固体物理-晶格振动与热学性质.

1第三章晶格振动与晶体热学性质静止晶格理论不适用的地方(TheFailureofStaticLatticeModel)2实际上，根据经典热力学，原子的运动随着温度的增高而越来越剧烈。根据量子力学，因为测不准原理(UncertaintyPrinciple)的限制，甚至在绝对零度原子也不能静止。如果晶格是静止的，固体的热性质(Thermalproperty)无法解释:绝缘体导热、固体的热膨胀(Thermalexpansion)、高温下固体溶解、声波在固体中的传播离子晶体在红外区域(Infrared)有强烈的，单色性很好的反射(也就是共振)，反射能量大大低于电子的能级，因此必须用晶格振动来解释。3格点：在研究晶体的几何结构和晶体结合时，组成晶体的原子被认为是固定在指点位置（平衡位置）静止不动的理想化模型。实际情况如何？晶格振动。在T0K下，组成晶体的原子并不是静止不动的，而是围绕平衡位置作微小振动，由于平衡位置就是晶格格点，称为晶格振动，在晶体中形成格波。4晶格动力学是固体物理学中最基础、最重要的部分之一：晶格振动对晶体的热学性质，光学性质，电学性质，超导电性，结构相变等有着重要影响。53.1一维晶格振动3.2三维晶格振动3.3筒正振动与声子3.4晶格振动谱的实验测定方法3.5长波近似3.6晶格振动热容理论3.7晶格振动的非谐性效应3.8晶体的热力学函数本章主要内容6§3.1一维晶格的振动一、一维简单格子一维振动是最简单的一种振动：由于晶体原子间存在着相互作用力，任何一个原子振动都必然影响到其它原子，也必然受到其它原子影响，严格求解晶格振动是一个非常复杂的问题。一维单原子链（近似方法）：一维晶格（质量为m的全同原子组成），晶格常数为a。n-2n-1nn+1n+2一维单原子链a7r=un+1+a－un在t时刻，第n个原子偏离平衡位置的位移为unn-2n-1nn+1n+2un-2un-1unun+1un+2一维简单晶格振动rar－a=un+1－un的意义表示相邻格点的相对位移：0：伸长；0：缩短8它们之间的作用力：drdUf序号n和n+1的两个原子在t时刻的距离为：r=un+1+a－un......ardrUd61ardrUd21ardrdUaU)r(U3a332a22a两原子间的相互作用势为U(r)，小振动，U(r)与U(a)差别不大，在平衡位置泰勒级数展开：9相互作用力：......ardrUd21ardrUddrdU)r(f2a33a22a=0忽略简谐近似(d2U/dr2)a=第n和n+1的两个原子的相互作用力：n1nuu)r(f与弹簧受力f＝－kx比较：为弹性恢复力系数10最近邻近似：（1）第n个原子受到第n－1个原子的作用力(un－un-1)（0向左拉伸力;0向右排斥力)；（2）第n个原子受到第n+1个原子的作用力(un+1－un)（0向右拉伸力;0向左排斥力)。第n个原子受到的作用力：fn＝fnR－fnL＝(un+1－un)－(un－un-1)＝(un+1＋un-1－2un)n-1nn+1un-1unun+1n-1nn+1fnRfnL动力学方程11)u2uu(dtudmn1n1n2n2第n个原子在平衡位置的运动方程为：每个原子的运动都与其它原子的运动有关。对于N个原子组成的晶格，所有原子运动联立方程组。问题：两端的两个原子的运动方程如何处理？边界条件—1：u1=0，uN=0（不成立）12玻恩—卡门边界条件：设想在有限晶体之外还有无穷多个相同的晶体相联结，各晶体中相对应原子的运动情况都一样。对一维晶格，该条件表示为：uN+n＝un玻恩—卡门边界条件合理性如何？在实际的原子链两端接上了全同的原子链后，由于原子间的相互作用主要取决于近邻，所以除两端极少数原子的受力与实际不符外，不受假想原子链的影响。因此较合理。玻恩—卡门边界条件是固体物理学中极其重要的条件，许多重要理论结果的前提条件是晶格的周期性边界条件。玻恩—卡门边界条件（周期性边界条件）13A为振幅，是圆频率，qna是第n个原子在t＝0时刻的振动相位序号为n'的原子的位移：)nn(iqan)tanq(ineuAeu玻恩—卡门边界条件下运动方程组的通解：)tqna(inAeu)u2uu(dtudmn1n1n2n2动力学方程组的解14格波nnuu两原子位移相同nnuu若qal2nn（l为整数）)nn(iqanneuu若qa)1l2(nn（l为整数）两原子位移相反格波：任意时刻原子的位移呈现周期性分布，构成的一种波。q为格波的波矢。3a=/q15格波波矢q)tqna(inAeu)tkr(iAeU~qk16将通解代入运动方程：)tqna(inAeu)u2uu(dtudmn1n1n2n2)1)qa(cos(u2)2ee(uumniqaiqann2得：2sin2qam)]qacos(1[m22可得或者讨论（1）格波的频率在波矢空间内是以倒格矢2/a为周期的周期函数。（2）格波的频率在波矢空间内具有反演对称性。