如水般的小学数学概念教学

如水般的小学数学概念教学——以“面积的认识”一课为例（管尤跃云南省教育科学研究院650223）在《小学教学（数学版）》2008年第5期“教学如水”一文中我曾提到让小学数学教学如水流淌一般的自然，只有回归自然的教学才是真正的教学、本色的教学。小学数学教学中就应该让数学概念的建构过程与学生的认知过程水乳交融，如同水与万物之间密切关系般的自然。因为数学概念是小学数学学习的重要内容，概念教学是小学数学教学中的关键环节。一、桃花潭水深千尺小学数学教学不“小”，每一个内容，无论大小，都有着“桃花潭水深千尺”的数学知识背景。“面积的认识”是小学数学中“空间与图形”领域中至关重要的一个内容：其一，它是建立在学生已经掌握了“一维”空间中长度的概念以及认识了长方形和正方形等平面图形的特征、认识周长以及会计算长方形、正方形周长的基础之上的；其二，在小学数学中起到承上启下的作用，这是认识“二维”空间的第一次接触，也是为今后认识“三维”空间做好准备；其三，在螺旋上升的认知中能正确区分“周长”与“面积”的含义，也为今后学习“面积”与“体积”以及利用这些知识正确地解决实际问题奠定坚实的基础。人民教育家陶行知先生认为，“教的法子要根据学的法子，学的法子要根据做的法子。事怎样做便怎样学，怎样学便怎样教。”正因为如此，这几个关键性的概念都应该按照陶行知先生提出的“教学做合一”的思想进行教学，这既是教学的总要求，又是最基本最一般的教学方法。基于此，我认为小学生数学概念教学的核心环节就是给学生足够的、充分的时间和空间，让学生经历数学概念的形成过程，教学中着重引导学生经历观察、操作实践、猜测、判断、归纳、类比、交流等数学活动，充分体现出概念本质特征的形成过程，体验概念的“再创造”的过程。二、水碧山青知好处在一次教学研究过程中，我们对学生学习“面积的认识”一课进行了前测和后测，正如刘禹锡的诗句：“水碧山青知好处，开颜一笑问何人”，要弄清楚教学中的问题最好就是问学生。现将测试情况介绍如下：1、在日常生活中，你听说过“面积”这个词语吗？（前测）A、听说过B没有听说过检测情况：93%的学生选A；6%的学生选B。反映出学生对“面积”的认识在生活中是有这方面的知识经验的，无论是农村学生还是城市学生，从土地面积到住房面积，与孩子们的实际是有联系的。2、在你的脑海中，面积指的是什么呢?根据你的理解，写出面积的概念。（前测、后测）前测情况：10%的学生基本能正确理解“面积”的概念；16%的学生了解到一点“面积”的内涵；74%学生几乎对面积没有认识。后测情况：79%的学生能正确理解“面积”的概念；5%的学生还不了解面积的概念；16%的学生不能根据自己的理解写出面积的概念。3、在生活中，你看到过比较两个物体表面大小的事例吗？简单的说一说。（前测、后测）前测情况：6%的学生能正确举例；20%的学生举的例子有一点沾边；74%的学生不会。后测情况：78%的学生能根据本节课所讲内容举出比较面积的例子；12%的学生举例出错；10%的学生没有作答。4、下面两个图形哪个大？请说明你的理由。（前测）(A)AB(B)A=B(C)AB（答案）(D)无法比较检测情况：A(3.4%);B(1.7%);C(92%);D(1.7%).没做（1.7%）。“说明理由”一项60%的学生会用观察法；17%的学生用周长比较；23%的学生没做答。5、下面两个图形哪个大？请说明你的理由。（前测、后测）AABB(A)AB(B)A=B（答案）(C)AB(D)无法比较前测情况：A(16%);B(1.7%);C(73%);D(10%).没做（3.4%）43%的学生会用观察法，知道转一下就一样了；34%的学生用周长比较；23%的学生没做。后测情况A(40%);B(40%);C(23%);D(17%).67%的学生会用观察法，知道转一下就一样了；19%的学生用周长比较；14%的学生没做答。6、下面两个图形哪个大？（是1厘米）请说明你的理由。