图像变换(非常重要的内容).

第三章图像变换第三章图象变换3.1图像变换的预备知识3.2傅立叶变换3.3频域变换的一般表达式3.4离散余弦变换3.5离散沃尔什哈达玛变换3.6小波变换简介第三章图像变换概述一．定义：图像变换即为达到图像处理的某种目的而使用的一种数学方法。二．图像变换的目的：①使图像处理问题简化；②有利于图像特征提取；③有助于从概念上增强对图像信息的理解。第三章图像变换三．图像变换的要求：①图像函数变换后处理较变换前更加方便和简单；②图像函数变换后不损失原图像的信息；③图像变换必须是可逆的。第三章图像变换3．1图像变换的预备知识一．线性系统1．系统的定义：接受一个输入，并产生相应输出的任何实体。系统的输入是一个或两个变量的函数，输出是相同变量的另一个函数。系统x(t)输入y(t)输出第三章图像变换2．线性系统的定义：对于某特定系统，有：x1(t)y1(t)x2(t)y2(t)该系统是线性的当且仅当：x1(t)+x2(t)y1(t)+y2(t)从而有：a*x1(t)a*y1(t)第三章图像变换3．线性系统位移不变性的定义：对于某线性系统，有：x(t)y(t)当输入信号沿时间轴平移T，有：x(t-T)y(t-T)则称该线性系统具有位移不变性第三章图像变换二．卷积–卷积的定义–离散一维卷积–二维卷积的定义–离散二维卷积–相关的定义第三章图像变换1．卷积的定义对于一个线性系统的输入f(t)和输出h(t)，如果有如下关系：h(t)=g(t-)f()d记为：h=g*f-g(t)称为冲激响应函数。h(t)为f(t)与g(t)的卷积。上式就是卷积积分的一般表达式第三章图像变换2．离散一维卷积h(i)=f(i)*g(i)=f(j)g(i-j)j3．二维卷积的定义h(x,y)=f*g=f(u,v)g(x–u,y–v)dudv-4．离散二维卷积h(x,y)=f*g=f(m,n)g(x–m,y–n)mn第三章图像变换三.频域世界与频域变换图3-1任意波形可分解为正弦波的加权和(a)(b)(c)(d)第三章图像变换图3-2正弦波的振幅A和相位φ初相位振幅A基本正弦波(A＝1,＝0)角频率OAAOfOf(a)(b)图3-3图3-1（a(a)幅频特性；(b)相频特性第三章图像变换空域和频域之间的变换可用数学公式表示如下：)(),()(ffAff正变换逆变换为能同时表示信号的振幅和相位，通常采用复数表示法，因此式（3-1）可用复数表示为)()(fFff正变换逆变换完成这种变换，一般采用的方法是线性正交变换。(3-1)(3-2)第三章图像变换3.2傅立叶变换一.若把一个一维输入信号作一维傅立叶变换，该信号就被变换到频域上的一个信号，即得到了构成该输入信号的频谱，频谱反映了该输入信号由哪些频率构成。这是一种分析与处理一维信号的重要手段。当一个一维信号f(x)满足狄里赫莱条件，即f(x)（1）具有有限个间断点；（2）具有有限个极值点；（3）绝对可积。第三章图像变换则其傅立叶变换对（傅立叶变换和逆变换）一定存在。在实际应用中，这些条件一般总是可以满足的。一维傅立叶变换对的定义为dueuFxfuFFdxexfuFxfFuxjuxj212)()()]([)()()]([(3-3)(3-4)式中：，x称为空域变量，u1j第三章图像变换以上一维傅立叶变换可以很容易地推广到二维，如果二维函数f(x,y)满足狄里赫莱条件，则它的二维傅立叶变换对为:dudvevuFyxfvuFFdxdyeyxfvuFyxfFvyuxjvyuxj)(21)(2),(),()],([),(),()],([(3-5)(3-6)式中：x,y为空域变量；u,v为频域变量。第三章图像变换二.要在数字图像处理中应用傅立叶变换，还需要解决两个问题：一是在数学中进行傅立叶变换的f(x)为连续（模拟）信号，而计算机处理的是数字信号（图像数据）；二是数学上采用无穷大概念，而计算机只能进行有限次计算。通常，将受这种限制的傅立叶变换称为离散傅立叶变换（DiscreteFourierTransform，DFT)。设{f(x)|f(0),f(1),f(2),…,f(N-1)}为一维信号f(x)的N个抽样，其离散傅立叶变换对为:第三章图像变换NuxjNxNuxjNxeuFNxfuFFexfuFxfF/2101/210)(1)()]([)()()]([(3-7)(3-8)式中：x，u=0，1，2，…,N－1。N/1注：式（3-8）中的系数1/N也可以放在式（3-7）中，有时也可在傅立叶正变换和逆变换前分别乘以，这是无关紧要的，只要正变换和逆变换前系数乘积等于1/N即可。第三章图像变换由欧拉公式可知sincosjej(3-9)将式（3-9）代入式（3-7），并利用cos(－θ)=cos(θ)，可得102sin2cos)()(NxNuxjNuxxfuF(3-10)可见，离散序列的傅立叶变换仍是一个离散的序列，每一个u对应的傅立叶变换结果是所有输入序列f(x)的加权和（每一个f(x)都乘以不同频率的正弦和余弦值），u决定了每个傅立叶变换结果的频率。第三章图像变换通常傅立叶变换为复数形式，即)()()(ujIuRuF(3-11)式中，R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部。式(3-11)也可表示成指数形式：F(u)=|F(u)|ejφ(u)(3-12)其中)()(arctan)()()(|)(|22uRuIuuIuRuF(3-13)(3-14)第三章图像变换通常称|F(u)|为f(x)的频谱或傅立叶幅度谱，φ(u)为f(x)的相位谱。