围岩变形弹塑性分析

§2.1隧道围岩重分布应力的计算隧道开挖前，岩体中每个质点均受到天然应力的作用而处于相对平衡状态；隧洞开挖后，洞壁岩体因失去了原有岩体的支撑，破坏了原有的平衡状态，从而产生向洞内空间的膨胀变形，其结果又改变了相邻质点的相对平衡关系，引起应力、应变和能量的重新调整，达到新的平衡关系，形成新的应力状态。2.1.1弹性围岩重分布应力对于那些坚硬致密的块状岩体，当天然应力大约等于或小于其单轴抗压强度的一般时，隧道开挖后的围岩将呈弹性变形状态。这类围岩可近似视为各向同性、连续、均质的线弹性体，其围岩应力重分布可用弹性力学的基本理论来分析，隧洞半径相对于洞长很小时，可按平面应变问题考虑，围岩重分布应力可用柯西（Kirsh）课题求解。图2-1是柯西课题的简化模型。设无限大弹性薄板，在边界上受沿X方向的外力P作用，薄板中有一半径为R0的圆形小孔。取如图极坐标，薄板中任一点𝑀（r，𝜃）的应力及方向如图所示，按平面问题考虑，不计体力，则𝑀点的各应力分量，即径向应力𝜕𝑟、环向应力𝜕𝜃和剪应力𝜏𝜃与应力函数∅间的关系，根据弹性理论可表示为：22222221111rrrrrrrrr（2-1）上式的边界条件为：000cos222sin22rrbrrbrrrbrbppbRpbRbR（2-2）设满足该方程的应力函数是：222lncos2ArBrCrDrF（2-3）带入上式并考虑边界条件，可求得应力函数为：22220022200ln1cos22222pRRrrrRRr（2-4）代入可得各应力分量：24200024224002442004234(1)(1)cos223(1)(1)cos2232(1)sin22rrRRRrrrRRrrRRrprpp（2-5）式中，x,,r分别为M点的径向应力、环向应力和剪应力，以压应力为正，拉应力为负;为M点的极角，自水平轴(x轴)起始，反时针方向为正；r为径向半径。式(2-5)是柯西课题求解的无限薄板中心孔周边应力计算公式，我们把它应用到隧道围岩重分布应力计算中来。假定隧道开挖在天然应力比值系数的岩体中，则问题可简化为如图所示的无重板岩体力学模型。若水平和垂直天然应力都是主应力，则隧道开挖前板内的天然应力为：0zvxhvxzzx（2-6）式中，v，h为岩体中垂直和水平天然应力；xz，zx为天然剪应力。取垂直坐标轴为z，水平轴为x，那么隧道开挖后，铅直天然应力v引起的围岩重分布应力也可由式（2-5）确定。在式（2-5）中，p用v代替，是径向半径OM与x轴的夹角来表示，则2cos2cos2sin2sin2（2-7）这样由v引起的重分布应力为：24200024224002442004234(1)(1)cos223(1)(1)cos2232(1)sin22vvvrrRRRrrrRRrrRRrr（2-8）水平应力h产生的重分布应力，可由式（2-5）直接求得：24200024224002442004234(1)(1)cos223(1)(1)cos2232(1)sin22vrrvvRRRrrrRRrrRRrr（2-9）将以上两式联立求和，即可得到隧道弹性围岩重分布的弹性计算方程：2420002422400244200423411(1)(1)cos222311(1)(1)cos222321(1)sin22rvvvrRRRrrrRRrrRRrr（2-10）由上式可知当0rR时，即围岩洞壁上的应力集中最大。2.1.2塑性围岩重分布应力由弹性围岩重分布应力特点可知，隧道开挖后洞壁的应力集中最大。当洞壁重分布应力超过围岩屈服极限时，洞壁围岩就由弹性状态转化为塑性状态，并在围岩中形成一个塑性松动圈。这种塑性圈随着距洞壁距离的增大，径向应力由零逐渐增大，应力状态由洞壁的单向应力状态逐渐转化为双向应力状态。莫尔应力圆由与强度包络线相切的状态逐渐内移，变为与强度包络线不相切，围岩的强度条件得到改善。围岩也就由塑性状态逐渐转化为弹性状态，围岩中出现塑性圈和弹性圈。塑性圈的出现，使圈内一定范围内的应力因得到释放而明显降低，最大应力集中由原来的洞壁移至塑、弹圈交界处，使弹性区的应力明显升高。弹性区以外则是原岩应力区，也即应力基本没有发生变化的天然应力区，各部分的应力变化如图9-8所示。此时围岩重分布应力应采用弹塑性理论求解。假设在均质、各向同性、连续的岩体中开挖一半径为1R隧道;开挖后形成的塑性圈半径为1R，塑性圈内岩体强度服从莫尔直线强度条件，塑性圈以外围岩体仍处于弹性状态。如图9-9所示，在塑性圈内取一微小小单元体abcd，bd面上作用有径向应力r，ac面上的径向应力为()rrd，ab和cd面上作用有切向应力，1，剪应力0r。