（前测、后测）图（A）图（B）(A)AB(B)A=B(C)AB（答案）(D)无法比较前测情况：A(8.3%);B(27%);C(53%);D(6.7%).没做（5%）。35%的学生会用数方格或面积公式进行比较；40%的学生利用周长比较；25%的学生不会比较。后测情况：A(12%);B(10%);C(76%);D(17%).没做（5%）。81%的学生会用数方格或面积公式进行比较；10%的学生利用周长比较；9%的学生不会比较。7、下面两个图形哪个大？你是怎么比较的？请说明你的理由。（前测、后测）图（A）长5厘米，宽2厘米的长方形图（B）边长为3厘米的正方形(A)AB（答案）(B)A=B(C)AB(D)无法比较前测情况：A(73%);B(5%);C(10%);D(3%).没做（8%）。15%的学生会用数方格或面积公式进行比较；52%的学生利用周长比较；33%的学生不会比较。后测情况：A(86%);B(3.4%);C(6.8%);D(1.7%).没做（1.7%）62%的学生会用数方格或面积公式进行比较；31%的学生利用周长比较；7%的学生不会比较。8、下图为一张新书桌，现在想在桌面安上一块玻璃。请问要买多大一块玻璃才能刚好覆盖住桌面？你需要测出哪些量？（前测、后测）前测情况：22%的学生知到测出长和宽，但只是直觉。还不清楚是要测面积；38%的学生说要测出周长；40%的学生不会做。后测情况：59%的学生知到测出需要测出面积，部分学生说要测出长和宽，部分学生说利用数方格；12%的学生说要测出周长；29%的学生不会做（可能因为时间不够）。（后测）比较下面三个图形面积的大小？请说明你的理由。（A）AB=C(B)A=BC(C)A=B=C(D)ACB（答案）检测情况：A(17%);B(5.1%);C(19%);D(50%).没做（8.9%）。55%的学生会用数方格或观察进行比较，大部分学生用观察的方法；6.9%的学生利用周长比较；3.8%的学生不会比较。（注：没做（8.9%）是指没做选择部分的。后面的剩下约34.3%是没有回答““理由”的。）（后测）下面两个图形中的方格大小均相等，请把图（B）中的方格用线分成两部分，使其中一部分的面积与图（A）相等。图（A）图（B）检测情况：51%的学生会利用数方格来找到面积相等的部分，并能正确的画出线；35%的学生虽然有意识利用数方格，但还不能灵活运用；14%的学生不会做。结合这次实践研究，仅就这次教学出现的问题反思：课中有学生回答说，比较两个图形的面的大小，周长越长的图形面积就越大。自此以后，一直有学生这样认为，更为重要的问题是一节课后还有很多ABC学生还是这样认为。教学中本应水到渠成地让学生发现面积大小的比较是需要用统一标准（面积单位）来度量的，结果发现一维空间中“周长”的概念对于学生认识二维空间的“面积”来说具有很强的负迁移作用，在平面图形中可以直接用工具（如直尺）来度量的“线”属于强刺激源，而只能通过间接度量的“面”属于弱刺激源，另外长度的学习在前，学生在学习中就会潜意识地受到长度的影响，总觉得周长越长的图形的面积就越大似地。三、风乍起，吹皱一池春水针对这些情况，我们必须深入思考下面的几个问题：问题1：学生对面的理解已经具有相当丰富的直观感知，对“面积”的直观认识也不乏有其感受，但对“物体的表面或图形的大小就是它们的面积”这样的话学生能理解到什么程度？问题2：学生已经建立了“一维”空间中长度、周长的概念，这对学生学习“二维”空间中面积的概念所具有的负迁移功能如何让其弱化至最小？问题3：如何让学生从面积概念的认识和理解过渡到对面积单位的产生过程？比较两个图形（或物体表面）的面积大小是不是必经过程？设计此环节的目的和价值何在？问题4：为学生提供多样的学具操作来引导学生思考面积的大小需要统一的单位来测量这个环节是摆设、作秀，还是别有用心？问题5：如何才能做到让老师结合实际（教学水平、教学艺术、教学特色）在多种多样的教学设计中选取比较适合于自己的教学，让教学顺其自然，水流成河？韩愈在《答李翊书》中说：“水大而物之浮者大小毕浮”，教学中的问题就应该如大海中的水，能让浮者毕浮。