圆锥曲线中的特殊位置法

圆锥曲线中的特殊位置法1.过抛物线xy42的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，则BFAF11＝。答案：1ABx轴时，可得2.已知过某定圆上的每一点均可以作两条相互垂直的直线与椭圆221169yx的公共点都各只有一个，那么该定圆的方程为______答案：2225xy易得椭圆221169yx的外切矩形的四个顶点43，必在该定圆上，则该定圆必是该外切矩形的外接圆，方程为2225xy，可以验证过该圆上除点43，的任意一点也均可作两条相互垂直的直线与椭圆221169yx的交点都各只有一个；3.已知椭圆)0(12222babyax的右焦点)0,1(F，离心率为22，过F作两条互相垂直的弦CDAB,，设CDAB,的中点分别为NM,.（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；解：（1）由题意：21,2cca，则2,1,1abc，椭圆的方程为2212xy（2）,ABCD斜率均存在，设直线AB方程为：(1)ykx，12121122(,),(,),(,(1))22xxxxAxyBxyMk，22(1),220,ykxxy得2222(12)4220kxkxk，212221224122212kxxkkxxk，故2222(,)1212kkMkk，将上式中的k换成1k，则同理可得：222(,)22kNkk，如22222122kkk，得1k，则直线MN斜率不存在，此时直线MN过点2(,0)3，下证动直线MN过定点2(,0)3P.（法一）若直线MN斜率存在，则22224222(33)3122222221122MNkkkkkkkkkkkkk，直线MN为22232()2212kkyxkkk，令0y，得222222212312232323kkxkkk，综上，直线MN过定点2(,0)3.（法二）动直线MN最多过一个定点，由对称性可知，定点必在x轴上，设23x与x轴交点为2(,0)3P，下证动直线MN过定点2(,0)3P.当1k时，PMk22223122221123kkkkkk，同理将上式中的k换成1k，可得221()3312211PMkkkkk，则PMPNkk，直线MN过定点2(,0)3P.4.已知双曲线2212xy的两焦点为12,FF，P为动点，若124PFPF．（Ⅰ）求动点P的轨迹E方程；（Ⅱ）若12(2,0),(2,0),(1,0)AAM，设直线l过点M，且与轨迹E交于R、Q两点，直线1AR与2AQ交于点S．试问：当直线l在变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．解法一：（Ⅰ）由题意知：1(3,0),(3,0)FF，又∵124PFPF，∴动点(,)Pxy必在以12,FF为焦点，长轴长为4的椭圆，∴a2，又∵c3，222bac1．∴椭圆C的方程为222xy14．（Ⅱ）由题意，可设直线l为：1xmy．①取m0,得33R1,,Q1,22，直线1AR的方程是33yx,63直线2AQ的方程是3yx3,2交点为1S4,3.若33R1,,Q1,22，由对称性可知交点为2S4,3.若点S在同一条直线上，则直线只能为:x4．②以下证明对于任意的m,直线1AR与直线2AQ的交点S均在直线:x4上．事实上，由22xy14xmy1，得22my14y4,即22m4y2my30，记1122Rx,y,Qx,y，则1212222m3yy,yym4m4．设1AR与交于点00S(4,y),由011yy,42x2得1016yy.x2设2AQ与交于点00S(4,y),由022yy,42x2得2022yy.x21200126y2yyyx2x21221126ymy12ymy3x2x21212124myy6yyx2x2221212m12mm4m40x2x2，∴00yy，即0S与0S重合，这说明，当m变化时，点S恒在定直线:x4上．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）取m0,得33R1,,Q1,22，直线1AR的方程是33yx,63直线2AQ的方程是3yx3,2交点为1S4,3.取m1,得83R,,Q0,155，直线1AR的方程是11yx,63直线2AQ的方程是1yx1,2交点为2S4,1.∴若交点S在同一条直线上，则直线只能为:x4．以下证明对于任意的m,直线1AR与直线2AQ的交点S均在直线:x4上．事实上，由22xy14xmy1，得22my14y4,即22m4y2my30，记1122Rx,y,Qx,y，则1212222m3yy,yym4m4．1AR的方程是11yyx2,x22AQ的方程是22yyx2,x2消去y,得1212yyx2x2x2x2……………………………………①以下用分析法证明x4时，①式恒成立。要证明①式恒成立，只需证明12126y2y,x2x2即证12213ymy1ymy3,即证12122myy3yy.………………②∵1212226m6m2myy3yy0,m4m4∴②式恒成立．这说明，当m变化时，点S恒在定直线:x4上．解法三：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由22xy14xmy1，得22my14y4,即22m4y2my30．记1122Rx,y,Qx,y，则1212222m3yy,yym4m4．1AR的方程是11yyx2,x22AQ的方程是22yyx2,x2由1122yyx2,x2yyx2,x2得1212yyx2x2,x2x2即21122112yx2yx2x2yx2yx221122112ymy3ymy12ymy3ymy11221212myy3yy23yy112211232m2m3yym4m4242m3yym4．