奥数知识点总复习

第一部分常用数据和公式:圆周率常取数据3.14×1＝3.143.14×2＝6.283.14×3＝9.423.14×4＝12.563.14×5＝15.73.15×6＝18.843.14×7＝21.983.14×8＝25.123.14×9＝28.26常用特殊数的乘积25×4＝100125×8＝1000125×3＝375125×4＝500625×16＝1000025×8＝20037×3=1117×11×13＝1001常用平方数112＝121122＝144132＝169142＝196152＝225162＝256172＝289182＝324192＝361102＝100202＝400302＝900402＝1600502＝2500602＝3600452＝2025552＝3025652＝4225752＝5625852＝7225常用立方数：23＝833＝2743＝6453＝12563＝21673＝34383＝51293＝729比赛场数：淘汰赛：n-1循环赛：100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97常用的分数与小数的互化＝0.25＝0.75＝0.125＝0.375＝0.625＝0.875＝0.04＝0.08＝0.12＝0.16常用数列求和公式：1＋2＋3＋……＋n＝1＋3＋5＋……＋（2n－1）＝n212＋22＋32＋……＋n2＝13＋23＋33＋……＋n3＝（1＋2＋3＋……＋n）2＝〔〕21＋2＋3＋…＋（n－1）＋n＋（n－1）＋…＋3＋2＋1＝n2常用裂项公式1×2＋2×3＋3×4＋……＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n+2)1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋……＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n+2)(n+3)＋＋＋……＋＝）＝×﹝－﹞将单位分数拆成两个或多个单位分数和或差的形式。＝＝＋＋＝＝－－常用计算公式：1、＝×1001＝×7×11×13＝×10101＝×3×7×13×372、平方差公式：α2－b2＝（α＋b）（α－b）3、完全平方公式：（α＋b）2＝α2＋2αb＋b2（α－b）2＝α2－2αb＋b24、α÷（b×c÷d×e÷f）＝α÷b÷c×d÷e×fα－（b－c＋d－e＋f）＝α－b＋c－d＋e－f5、0.＝；0.＝；0.0＝0.α＝6、圆柱体的表面积＝2πrh＋2πr2＝2πr(h＋r)圆柱体的体积︰πr2h圆锥体的体积＝πr2h球的表面积＝4πr2球的体积＝πr3第二部分应用题和差问题和差问题是根据大小两个数的和与两个数的差求大小两个数各是多少的应用题。解答和差问题的基本公式是：（和＋差）÷2＝较大数（和－差）÷2＝较小数和倍问题己知几个数的和及这几个数之间的倍数关系，求这几个数的应用题叫和倍问题。解答和倍问题，一般是先确定较小的数为标准数（或称1倍数），再根据其他几个数与较小数的倍数关系，确定总和相当于标准数的多少倍，然后用除法求出标准数，再求出其他各数，最好采用画线段图的方法。和÷（倍数＋1）＝小数1倍数×倍数＝大数差倍问题己知两个数的差及它们之间的倍数关系，求这两个数的应用题叫差倍问题。解答差倍问题，一般以较小数作为标准数（1倍数），再根据大小两数之间的倍数关系，确定差是标准数的多少倍，然后用除法先求出较小数，再求出较大数。解答这类问题，先画线段图，帮助分析数量关系。差÷（倍数－1）＝小数1倍数×倍数＝大数年龄问题己知两个人或几个人的年龄，求他们年龄之间的某种数量关系；或己知某些人年龄之间的数量关系，求他们的年龄等，这种题称为年龄问题。年龄问题的特点是：一般用和差或者和倍问题的方法解答。（1）两人的年龄之差是固定不变的量，称为定差。（关键量）（2）两个人的年龄同时都增加同样的数量。（3）两个年龄之间的倍数关系，随着年龄的增长，也在发生变化。