天津市青光中学2012-2013学年高一下学期期中考试数学试题

时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)题号123456789101112答案一、选择题(每小题5分，共60分)1．在△ABC中，a＝1，b＝3，B＝120°，则A等于()A．30°B．45°C．60°D．120°2．符合下列条件的三角形有且只有一个的是()A．a＝1，b＝2，c＝3B．a＝1，b＝2，A＝30°C．a＝1，b＝2，A＝100°D．b＝c＝1，B＝45°3．在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝3:2:4，那么cosC＝()A.23B.14C．－23D．－144．已知等差数列{an}中，an＝4n－3，则首项a1和公差d的值分别为()A．1,3B．－3,4C．1,4D．1,25．已知等比数列{an}的各项均为正数，前n项之积为Tn，若T5＝1，则必有()A．a1＝1B．a3＝1C．a4＝1D．a5＝16．若△ABC中，a＝2bcosC，则该三角形一定为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形7．等比数列{an}的公比为13，前n项的和为Sn，n∈N*如S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，则其公比为()A．(13)2B．(13)6C.13D.238．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a2a9＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值为()A．12B．10C．8D．2＋log359．递减的等差数列{an}的前n项和Sn满足S5＝S10，则欲使Sn取最大值，n的值为()A．10B．7C．9D．7或810．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则()A．a＜v＜abB．v＝abC.ab＜v＜a＋b2D．v＝a＋b211．设a0，b0.若3是3a与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为()A．8B．4C．1D.142412xyz12.在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x＋y＋z的值为()A．1B．2C．3D．4第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．不等式1x≤x的解集是________．14．如果关于x的不等式2kx2＋kx－380对一切实数x都成立，那么k的取值范围是________．15．已知在△ABC中，A＝60°，最大边和最小边的长是方程3x2－27x＋32＝0的两实根，那么边BC的长为________．16．等差数列{an}中，Sn是它的前n项之和，且S6S7，S7S8，则①此数列的公差d0；②S9一定小于S6；③a7是各项中最大的一项；④S7一定是Sn中的最大值．其中正确的是________．(填入你认为正确的所有序号)三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)在△ABC中，a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度数；(2)求c；(3)求△ABC的面积．18．(12分)已知公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a3，a13成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn.19．(12分)(2012·中山高二检测)如下图，从气球A测得正前方的河流上的桥梁两端B，C的俯角α，β，如果这时气球的高度是h，求桥梁BC的长度．20．(12分)已知下列不等式①x2－4x＋30；②x2－6x＋80；③2x2－9x＋a0.要使①②成立的x也满足③，请你找一个这样的a值．21．(12分)等差数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn满足条件S2nSn＝4，n＝1,2，…，(1)求数列{an}的通项公式和Sn；(2)记bn＝an·2n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.22．(12分)电视台某广告公司特约播放两部片集，其中片集甲每片播放时间为20分钟，广告时间为1分钟，收视观众为60万；片集乙每片播放时间为10分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万，广告公司规定每周至少有6分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间(含广告时间)．(1)问电视台每周应播放两部片集各多少集，才能使收视观众最多；(2)在获得最多收视观众的情况下，片集甲、乙每集可分别给广告公司带来a和b(万元)的效益，若广告公司本周共获得1万元的效益，记S＝1a＋1b为效益调和指数，求效益调和指数的最小值．(取2＝1.41)天津市青光中学高一数学期中测试答案(2)bn＝2an＝22n－1，所以数列{bn}是以2为首项，4为公比的等比数列．∴Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1＝21－4n1－4＝23(4n－1)．19解：过A作垂线AD交CB于D，则在Rt△ADB中，∠ABD＝α，AB＝hsinα.又在△ABC中，∠C＝β，∠BAC＝α－β，由正弦定理，得BCsinα－β＝ABsinβ，∴BC＝AB·sinα－βsinβ＝h·sinα－βsinα·sinβ.(2)由bn＝an·2n－1，得bn＝(2n－1)·2n－1.所以Tn＝1＋3·21＋5·22＋…＋(2n－1)·2n－1，①2Tn＝2＋3·22＋5·23＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n，②①－②得－Tn＝1＋2·2＋2·22＋…＋2·2n－1－(2n－1)·2n＝2(1＋2＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)·2n－1＝21－2n1－2－(2n－1)·2n－1.所以Tn＝(2n－1)·2n＋1－(2n＋1－2)＝(n－1)·2n＋1－2n＋3.22解：(1)设片集甲、乙分别播放x，y集，则有x＋y≥6，21x＋11y≤86，x，y∈N.要使收视观众最多，则只要z＝60x＋20y最大即可．如图作出可行域，易知满足题意的最优解为(2,4)，zmax＝60×2＋20×4＝200，故电视台每周片集甲播出2集，片集乙播出4集，其收视观众最多．(2)由题意得：2a＋4b＝1，S＝1a＋1b＝(1a＋1b)(2a＋4b)＝6＋2ab＋4ba≥6＋42＝11.64(万元)，当且仅当a＝2－12，b＝2－24时，取等号．所以效益调和指数的最小值为11.64万元．