频谱的平方称为能量谱或功率谱，它表示为)()(|)(|)(222uIuRuFuE(3-15)考虑到两个变量，就很容易将一维离散傅立叶变换推广到二维。二维离散傅立叶变换对定义为)(210101)(21010),(1),()],([),(),()],([NvyMuxjNvMuNvyMuxjMxNyevuFMNyxfvuFFeyxfvuFyxfF(3-16)(3-17)第三章图像变换式中：u,x=0,1,2,…,M-1；v,y=0,1,2,…,N-1；x,y为空域变量，u,v为频域变量。像一维离散傅立叶变换一样，系数1/MN可以在正变换或逆变换中，也可以在正变换和逆变换前分别乘以系数，只要两式系数的乘积等于1／MN即可。二维离散函数的傅立叶频谱、相位谱和能量谱分别为MN/1),(),(),(),(),(arctan),(),(),(|),(|2222vuIvuRvuEvuRvuIvuvuIvuRvuF(3-18)(3-19)(3-20)式中，R(u,v)和I(u,v)分别是F(u,v)的实部和虚部。第三章图像变换三.离散傅立叶变换的性质表3-1二维离散傅立叶变换的性质第三章图像变换第三章图像变换1.由可分离性可知，一个二维傅立叶变换可分解为两步进行，其中每一步都是一个一维傅立叶变换。先对f(x,y)按行进行傅立叶变换得到F(x,v)，再对F(x,v)按列进行傅立叶变换，便可得到f(x,y)的傅立叶变换结果，如图3-4所示。显然对f(x,y)先按列进行离散傅立叶变换，再按行进行离散傅立叶变换也是可行的。图3-4用两次一维DFT计算二维DFTf(x,y)F(x,)F(u,)按行进行一维DFT按列进行一维DFT第三章图像变换2.平移性质表明，只要将f(x,y)乘以因子(－1)x+y，再进行离散傅立叶变换，即可将图像的频谱原点（0，0）移动到图像中心（M／2,N／2）处。图3-5是简单方块图像平移的结果。(a)原图像（b）无平移的傅立叶频谱；（c）平移后的傅立叶频谱图3-5傅立叶频谱平移示意图(a)(b)(c)第三章图像变换由旋转不变性可知，如果空域中离散函数旋转θ0角度，则在变换域中该离散傅立叶变换函数也将旋转同样的角度。离散傅立叶变换的旋转不变性如图3-6所示。图3-6（a）原始图像；（b）原始图像的傅立叶频谱；（c）旋转45°后的图像；（d）图像旋转后的傅立叶频谱(a)(b)(d)(c)3.旋转不变性第三章图像变换四.离散傅立叶变换计算量非常大，运算时间长。可以证明其运算次数正比于N2，特别是当N较大时，其运算时间将迅速增长，以至于无法容忍。为此，（FastFourierTransform，FFT）是非常有必要的。下面介绍一种称为逐次加倍法的快速傅立叶变换算法（FFT），它是1965年Cooley和Tukey首先提出的。采用该FFT算法，其运算次数正比于NlbN，当N很大时计算量可以大大减少。例如，FFT的运算次数和DFT的运算次数之比，当N=1024时，比值为1／102.4；当N=4096时，比值可达1／341.3。第三章图像变换由于二维离散傅立叶变换具有可分离性，即它可由两次一维离散傅立叶变换计算得到，因此，仅研究一维离散傅立叶变换的快速算法即可。先将式（3-7）写成10)()(NxuxWxfuF(3-21)式中，W=e-j2π／N，称为旋转因子。第三章图像变换这样，可将式(3-21)所示的一维离散傅立叶变换（DFT）用矩阵的形式表示为)1()1()0()1()1()0()1()1()1(2)1(1)1(00)1(02010)1(0201100)1(020100Nfff式中，由Wux构成的矩阵称为W阵或系数矩阵。(3-22)第三章图像变换观察DFT的W阵，并结合W的定义表达式W=e-j2π／N，可以发现系数W是以N为周期的。这样，W阵中很多系数就是相同的，不必进行多次重复计算，且由于WxuNxuNxuNNjN22222,1例如，对于N=4，W阵为9630642032100000(3-23)第三章图像变换由W的周期性得：W4＝W0，W6＝W2，W9＝W1；再由W的对称性可得：W3＝－W1，W2＝－W0。于是式(3-23)可变为1010000010100000(3-24)第三章图像变换可见N=4的W阵中只需计算W0和W1两个系数即可。这说明W阵的系数有许多计算工作是重复的，如果把一个离散序列分解成若干短序列，并充分利用旋转因子W的周期性和对称性来计算离散傅立叶变换，便可以简化运算过程，这就是FFT的基本思想。设N为2的正整数次幂，即,2,12nnn如令M为正整数，且N=2M(3-25)(3-26)第三章图像变换将式（3-26）代入式（3-21），离散傅立叶变换可改写成如下形式：10)12(2)2(2101202)12()2()()(MxxuMxuMMxMxuxMWxfWxfWxfuF由旋转因子W的定义可知，因此式(3-27)变为uxMuxMWW22uMuxMMxMxuxMWWxfWxfuF21010)12()2()(现定义1,,1,0,)12()(1,,1,0,)2()(1010MxuWxfuFMxuWxfuFMxuxMoMxuxMe(3-27)(3-28)(3-29)(3-30)第三章图像变换于是式(3-28)变为)()()(2uFWuFuFouMe(3-31)进一步考虑W的对称性和周期性可知，于是uMMuMWWuMMuMWW22)()()(2uFWuFMuFouMe(3-32)由此，可将一个N点的离散傅立叶变换分解成两个N／