植树问题在首尾不相接的路线上植树，段数与棵数关系可分为三类：（1）两端都种树段数=棵数－1（2）一端种一端不种段数=棵数（3）两端都不种段数=棵数＋1在首尾相接的路线上种树（如圆、正方形、闭合曲线等）段数=棵数平均数求平均数必须知道总数和份数，常用公式：平均数=总数÷份数总数=平均数×份数份数=总数÷平均数相遇问题行程问题又分为相遇问题、追及问题、火车过桥问题等。路程=速度×时间时间=路程÷速度速度=路程÷时间相遇问题的特点是两个运动物体或人，同时或不同时从两地相向而行，或同时同地相背而行，要解答相遇问题，掌握以下数量关系：速度和×相遇时间＝路程路程÷速度和＝相遇时间速度÷相遇时间=速度和追及问题运动的物体或人同向而不同时出发，后出发的速度快，经过一段时间追上先出发的，这样的问题叫做追及问题，解答追及问题的基本条件是“追及路程”和“速度差”。追及问题的基本数量关系是：追及时间=追及路程÷速度差追及路程=速度差×追及时间速度差=追及路程÷追及时间流水行船问题船在江河里航行，前进的速度与水流动的速度有关系。船在流水中行程问题，叫做行船问题（也叫流水问题），船顺流而下的速度和逆流而上的速度与船速、水速的关系是：顺水速度=船速＋水速逆水速度=船速－水速由于顺水速度是船速与水速的和，逆水速度是船速与水速的差，因此行船问题就是和差问题，所以解答行船问题有时需要驼用和差问题的数量关系。船速=（顺水速度＋逆水速度）÷2水速=（顺水速度－逆水速度）÷2因为行船问题也是行程问题，所以在行船问题中也反映了行程问题的路程、速度与时间的关系。顺水路程=顺水速度×时间逆水路程=逆水速度×时间火车过桥问题过桥问题的一般数量关系是：路程=桥长＋车长车速=（桥长＋车长）÷通过时间通过时间=（桥长＋车长）÷车速车长=车速×通过时间－桥长桥长=车速×通过时间－车长还原问题还原问题又叫逆推问题。己知一个数的结果，再经过逆运算反求原数，叫做还原问题。解决这类题要从结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算（即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘）。方阵问题很多的人或物按一定条件排成正方形（简称方阵），再根据己知条件求总人数，这类题叫方阵问题。在解决方阵问题时，要搞清方阵中一些量（如层数，最外层人数，最里层人数，总人数）之间的关系。方阵问题的基本特点是：（1）方阵不管在哪一层，每边的人数都相同，每向里面一层，每边上的人数减少2，每一层就少8。（2）每层人数=（每边人数－1）×4（3）每边人数=每层人数÷4＋1（4）实心方阵人数=每边人数×每边人数幻方与数阵幻方的特点：一个幻方每行、每列、每条对角线上的几个数的和都相等。这个相等的和叫“幻和”。填幻方有两种方法：奇阶：1、九子排列法2、罗伯法3、巴舍法。偶阶：1、对称交换法2、圆心方阵法。数阵有三种基本类型：（1）封闭型，（2）辐射型（3）综合型解数阵问题一般思路是从和相等入手，确定重处长使用的中心数，是解答解数阵类型题的解题关键。一般答案不唯一。奇数与偶数加法：偶数＋偶数=偶数奇数＋奇数=偶数偶数＋奇数=奇数减法：偶数－偶数=偶数奇数－奇数=偶数偶数－奇数=奇数乘法：偶数×偶数=偶数奇数×奇数=奇数偶数×奇数=偶数盈亏问题解盈亏问题通常是比较法和对应法结合使用。公式是：（同盈同亏用减法，一亏一盈用加法）两次分配结果差÷两次分配数差=人数牛吃草问题牛吃草问题涉及三种数量：A.原有的草。B.新长出的草。C.牛吃掉的草。牛吃草问题解法一般分为三步：⑴求每天新生的草量；⑵求原有草量；⑶求出最终的问题。（类似于行程问题中的追及问题）还原问题解题关键：在从后往前推算的过程中，每一步都是做同原来相反的运算，原来加的，运算时用减；原来减的，运算时用加；原来乘的，运算时用除；原来除的，运算时用乘。假设问题假设法是解答应用题时经常用到的一种方法。所谓“假设法”就是依据题目中的己知条件或结论作出某种设想，然后按照己知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾，再适当调整，从而找到正确答案。浓度问题溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度溶液的重量×浓度＝溶质的重量溶质的重量÷浓度＝溶液的重量利润问题利润问题和商品出售问题与我们平时的生活实际的联系是十分密切的，解答利润问题你必须理解以下的关系式。