双棱镜干涉实验逐差法与一元线性回归法数据处理比较

双棱镜干涉实验逐差法与一元线性回归法数据处理比较1双棱镜干涉实验逐差法与一元线性回归法数据处理比较双棱镜干涉实验逐差法与一元线性回归法数据处理比较2摘要在菲涅耳双棱镜激光干涉实验中，可用逐差法和一元线性回归法处理数据。本研究报告分别使用这两种方法处理数据，并将结果进行对比，对进一步提高数据处理精度提出建议。关键词激光干涉逐差法一元线性回归法正文1.1实验重点·熟练掌握采用不同光源进行光路等高共轴调节的方法和技术；·用实验研究菲涅耳双棱镜干涉并测定单色光波长；·学习用激光和其他光源进行实验时不同的调节方法。1.2实验原理菲涅耳双棱镜可以看成是有两块底面相接、棱角很小（约为1°）的直角棱镜合成。若置单色光源𝑆0于双棱镜的正前方，则从𝑆0射来的光束通过双棱镜的折射后，变为两束相重叠的光，这两束光仿佛是从光源𝑆0的两个虚像𝑆1和𝑆2射出的一样（见图1）。由于𝑆1和𝑆2是两个相干光源，所以若在两束光相重叠的区域内放置一个屏，即可观察到明暗相间的干涉条纹。双棱镜干涉实验逐差法与一元线性回归法数据处理比较3图1图2现在根据波动理论中的干涉条件来讨论虚光源𝑆1和𝑆2所发出的光在屏上产生的干涉条纹的分布情况。如图2所示，设虚光源𝑆1和𝑆2的距离为d，D是虚光源到屏的距离。令P为屏上任意一点，𝑟1和𝑟2分别为从𝑆1和𝑆2到P点的距离，则从𝑆1和𝑆2发出的光线到达M点的光程差是：∆L=𝑟2−𝑟1令𝑁1和𝑁2分别为𝑆1和𝑆2在屏上的投影，O为𝑁1𝑁2的中点，并设OP=x，则从△𝑆1𝑁1𝑃及△𝑆2𝑁2𝑃得𝑟12=𝐷2+(𝑥−𝑎2)2,𝑟22=𝐷2+(𝑥+𝑎2)2两式相减，得𝑟22−𝑟12=2𝑎𝑥另外又有𝑟22−𝑟12=(𝑟2−𝑟1)(𝑟2+𝑟1)=∆L(𝑟2+𝑟1)。通常D较a大的很多，所以(𝑟2+𝑟1)近似等于2D，因此得光程差为∆L=𝑎𝑥𝐷如果为光源发出的光波的波长，干涉极大和干涉极小处的光程差为∆L=𝑎𝑥𝐷={𝑘𝜆(𝑘=0,±1,±2,…)明纹2𝑘+12𝜆(𝑘=0,±1,±2,…)暗纹即明、暗条纹的位置为x={𝐷𝑎𝑘𝜆(𝑘=0,±1,±2,…)明纹(2𝑘+1)𝐷𝑎𝜆2(𝑘=0,±1,±2,…)暗纹由上式可知，两干涉亮纹（或暗纹）之间的距离为双棱镜干涉实验逐差法与一元线性回归法数据处理比较4Δx=𝐷𝑎𝜆所以当用实验测得Δx、D和a后，即可算出该单色光源的波长λ=𝑎𝐷Δ𝑥1.3实验仪器光具座，双棱镜，测微目镜，凸透镜，扩束镜，偏振片，白屏，可调狭缝，半导体激光器。1.4实验步骤1.4.1各光学元件的共轴调节1.调节激光束平行于光具座沿导轨移动白屏，观察屏上激光光点的位置是否改变，相应调节激光方向，直至在整根导轨上移动白屏时光点的位置均不再变化，至此激光光束与导轨平行。2.调双棱镜与光源共轴将双棱镜插于横向可调支座上进行调节，使激光点打在棱脊正中位置，此时双棱镜后面的白屏上应观察到两个等亮并列的光点（这两个光点的质量对虚光源像距b及𝑏′的测量至关重要）。此后将双棱镜置于距激光器约30cm的位置。3.粗调测微目镜与其它元件等高共轴将测微目镜放在距双棱镜约70cm处，调节测微目镜，使光点穿过其通光中心。（此时激光尚未扩束，决不允许直视测微目镜内的视场，以防激光坐灼伤眼睛。）4.粗调凸透镜与其他元件等高共轴将凸透镜插于横向可调支座上，放在双棱镜后面，调节透镜，使双光点穿过透镜的正中心。5.用扩束镜使激光束变成点光源在激光器与双棱镜之间距双棱镜20cm处放入扩束镜并进行调节，使激光穿过扩束镜。在测微目镜前放置偏振片，旋转偏振片是测微目镜内视场亮度适双棱镜干涉实验逐差法与一元线性回归法数据处理比较5中。（在此之前应先用白屏在偏振片后观察，使光点最暗。）6.