厦门大学高等数学2011级理工类高等数学期末试题-A答案

11、求下列各题积分：（每题5分，共20分）（1）sind1+cosxxx(2)22lndxxx（3）211221dxxx（4）(1cos2||sin)dxxxx解：（1）22sincossinsind(cos)sin22222d=d=d=2d()2=2lncos1+cos222coscoscoscos2222xxxxxxxxxxxCxxxxx||(2)222222ln11lnln1dlnd()ln2d2lnd()xxxxxxxxxxxxxx222ln11ln+2ln22[lnd]cxxxxxxxxx.(3)22122222122244411sindsincostdcottd[csct1]dsinxtxxttttxt24(cot)|14tt.(4)0(1cos2||sin)d1cos2d22|cos|dxxxxxxxx20222cosd22cosd42xxxx2、（10分）设函数()yx由参数方程333131xttytt确定，求曲线()yyx向上凸的x取值范围.解222dd12d1dd11dyyttxxttt，222232(1)d410dd3(1)dyttxxtt，所以0t.厦门大学《高等数学A》课程期末试卷＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业主考教师：高等数学A教学组试卷类型：（A卷）2又0t对应于1x.因此()yyx向上凸的x取值范围为,1.3、（10分）设函数()()fxx,g在0x的某个邻域内连续，且00()()lim1lim21cos()xxxfxxx2g，g试问:0x是否是()fx的极值点？如果是极值点，是极大还是极小？其极值为多少？解：由题设条件()xg在0x连续，则00()(0)lim()lim(1cos)01cosxxxxxxggg，同理200()(0)lim()lim()0()xxfxffxgxx2g。因为0()lim2()xfxx2g，由极限的保号性，在0x的某个邻域(0,)内，有()()(0)0()()fxfxfxx22gg,由此得对(0,)x，有()(0)fxf，由极值的定义，()fx在0x处取极小值，其极小值为0.4、（10分）求函数lnyx的最大曲率.解：211,yyxx,由曲率公式，得3332222222||1()(0)1[1()][1][1]yxkxxyxxx312222222332222[1]3[1]1[12]()==0[1][1]xxxxxkxxx解得1=2x当12x时，()0kx,当12x时，()0kx，所以当1()=2kxx在处取最大值，最大值为12()233k。35、（10分）求函数2()ln(1)fxx的凹凸区间及拐点.解：222222(1)(),1(1)xxfxyxx。令0y，得121,1xx，不存在二阶不可导点。x(,1)1(1,1)1(1,)y00yln2ln2凸区间有(,1)和(1,)，凹区间是(1,1)，两个拐点是(1,ln2)和(1,ln2)。6、（10分）求函数x4e016()=d1tfxtt的最小值.解：因为x44e01616()=[d]11xxxtefxtete,令()=0fx，得到驻点ln2x.当ln2x时，()0fx，当ln2x时，()0fx,函数()fx在ln2x处取得最小值，4422222000016(1)15154min()=dd(1)(1)d15d15ln31113ttfxttttttttt7、（10分）设()fx在[0,1]上可导，且0()1,(0,1),(0)0fxxf，证明112300[()d]()dfxxfxx.证：令2300()[()d]()dttFtfxxfxx3200()2()()d()=()[2()d()]ttFtftfxxftftfxxft因为()0fx,所以()fx严格递增，因此()(0)=0fxf，令20()2()d()tgtfxxft，()2()2()()=2()(1())0gtftftftftft，所以()gx严格递增，因此()(0)=0gxg。于是()0Ft，从而(1)(0)=0FF,即112300[()d]()dfxxfxx。8、（10分）已知函数()fx连续，且0()lim0xfxAx.设10()()d,xfxtt求(0).解：由0()lim0xfxAx，得(0)0f，10(0)(0)d(0)0,fttf41001()()d()xxfxttuxtfudux，20000()-(0)1()(0)limlim()lim22xxxxxfxAfuduxxx.9、（10分）(1)计算广义积分0d()nxxexn为自然数；(2)利用()s函数的性质，求极限0limdnxnex.解：(1)(1)100dd(n1)nnxnxxexxex!解:(2)作变量代换111,nnxtdxtdtn111100011111dtdtd()(1)nxttnnexetetnnnnn由于()s在(0,)上连续，01limdlim(1)(1)1nxnnexn.附加题：（10分）设()0fx且()0fx对[,]xab成立,证明:2()()d,bafxfxxba[,]xab.证明：将()fx在点[,]tab处展成一阶泰勒式21()=()+()()+()()2!fxftftxtfxt，xt在与之间因为()0fx，于是()0()()+()()ffxftftxt，则，两边在[,]ab上关于t积分得()dt()dt+()()dtbbbaaafxftftxt()()()dt+()()dtbbaafxbaftftxt()()()dt+()()|()dtbbbaaafxbaftftxtft()()2()dt+()()()()bafxbaftfbxbfaxa因为()0,()0,()0,,0fxfbfaxabx所以且，因此()()()()0fbxbfaxa，故()()2()dtbafxbaft，即2()()dbafxfxxba.一、(15分，每小题5分)设摆线一拱的参数方程(sin),(1cos)xttyat(02)t，求：5①摆线的弧长；②与x轴所围成的图形的面积；③绕x轴旋转所成的旋转体的体积。解：①222222()()(1cos)sin2(1cos)2sin,2dxdytdsdtatatdtatdtadtdtdt----------3分从而22002sin4cos8.22ttsadtaa---------2分②2200(1cos)[(sin)]aSydxatdatt----------3分222222001cos2(1cos)(12cos)3.2tatdtatdta----------2分③22222233000(1cos)[(sin)](1cos)aVydxatdattatdt----------3分2332203(1cos2)(13coscos)5.2tattdta----------2分