（1）利润=卖价－成本（2）利润的百分数=（卖价－成本）÷成本×100﹪（3）卖价=成本×（1＋利润率）（4）成本=卖价÷（1＋利润率）(5)折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)(6)利息＝本金×利率×时间(7)税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)工程问题1在解答工程问题时，常把“一项工程”看作单位“1”，根据工作总量、工作效率和工作时间三者之间的关系进行解题。2解题时，要善于运用常见的数学思想方法—如假设法、转化法、代换法。余数问题一个带余数除法算式包含4个数：被除数÷除数=商……余数。它们的关系也可表示为：被除数=除数×商＋余数，或（被除数－余数）÷除数=商。钟表问题1解答钟表问题，我们首先想办法把有些能转化成相遇或追及问题的题目转化为相遇或追及问题来解答。需记住以下常用数据：钟表上有12个大格，60个小格，每大格对应30度，每个小格对应6度。分针每分钟走：6度；时针每分钟走：0.5度；速度差：5.5度2解答钟表上的时间快慢问题，关键是抓住单位时间内的误差，然后根据某一时间段内含多少个单位时间，就可以求出这一时间段内的误差。分数应用题的计算1解答较复杂的分数应用题，一定要找准单位“1”，如果单位“1”的量是变化的，就要从题目中找出不变的量，把不变的量看作单位“1”，将己知条件进行转化，找出所求数量相当于单位“1”的几分之几，再列式解答。2还可以借助线段图来帮助理解题意，列式解答。3对较复杂的分数应用题，还可以列方程来解答。比和比例解答按比例分配的应用题，关键是根据题目的己知条件，找出部分量与总量之间的关系。把己知数量与份数对应起来，转化为求一个数的几分之几来做。第三部分数论㈠整除：能被2、3、5、9、7、11、13整除的数的特征若一个整数的末位是2的倍数，则这个数能被2整除。若一个整数的各位数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。若一个整数的末两位能被4（25）整除的数，这个数就能被4（25）整除。若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。若一个整数的末三位与前面的隔出数的差能被7整除，则原数能被7整除。若一个整数的各位数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除；若一个整数的末三位与前面的隔出数的差能被11整除，则原数能被11整除。若一个整数的末三位与前面的隔出数的差能被13整除，则这个数能被13整除。若一个数能同时被a、b整除，且a、b互素，则这个数能被ab整除若一个整数的末n位能被2ⁿ整除，则这个数能被2ⁿ整除（n＝1，2，3，……）㈡分解质因数1、把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。2、一个自然数的约数的个数：等于各个质因数的指数加1后的乘积。3、一个数的完全平方数，各个质因数的个数，恰好是平方前这个数各个质因数个数的2倍。4、一个完全平方数各个质因数的个数都是偶数。㈢最大公约数与最小公倍数求两个数的最大公约数一般有三种方法：（1）分解质因数法（2）短除法（3）辗转相除法求几个数的最小公倍数的方法也有三种：（1）分解质因数法（2）短除法（3）a×b=(a,b)×[a,b]㈣同余整数a、b除以整数c，得到的余数相同，我们就说整数a、b对于模c同余。记作：a≡b（modc）“同余”的四个常用定理同余定理（一）如果a≡b(modm)，则m︱（a－b）若两数同余，他们的差必是除数的倍数。例如，73≡23(mod10)则10︱（73－23）73与23的差是10的倍数。同余定理（二）如果a≡b(modm)，c≡d(modm),则a±c≡b±d(modm)两数和的余数等于余数的和。例如，73≡3(mod10)两数差的余数等于余数的差。84≡4(mod10)73+84≡3+4≡7(mod10)84－73≡4－3≡1(mod