在高三教学中提高学生问题解决能力的策略

1在高三教学中提高学生问题解决能力的策略【摘要】新课标高考的考试说明中指出：对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养，发挥数学作为主要基础学科的作用。纵观近几年的高考，学生在这一方面的失分是普遍存在的，这就要求我们高三教师在平时的教学中注重分析和解决问题能力的培养，以减少在这一方面的失分．本文从分析和解决问题能力的组成与培养两个方面谈及．【关键词】分析和解决问题能力策略新课标高考的考试说明中指出：对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养，发挥数学作为主要基础学科的作用。能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力及应用意识和创新意识。分析和解决问题的能力是指能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述．它是逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力等基本数学能力的综合体现．由于高考数学科的命题原则是在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重数学能力的考查，强调了综合性．这就对考生分析和解决问题的能力提出了更高的要求，也使试卷的题型更新，更具有开放性．纵观近几年的高考，学生在由于分析问题和解决问题能力差，造成面对情境问题不能展开有效的思维的现象是普遍存在的，这就要求我们高三教师在高三复习教学中注重分析和解决问题能力的培养，以减少失分．笔者就分析和解决问题能力的组成及培养谈几点刍见．1问题解决能力的组成1.1审题能力审题是对条件和问题进行全面认识，对与条件和问题有关的全部情况进行分析研究，它是如何分析和解决问题的前提．审题能力主要是指充分理解题意，把握住题目本质的能力；分析、发现隐含条件以及化简、转化已知和所求的能力．要快捷、准确地解决问题，掌握题目的数形特点、能对条件或所求进行转化，发现隐含条件是至关重要的．例1（2009四川卷文）设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射:,fVVaV，记a的象为()fa。若映射:fVV满足：对所有abV、及任意实数,都有2()()()fabfafb，则f称为平面M上的线性变换。现有下列命题：①设f是平面M上的线性变换，abV、，则()()()fabfafb②若e是平面M上的单位向量，对,()aVfaae设，则f是平面M上的线性变换；③对,()aVfaa设，则f是平面M上的线性变换；④设f是平面M上的线性变换，aV，则对任意实数k均有()()fkakfa。其中的真命题是（写出所有真命题的编号）答案①③④解析：①令1，则)()()(bfafbaf故①是真命题．同理，④令0,k，则)()(akfkaf故④是真命题．③∵aaf)(，则有bbf)(,)()()()()()(bfafbababaf是线性变换，故③是真命题．②由eaaf)(，则有ebbf)(,ebfafeebeaebabaf)()()()()()(．∵e是单位向量，e≠0，故②是假命题．点评：本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。从刚才的解答过程中可以看出，解决此题的关键在于挖掘所求和条件之间的联系，这需要一定的审题能力．由此可见，审题能力应是分析和解决问题能力的一个基本组成部分．1.2合理应用知识、思想、方法解决问题的能力高中数学知识包括函数与导数、不等式、数列、三角函数、概率与统计、复数、立体几何与空间向量、圆锥曲线与方程等内容；数学思想包括数形结合、函数与方程思想、分类讨论和等价转化等；数学方法包括待定系数法、换元法、数学归纳法、反证法、配方法等基本方法．只有理解和掌握数学基本知识、思想、方法，才能解决高中数学中的一些基本问题，而合理选择和应用知识、思想、方法可以使问题解决得更迅速、顺畅．例2（2011年广东卷文19）设0a,讨论函数xaxaaxxf)1(2)1(ln)(2的单调性．3解：函数f(x)的定义域为（0，+∞）.,1)1(2)1(2)(2xxaxaaxf当1a时，方程01)1(2)1(22xaxaa的判别式)31)(1(12aa.1、当310a时，)(,0`xf有两个零点，,)1(2)13)(1(21,0)1(2)13)(1(2121aaaaaxaaaaax且当10xx或2xx时，0)(xf，)(xf在),0(1x与),(2x内为增函数；当21xxx时，0)(xf，)(xf在),(21xx内为减函数；2、当131a时，,00)(xf，所以)(xf在),0(内为增函数；3、当1a时，)0(01)(xxxf，)(xf在),0(内为增函数；4、当1a时，0,0)1(2)13)(1(211aaaaax0)1(2)13)(1(212aaaaax，所以)(xf在定义域内有唯一零点1x,且当10xx时，0)(xf，)(xf在),0(1x内为增函数；当1xx时,0)(xf,)(xf在),(1x内为减函数。综上所述，f(x)的单调区间如下表：103a113a1a1(0,)x12(,)xx2(,)x(0,)1(0,)x1(,)x（其中12(1)(31)(1)(31)11,22(1)22(1)aaaaxxaaaaaa）点评：在上述的解答过程中可以看出，本题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法的运算、推理能力．