用二次成像法细挑凸透镜与测微目镜等高共轴通过“大像追小像”，不断调节透镜和测微目镜位置，直至虚光源大、小像的中心与测微目镜叉丝重合。7.干涉条纹调整去掉透镜，适当微调双棱镜，使通过测微目镜观察到清晰的干涉条纹。1.4.2波长的测量1.测条纹间距∆x连续测量20个条纹的位置𝑥1。如果视场内干涉条纹没有布满，则可对测微目镜的水平位置略作调整；视场太暗可旋转偏振片调亮。2.测量虚光源缩小像间距b及透镜物距S。提示：测b时应在鼓轮正反向前进时，各做一次测量。注意：i.不能改变扩束镜、双棱镜及测微目镜的位置；ii.用测微目镜读数时要消空程。3.用上述同样方法测量虚光源放大像间距𝑏′及透镜物距𝑆′1.4.3数据处理1.分别用逐差法和一元线性回归法计算条纹间距∆x。2.由公式λ=Δ𝑥√𝑏𝑏′𝑆+𝑆′计算入射光源的波长并与光源波长标称值对比求相对误差（半导体激光器波长标称值𝜆0=650𝑛𝑚）。3.计算λ的不确定度u(𝜆)并给出最后结果表述。提示：i.u(Δ𝑥)要考虑回归或逐差的A类不确定度以及仪器误差；ii.u(𝑏)、u(𝑏′)、u(𝑆)和u(𝑆′)均应该考虑来自成像位置判断不准而带来的误差，可取∆(𝑆)=∆(𝑆′)=0.5𝑐𝑚，∆bb=∆b𝑏′=0.0025iii.为简单起见，略去𝑆与b、𝑆′与𝑏′的相关系数，把它们均当做独立测量量处理。双棱镜干涉实验逐差法与一元线性回归法数据处理比较61.5数据记录与处理1.5.1数据记录1.元件初始位置（单位：cm）K扩束镜B双棱镜𝐿1透镜大像𝐿2透镜小像E测微目镜129.31106.5697.4173.5945.122.条纹刻度读数（单位：mm）i12345678910𝑥𝑖7.7787.4527.1736.8716.5416.2125.8585.5785.2474.989𝑥𝑖+104.6424.5293.9723.6393.3152.9742.6112.2771.9591.6823.成放大像和缩小像的物距、测微目镜中放大像与缩小像的间距（单位：mm）成像类型测量方向放大像缩小像左端读数𝑏1右端读数𝑏2左端读数𝑏1′右端读数𝑏2′从左向右5.8752.4344.4633.318从右向左5.7902.3954.3983.251两次测量平均值5.8332.4154.4313.285成像大小b=3.418𝑏′=1.1461.5.2b与𝑏′的处理1.计算放大像和缩小像大小（单位：mm）成像类型放大像缩小像左端读数𝑏1右端读数𝑏2左端读数𝑏1′右端读数𝑏2′两次测量平均值𝑏1̅=5.833𝑏2̅̅̅=2.415𝑏1′̅=4.431𝑏2′̅̅̅=3.285成像大小b=𝑏1̅−𝑏2̅̅̅=3.418𝑏′=𝑏1′−̅̅̅̅̅̅𝑏2′̅̅̅=1.1462.不确定度的计算成像位置不准带来的误差为∆b=0.0025b，∆𝑏′=0.0025𝑏′u(𝑏)=∆b√3=0.0025b√3=0.0025×3.418√3=4.933×10−3(𝑚𝑚)u(𝑏′)=∆𝑏′√3=0.0025𝑏′√3=0.0025×1.146√3=1.654×10−3(𝑚𝑚)b±u(𝑏)=(3.418±0.005)(𝑚𝑚)双棱镜干涉实验逐差法与一元线性回归法数据处理比较7𝑏′±u(𝑏′)=(1.146±0.002)(𝑚𝑚)1.5.3𝐒与𝑺′的处理1.缩小像物距S=k−𝐿2=129.31−73.59=55.72(𝑐𝑚)放大像物距S′=k−𝐿1=129.31−97.41=31.90(𝑐𝑚)虚光源到屏的距离D=S+S′=55.72+31.90=87.62(𝑐𝑚)=876.2(𝑚𝑚)2.D的不确定度计算由成像位置不准带来的误差为∆(𝑆)=∆(𝑆′)=5𝑚𝑚u(𝑆)=𝑢(𝑆′)=5√3=2.887(𝑚𝑚)1.5.4用逐差法处理数据1.