当单元体处于极限平衡状态下时，作用在单元体上的全部力在径向应力在半径r上的投影为零，则单元体上径向应力的平衡方程为：()()2sin()02rrrdrddrdrddr（2-11）当d很小时，sin()22dd。则上式可简化为：)(rdrrdr（2-12）由摩尔强度理论，岩体的塑性条件为：cot1sincot1sinmmmrmmmCC（2-13）联立以上两式得：(cot)1sin2sin(1)cot1sin1sinmmmmrmmmmdCdrdrCrr（2-14）积分整理后得径向应力r为：2sin1sin0(cot)()cotmmrimmmmrpCCR同理可求得：2sin1sin01sin(cot)()cot1sinmmmimmmmmrpCCR所以，塑性圈内围岩重分布应力的计算公式为：2sin1sin02sin1sin0(cot)()cot1sin(cot)()cot1sin0mmmmrimmmmmimmmmmrrpCCRrpCCR（2-15）mC，m为塑性圈岩体的内聚力和内摩擦角；ip为洞壁支护力。塑性圈与弹性圈交界面（1rR）上的重分布应力，该面上弹性应力与塑性应力相等可得：100110010122221010211000(1sin)cos(1sin)cos0sin(cot)2()[()()]sin(cot)2RrpemmmpemmmrpemmmRmRRmmmRRmCCRCGRRRRRRCRGR（2-16）rpe，pe，rpe为1rR处的径向应力，环向应力和剪应力；0为岩体天然应力。§2.2围岩的变形隧道开挖后，岩体中形成一个自由变形空间，使原来处于挤压状态的围岩，由于失去了原有的应力状态而发生向洞内松胀变形；如果这种变形超过了围岩本身所能承受的能力，则围岩就要发生破坏。隧道围岩位移是表征和控制隧道工作状态的重要参数，研究表明：当围岩应力超过围岩的极限强度时，围岩将立即发生破坏。当围岩应力的量级介于岩体的极限强度和长期强度之间时，围岩需经瞬时的弹性变形及较长时期蠕动变形的发展方能达到最终的破；当围岩应力的量级介于岩体的长期强度及蠕变临界应力之间时，围岩除发生瞬时的弹性变形外，还要经过一段时间的蠕动变形才能达到最终的稳定；当围岩应力小于岩体的蠕变临界应力时，围岩将于瞬时的弹性变形后立即稳定下来。2.2.1围岩弹性位移计算在天然应力不大的情况下，围岩常处于弹性状态。这时洞壁围岩的位移可用弹性理论进行计算。根据弹性理论，平面应变与位移的关系为：11urrvvurrurrvrr（2-17）平面应变与应力物理方程为：2211111121rmrmmmemmmrmermrmeEEE（2-18）联立以上两式得：221111111121umrmmrmevmmmrmevumrrmeEurrEvrrE（2-19）将式（2-10）代入上式并进行积分，可求得在平面应变条件下的围岩位移为：224200023240023242003420032134μ2221322212v2213422mhvhvmemmhvhvmemhvmemmhvmeRRRrrcosErrrRRrrcosErrRRrsinErrRRrsinErr（2-20）当0rR时，可得洞壁上的弹性位移为：2020(1μ[2(]2(1v))cos2))sn(i2mhhvmemhvmeRERE（2-21）式中，分别为围岩内任一点的径向位移和环向位移；meE，m为岩体的弹性模量和泊松比；其余符号同前。2.2.2塑性位移计算当围岩中由于应力重分布作用形成塑性圈以后，这时围岩的塑性位移采用弹塑性理论来分析。由于开挖卸载形成塑性圈后，弹、塑性圈交界面上的径向应力增量1rr（）R和环向应力增量1r（）R为：1111112211002221002221100222100211rrRRRrRRRRR（）RrrRrRR（）RrrRr（2-22）代入式（2-19）并积分得交界面上的径向位移1R为：11111000101122RmRRrRRmmm（）RdRGGE（2-23）mE、mG为塑性圈岩体的变形模量和剪切模量，1R为塑性圈作用于弹性圈的径向应力，由式（2-16）得：10(1sin)cosRrpemmmC(2-24)代入（2-23）得交界面处的径向位移为：101sin(cot)2mmmRmRCG（2-25）由塑性圈内塑性变形前后体积不变得：1022221010()[()()]RRRRRR(2-26)展开可得洞壁径向位移为：01211000sin(cot)2mmmRRmRRCRGR（2-27）1R为塑性区半径；0R为隧道半径；0为岩体天然应力；mC、m为塑性圈岩体的内聚力和内摩擦角。