由水平位置自由下摆。求：（1）棒在任意位置时的角加速度。（2）棒摆至铅垂位置时重力矩所做的功。解：有重力矩，因此角动量不守恒，但机械能守恒.（1）cos2LmgdmgM2213132123,coscosMJJmLmgLMgJLmL2021cos21cos21)2(mgLdmgLdAAdmgLMddA6.如图，质量为M，长为L的均匀细杆可绕A端的水平轴自由转动，当杆自由下垂时，有一质量为m的小球，在离杆下端的距离为a处垂直击中细杆，并于碰撞后自由下落，而细杆在碰撞后的最大偏角为。求：小球击中细杆前的速度。解:碰撞瞬间，杆尚未摆动，因此角动量守恒；杆摆动起来后，只受重力，因此能量守恒。(1)碰撞前小球的角动量)()(2111aLmvaLvaLmJL撞瞬间杆的角动量2231MLJL22131)(MLaLmvLLL/2dmgLo.aθmvmmgoL-aC.Ch)1()(32aLmMLv能量守恒，杆在竖直位置时的转动动能等于杆在最大偏角时的势能，即设杆在竖直位置时质心C处为势能零点，则)cos1(21MgLMghEp式中)cos1(2cos22LLLh)cos1(216122MgLML)2()cos1(3Lg(1)、(2)联立，解之，得pkEE2226121MLJEk3(1)3()cosMLgLvmLa