用逐差法计算条纹间距Δx令∆𝑥𝑖=(𝑥𝑖+10−𝑥𝑖)10⁄，可得i12345∆𝑥𝑖/𝑚𝑚0.31360.31930.32010.32320.3226i678910∆𝑥𝑖/𝑚𝑚0.32380.32740.33010.32280.3307所以条纹间距的平均值为Δx=∑∆𝑥𝑖10𝑖=110=0.32336(mm)2.计算Δx不确定度𝑢𝑎(∆𝑥)=√∑(∆𝑥𝑖−∆𝑥̅̅̅̅)2𝑛(𝑛−1)=1.71811×10−3𝑢𝑏(∆𝑥)=∆仪√3=0.005√3=2.89×10−3u(∆𝑥)=√𝑢𝑎(∆𝑥)2+𝑢𝑏(∆𝑥)2=3.362142468×10−3最终结果双棱镜干涉实验逐差法与一元线性回归法数据处理比较8∆x±u(∆𝑥)=(0.323±0.003)(mm)3.计算激光波长λ=Δ𝑥√𝑏𝑏′𝐷=0.323×√3.418×1.146876.2=729.558(𝑛𝑚)4.计算λ不确定度由不确定度合成公式ln𝜆=lnΔ𝑥+12ln𝑏+12ln𝑏′−ln(𝑆+𝑆′)可得u(𝜆)=𝜆√[𝑢(Δ𝑥)Δ𝑥]2+[𝑢(b)b]2+[𝑢(b′)b′]2+[𝑢(𝑆)𝐷]2+[𝑢(𝑆′)𝐷]2=729.558√(3.3621×10−30.3234)2+(4.933×10−33.418)2+(1.654×10−31.146)2+(2.887876.2)2+(2.887876.2)2=8.46505(𝑛𝑚)最终结果λ±u(𝜆)=(729±8)(𝑛𝑚)相对误差η=|𝜆0−λ|𝜆0×100%=|650.000−729.558|650.000×100%=12.24%1.5.5用一元线性回归法处理数据1.用一元线性回归法计算条纹间距△x设第0个条纹的位置为x0则条纹间距为的计算公式Δx=𝑥𝑖−𝑥0𝑖即𝑥𝑖=𝑥0+Δ𝑥𝑖令x=i，y=𝑥𝑖，并设一元线性回归方程y=A+Bx，则有∆x=B，𝑥0=𝐴计算回归系数和相关系数B=𝑥̅𝑦̅−𝑥𝑦̅̅̅𝑥̅2−𝑥2̅̅̅=0.32285(mm)A=𝑦̅−𝑏𝑥̅=8.51554(mm)r=−0.99937双棱镜干涉实验逐差法与一元线性回归法数据处理比较92.计算∆x不确定度u𝑎(𝐵)=𝐵√1𝑛−2√1𝑟2−1=0.32285×√110−2×√1(−0.99937)2=2.70243×10−3u𝑏(𝐵)=∆仪√3=0.005√3=2.88675×10−3u(𝐵)=√u𝑎(𝐵)2−u𝑏(𝐵)2=√(2.70243×10−3)2+(2.88675×10−3)2=3.95429×10−3∵∆x=B∴u(∆𝑥)=u(𝐵)=3.95429×10−3最终结果∆x±u(∆𝑥)=(0.323±0.004)(mm)3.计算激光波长λ=Δ𝑥√𝑏𝑏′𝐷=0.323×√3.418×1.146876.2=729.558(𝑛𝑚)4.计算λ不确定度由不确定度合成公式ln𝜆=lnΔ𝑥+12ln𝑏+12ln𝑏′−ln(𝑆+𝑆′)可得u(𝜆)=𝜆√[𝑢(Δ𝑥)Δ𝑥]2+[𝑢(b)b]2+[𝑢(b′)b′]2+[𝑢(𝑆)𝐷]2+[𝑢(𝑆′)𝐷]2=729.558√(3.9543×10−30.3229)2+(4.933×10−33.418)2+(1.654×10−31.146)2+(2.887876.2)2+(2.887876.2)2=9.674512(𝑛𝑚)最终结果λ±u(𝜆)=(729±10)(𝑛𝑚)相对误差η=|𝜆0−λ|𝜆0×100%=|650.000−729.558|650.000×100%=12.24双棱镜干涉实验逐差法与一元线性回归法数据处理比较101.6误差分析尽管使用了两种数据分析方法，但最终得到的数据与实际值相差仍然很大，现误差分析如下：1.6.1系统的仪器误差由于我们实验中使用的是导轨读数，导轨与光具昨之间是隔空的，并没有直接接触，导