1.3数据处理能力近几年来，概率统计内容在高考数学试卷中，都是以实际应用为背景的问题，这给学生的分析和解决问题的能力提出了挑战．而数据处理能力是解决实际应用问题的重要途径和核心．4例3(2011年高考广东卷理科17)为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素x,y满足x≥175，且y≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列极其均值（即数学期望）。解：（1）3575,71498，即乙厂生产的产品数量为35件。（2）易见只有编号为2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品52，故乙厂生产有大约145235（件）优等品，（3）的取值为0，1，2。103)0(2523ccp，53)1(251213cccp，101)2(2523ccp所以的分布列为012P103106101故5410125311030E的均值为点评：本题需正确理解分层抽样的概念，数据表的条件，利用古典概型知识就能得解。但考试时部分学生对题目只是大概的了解，没有深入思考，不能破解命题者故意设置的思维障碍而造成失分。因此，建模能力是分析和解决问题能力不可或缺的一个组成部分．2.提高学生问题解决能力的策略2.1重视通性通法教学,引导学生概括、领悟常见的数学思想方法5数学思想较之数学基础知识，有更高的层次和地位．它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，它是一种数学意识，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决．数学方法是数学思想的具体体现，具有模式化与可操作性的特征，可以作为解题的具体手段．只有对数学思想与方法概括了，才能在分析和解决问题时得心应手；只有领悟了数学思想与方法，书本的、别人的知识技巧才会变成自已的能力．每一种数学思想与方法都有它们适用的特定环境和依据的基本理论，如分类讨论思想可以分成：（1）由于概念本身需要分类的，象等比数列的求和公式中对公比q的分类和直线方程中对斜率k的分类等；（2）同解变形中需要分类的，如含参问题中对参数的讨论、解不等式(组)中解集的讨论等．又如数学方法的选择，二次函数问题常用配方法，含参问题常用待定系数法等．因此，在数学课堂教学中应重视通性通法，淡化特殊技巧，使学生认识一种“思想”或“方法”的个性，即认识一种数学思想或方法对于解决什么样的问题有效．从而培养和提高学生合理、正确地应用数学思想与方法分析和解决问题的能力．例4(2009年高考广东卷文20)已知点（1，31）是函数,0()(aaxfx且1a）的图象上一点，等比数列}{na的前n项和为cnf)(,数列}{nb)0(nb的首项为c，且前n项和nS满足nS－1nS=nS+1nS（n2）.（1）求数列}{na和}{nb的通项公式；（2）若数列{}11nnbb前n项和为nT，问nT20091000的最小正整数n是多少?【解析】（1）113faQ,13xfxw.w.w.k.s.5.u.c.o.m1113afcc,221afcfc29,323227afcfc.又数列na成等比数列，22134218123327aaca，所以1c；又公比2113aqa，所以12112333nnna,*nN；1111nnnnnnnnSSSSSSSSQ2n6又0nb,0nS,11nnSS；数列nS构成一个首相为1公差为1的等差数列，111nSnn，2nSn当2n，221121nnnbSSnnn；21nbn(*nN)；（2）12233411111nnnTbbbbbbbbL1111133557(21)21nnK1111111111112323525722121nnK11122121nnn；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m由1000212009nnTn得10009n，满足10002009nT的最小正整数为112.2.2加强应用题的教学，提高学生的模式识别能力高考是注重能力的考试，特别是学生运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力，更是考查的重点，而高考中的应用题就着重考查这方面的能力，这从新课标版的《考试说明》与原来的《考试说明》中对能力要求的区别可见一斑．（新课标版将“分析和解决问题的能力”改为“解决实际问题的能力”）数学是充满模式的，就解应用题而言，对其数学模式的识别是解决它的前提．由于高考考查的都不是原始的实际问题，命题者对生产、生活中的原始问题的设计加工使每个应用题都有其实际背景．例如2009年北京卷的第17题：以上学路上遇到红绿灯为背境，贴近学生的生活实际；2009年安徽卷的第17题：以感染了甲型H1N1流感为背景，将基础知识进行了重组，更加贴近生活，并让学生感到数学的应用价值的存在；2010年第19题：以在校学生的身高为问题情境，设问巧，且赋予时代气息．在高中数学教学中，不但要重视应用题的教学，同时，要对应用题进行专题训练，引导学生总结、归纳各种应用题的数学模型，这样学生才能有的放矢，合理运用数学思想和方法分析和解决实际问题．2.3适当进行开放题和新型题的训练，拓宽学生的知识面要分析和解决