面对如此多的质疑或问题，如何应对、分析和解决成为教学这部分内容最为关键的问题，今后学习“体积的认识”的时候同样存在类似的问题。全国著名特级教师华应龙老师写过一篇文章“让学习像呼吸一样自然”，我想：学习如此，教学亦如此，教学设计的流畅就应该像呼吸一样的自然，我再想：教学如水，像“冰山上的来客”一路奔流而来，像山间水库般地静谧，还是像海水奔腾时的汹涌澎湃？四、问渠那得清如许教学也是不怕疑问就怕无疑，朱熹在《观书有感》中有两句诗“问渠哪得清如许，为有源头活水来”。教学之水，犹如长江之水，有源头之水才能清如许，我们不妨从以下几个方面来看：（一）、关于面积。仅就面积的概念来看，现行的几套小学数学教材的处理是有差异的，人教版、新世纪版（北师大版）、西师版是有结语的，而苏教版和青岛版是没有结语的。表述方式上也是有区别的。人教版的是：物体表面或封闭图形的大小就是它们的面积；北师大版为：物体的表面或封闭图形的大小就是它们的面积。西师版的是：物体表面或平面图形的大小叫做它们的面积。几个结语的不同主要表现在“封闭图形”和“平面图形”、“就是”和“叫做”这几个关键词方面，当然使用某种教材教学时还得注意需要强化和突出概念中的哪些内容。不过要处理好“社会数学”（对面积的生活经验）与“学校数学”（面积概念的理解）之间的关系，也就是指学生对面积的认识是一个渐进的过程，需要不断地完善与丰富。（二）、关于测试。如果仅就上面的测试结果来看，其中反映出来的教学中的问题是不应该出现的，甚至是不可原谅的，但是几次试教都出现这种情况就绝不是偶然，虽不能说是必然，至少可以说是自然。此次测试的成功之处在于：深入了解了学生对认识面积前后的思维状况，暴露出学生思维深处根深蒂固的认知对新知学习的干扰，感受到学生认识事物前后不断更新、矫正的过程。测试不仅仅是一种手段，一种了解学生思考问题的手段，也是一种工具，是诊断教学的工具。（三）、关于设计。仅就此内容，几易其稿，先后完全不一样的教学设计使教学效果也大相径庭，特别是对于面积概念的内涵和外延，学生理解的层次是千差万别的。如引入环节的设计就分别从教材主题图、生活中比手掌印、土地测量、图形比大小等方面尝试过；“比一比，哪个图形面积大”这个环节的设计最主要是思考和尝试是否为学生提供学具、提供什么样的学具、如何组织引导学生操作学具；比较图形面积大小的方法（如观察、重叠、测量）有没有必要刻意为之，是为了比较方法的多样化还是对学生理解概念真有其用等等。（四）、关于教学。实际上，要想让教学如水，不仅是流水般的自然，还应该成为滋润学生心田的甘露，就应该让教学在精心的设计之下顺势而行、顺应而生。结合学生的认知水平，在前测和后测的基础上，灵活地设计教学，根据教学现实适时地作出应对和调整。关键是理清教学思路：（五）、关于问题。问题1：对于学生对面的理解已经具有相当丰富的直观感知，对“物体的表面或封闭图形（平面图形）的大小就是（叫做）它们的面积”这种描述性的语言，学生基本上是能理解的，但是这句话对于学生真正理解“面积”的概念在突出和强化其内涵方面是很有价值的，如果不注重处理好操作和理解过程仅仅一句话是没有多少实际意义的。问题2：学生已经建立了“一维”空间中长度、周长的概念，尽量弱化其对学生学习“二维”空间中面积的概念所具有的负迁移功能使之最小。需要一个过程，教学如水之流淌需要一个过程，一个兼容、流失、蒸发、补充的过程。陶行知先生如是说：“我以为好的先生不是教书，不是教学生，乃是教学生学。”叶圣陶先生也曾指出：“教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。”要使负迁移功能失效或低效的最好的方法就是因势利导。根据教学生成设计一组或者一系列的情境让其辨识，以尽力帮助学习解决认知冲突的问题。问题3：让学生经历从面积概念的认识和理解过渡到对面积单位的产生过程，就是认真履行概念教学注重“概念形成过程”的要求。在教学中设计“比较两