您好,欢迎访问三七文档
椭圆与双曲线一、图像与性质椭圆:把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.标准方程22221(0)xyabab+=22221(0)yxabab+=焦点所在轴X轴y轴图像(谁的分母大,焦点在谁上,大分母是2a)长轴长:aAA221短轴长:bBB221焦距:cFF221离心率:ace,222,,cbacba关系式:双曲线:平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.标准方程)0,0(12222babyax)0,0(12222babxay焦点所在轴X轴y轴图像(谁的系数为正,焦点在谁上,下面分母是2a)渐近线方程xabyxbay实轴长:aAA221虚轴长:bBB221焦距:cFF221离心率:ace,222,,abccba关系式:题型一:标准方程——kecba渐近线斜率,,,,——图像对照求值思路:根据标准方程或图像对照出kecba渐近线斜率,,,,中的任意两个,就可以利用关系式cba,,将其他参数全部算出,然后罗列性质就可以了。注意下列细节:椭圆中谁的分母大,焦点在谁上,大分母是2a,222cba双曲线中谁的系数为正,焦点在谁上,下面分母是2a,222abc例1:分析椭圆192522yx的性质。解:由椭圆方程得焦点在X轴上,且9,2522ba计算出:4,16925-,3,5222cbacba长轴长:1021AA短轴长:621BB焦距:821FF离心率:54e例2:顶点在X轴,两顶点的距离是8,离心率是45的双曲线方程。解:由题意得,82a45e,所以5,4ca91625222acb,3b又因为焦点在X轴上,所以双曲线方程为191622yx例3、已知椭圆经过点P(0,-3),Q(-2,0),求椭圆标准方程。解:与椭圆的两种标准图形对照不难发现这是一个焦点在Y轴上的椭圆,且P,Q作为与坐标轴的交点只能有a=3,b=2,标准方程为14922xy题型二、关于椭圆与双曲线定义的考察思路:设P是椭圆上任一点,则有aPFPF221设P是双曲线上任一点,则有aPFPF221例4:设21,FF是椭圆192522yx的两个焦点,过1F的弦AB与椭圆交于A,B两点,(1)已知1AF=4,求2AF(2)求三角形21FAF的周长;(3)求三角形2ABF的周长;解:由上述例子说明该椭圆中:4,3,5cba(1)由椭圆定义知:10221aAFAF,又因为1AF=4,则2AF=6(2)由椭圆定义知:10221aAFAF,8221cFF角形21FAF的周长=caFFAFAF222121=18(3)由椭圆定义知:10221aAFAF,10221aBFBF求三角形2ABF的周长=21AFAFaBFBF421=20例5、双曲线191622xy上一点P到一个焦点的距离为10,那么P到另一个焦点的距离是解:由双曲线方程191622xy对照得出焦点在Y轴上且9,1622ba,则4a,由双曲线定义知道:8221aPFPF,由题意知101PF,所以182PF或22PF。题型三:对方程122nymx的认识当nmnm且0,0时该方程表示焦点在X轴上的椭圆当mnnm且0,0时该方程表示焦点在Y轴上的椭圆当0,0nm时该方程表示焦点在X轴上双曲线当0,0mn时该方程表示焦点在y轴上双曲线当0nm时刚方程表示圆例6:方程12422tytx所表示的曲线为C,求以下情况时t的取值范围。(1)曲线C为焦点在X轴上的椭圆;(2)曲线C为焦点在Y轴上的椭圆;(3)曲线C为焦点在X轴上的双曲线;(4)曲线C为焦点在Y轴上的双曲线;解:(1)由题意得:3,224020-4ttttt。(2)4,342020-4ttttt(3))2,(0204ttt(4)).4(0204ttt题型四:巧用方程122ByAx解决已知两点求圆锥曲线方程问题分析:122ByAx是椭圆与双曲线方程的变式,在带值求解的过程中用此方程解题能使运算难度降低很多!例7:若椭圆经过点M(-2,3),N(1,32),求椭圆标准方程。解:设方程为122BxAx(A0,B0),将M(-2,3),N(1,32)两点代入上式得:15151112134BABABA所以椭圆方程为11515122yx,即115522yx例8:若过点M(3,24-),N(49,5)的双曲线的标准方程解:设方程为122BxAx(AB0),将M(3,24-),N(49,5)两点代入上式得:1619112516811329BABABA所以椭圆方程为11619122yx,即191622xy五、综合考题例9、已知椭圆两焦点坐标分别是(0,-2),(0,2)且椭圆过点(3,2),求椭圆方程。解:因为椭圆两焦点坐标分别是(0,-2),(0,2),所以焦点在Y轴上且2c,又因为82-20-32--20-32222221)(PFPFa所以4a,12416222cab所以椭圆方程为1121622xy例10:已知双曲线两焦点坐标分别是(-6,0),(6,0,)且过点(-5,2),双曲线方程。解:因为双曲线两焦点坐标分别是(-6,0),(6,0),所以焦点在X轴上且6c,又因为545551255026502652222221PFPFa所以52a,162036222acb则双曲线方程为1162022yx。六椭圆中的三角形例11:当椭圆满足下列情况时求离心率:1、212FFB是直角三角形解:1、因为,2212FBFB所以该三角形是等腰直角三角形。令112OFOBc212FBa则有,所以2221ace2、212FFB是等边等边三角形因为2212FBFB,所以该三角形是等边三角形。令11OFc则有212FBa,所以21ace例12:如图,在椭圆上有一点P,在三角形21FPF中02130FPF,且2PF垂直于X轴,求椭圆的离心率。解:在21FPFRt中02130FPF,设12PF,则有3,2211FFPF,23,3221cFFc,23,321221aPFPFa题型三:定义的应用知识点:已知抛物线)0(22ppxy上有一点A),(00yx,则点P到焦点的距离和到准线的距离相等。由图知:2/pxAAAFA归纳:当抛物线焦点在X轴上时:2/pxAAAFA当抛物线焦点在Y轴上时:2/pyAAAFA焦点弦AB的长度:pxxpxpxBFAFABBABA22例1:已知抛物线)0(22ppxy上一点M),3(m到焦点的距离为5,求抛物线标准方程及点M的坐标。解:由题意得抛物线开口向右,且42352pppxMFm所以抛物线方程为xy82将3x带入标准方程xy82得62y,所以点M的坐标为62,3或62,3例2:过抛物线xy42的焦点做直线交抛物线于A,B两点(1)若A、B的中点横坐标为3,求AB(2)若直线AB的斜率为2,求AB。解:因为pxxBFAFABBA由抛物线方程知抛物线开口向右且2p焦点0,1,准线方程1x(1)由中点坐标公式得632BAxx所以826AB(2)直线AB为过点0,1,斜率为2的直线,则方程为)1(20xy整理为:22xy将直线方程与抛物线方程联立方程组:xyxy4222得0132xx由根与系数关系式得3abxxBA,所以523AB
本文标题:圆锥曲线知识点汇总
链接地址:https://www.777doc.com/doc-2559371 .html