格波频率17asinm2qasinmq2q/v格波的速度是格波的波长，q=2/不同波长的格波传播速度不同，折射角不同，导致色散波矢q限定在范围：aqa（第一布里渊区）2sin2qam波矢空间内，是以2/a为周期的函数。即(q)=(q+2/a)第一布里渊区18通常称与q的关系/a0-/aq一维简单晶格的色散关系2qasinm2色散关系（振动频谱或振动谱）19（1）当q0时（长波极限），格波的速度ma2qasinmq2q/v成为一个常数，与波矢无关某一原子周围的若干原子以相同的振幅和位相振动在长波(a)情况下，格波可看成是弹性波。因为波长很大时，相比起来晶格常数a很小，所以可以把晶格看成连续介质。un+1＝un＝un－1)tqna(inAeu/a0-/aq2qasinm2关于格波波矢的讨论20（2）当q=±/a时，格波的最大频率截止频率。高于此频率的波，不可能以声波的形式在晶体内传播相邻原子作相对运动/a0-/aq2sin2qammm42qasinm2－un+1＝un＝－un－1)tqna(inAeu21（3）允许的波矢数目等于原胞的数目，振动谱是分离谱。)tqna(inta)Nn(qiNnAeuAeu周期性边界条件（BK条件）：1eiqNa是整数lNal2qaqa22NlN允许的波矢数目等于N（原胞数）22二、一维复式格子一维复式格子的格波解：一维复式格子2n-22n-12nabMm122n+12n+2分子力常数晶格常数)uu()uu(dtudM1n2n22n21n212n22)uu()uu(dtudmn21n211n22n2221n22简谐近似和最近邻近似：不等价的原子（第2n和2n+1个）的动力学方程分别为23与单原子一维晶格类似：上述方程具有下述格波形式解)tqna(ita2n2qin2AeAeu)tqna(itqba)2n2(qi1n2Bee'Buu2n/u2n+1表示同一原胞中两种不等价原子的相对振幅和位相差一维复式格子2n-22n-12nabMm122n+12n+224假设：（1）同种原子周围情况相同，振幅相同；原子不同，振幅不同。（2）相隔晶格常数a的同种原子，相位差为qa。整理，得：0)()(21221BeAMiqa0)()(22121BmAeiqa)BeA()AB(AMiqa212)()(122ABBAeBmiqa得到：)tqna(i1n2)tqna(in2BeuAeu)uu()uu(dtudm)uu()uu(dtudMn21n211n22n2221n221n2n22n21n212n22252122212122122sin)(16)()(2qaMmmMmMMm解出2的两个正值解：212221212212O212221212212A2qasin)(Mm16)mM()mM(Mm22qasin)(Mm16)mM()mM(Mm2由两种不同原子构成的一维复式格子存在两种独立的格波：A（声学波）和O（光学波）0)()()()(2212121221meeMiqaiqaA、B不会为0，故：26（1）格波的频率在波矢空间内是以倒格矢2/a为周期的周期函数，即(q+2/a)=(q)。（2）格波的频率具有反演对称性。即(q)=(q)。波矢q可以限定在范围：aqa（第一布里渊区）2122212122122sin)(16)()(2qaMmmMmMMm关于格波频率的讨论：27aqa22NlN允许的波矢数目等于N（原胞数）N是总原胞数是整数ll2qNa)tqna(inta)Nn(qiNnAeuAeu晶格振动的模式数目等于原子自由度数之和。波矢相同，频率不同；频率相同，波矢不同属不同的振动模式。格波模式总数为2N：对一维双原子复式格子，一个波矢对应两个不同频率。2N为原子总数，原子自由度数玻恩—卡门边界条件晶格振动的波矢数目：28MmmMO21max一维双原子晶格的频谱图：一维双原子晶格的频谱qAO0/a-/aAmaxOmin光学波和声学波2122212122122sin)(16)()(2qaMmmMmMMm29与波矢无关的常数长声学波是弹性波，最小频率为0。A一支的格波为声学波。声学波的最高频率：212122121221maxA)(Mm16)mM()mM(Mm20AAmax，AmaxOmin))(mM(aq/v2121AA当q0时，格波的速度一维双原子晶格的频谱qAO0/a-/aAmaxOmin长声学波是弹性波：2122212122122qasin)(Mm16)mM()mM(Mm230光学波频率处于光波频率范围（远红外段）：离子晶体能吸收红外光产生光学格波共振。光学波的最低频率：一维双原子晶格的频谱qAO0/a-/aAmaxOmin212122121221minO)(Mm16)mM()mM(Mm2212221212212O2qasin)(Mm16)mM()mM(Mm2MmmM21maxO31长波极限下，原子的位移：长光学波长声学波0)()(21221BeAMiqa0)()(22121BmAeiqa221iqa21AmeA