双边Z变换与反变换

数字信号处理(DigitalSignalProcessing)信号与系统系列课程组国家电工电子教学基地离散信号与系统分析基础离散信号与系统的时域分析离散信号的频域分析离散系统的频域分析双边z变换与反变换离散系统的系统函数全通滤波器与最小相位系统信号的抽样与重建z变换双边z变换定义及收敛域双边z变换的主要性质双边z反变换双边z变换z变换双边z变换定义及收敛域收敛域(ROC):R-|z|R+kkzkxzX--][)(序列双边z变换的定义为能够使上式收敛的z值区域称为z变换的收敛域(RegionofConvergence,ROC)解：例：求下列信号的z变换及收敛域。][][1kRkxN][][2kuakxk]1[][3---kubkxk][][][324kxkxkx110111)(------zzzzXNkNk0z10211)(---azzazXkkkazbz11311)(------bzzbzXkkk1141111)(----bzazzXbzaz变换(1)有限长序列kNNkzkxzX-][)(21z0ROC双边z变换定义及收敛域z变换(2)右边序列kNkzkxzX-][)(1:01N若-Rz:01N若-zR双边z变换定义及收敛域ROCR-RezImzz变换(3)左边序列kNkzkxzX--][)(2:02N若Rz:02N若Rz0双边z变换定义及收敛域ROCR+ImzRezz变换(4)双边序列kkzkxzX--][)(-RzRROC双边z变换定义及收敛域ROCR-R+ImzRezz变换双边z变换的主要性质)(][11zXkx};{ROC111-xxxRzRzR)(][22zXkx};{ROC222-xxxRzRzR1.线性特性)()(][][2121zbXzaXkbxkax21ROCxxRR包含2．位移特性x[k-n]z-nX(z)ROC=Rxz变换双边z变换的主要性质3.指数加权特性)/(][azXkxaZkxRaROC4.z域微分特性zzXzkkxd)(d][-xRROC5.序列卷积)()(][][2121zXzXkxkxROC包含Rx1∩Rx2z变换双边z变换的主要性质6.时间翻转(timereversal))/1(][zXkxZ--xxRzR11解：例：两个序列的自相关定义为，求Z{rx[n]}。][][][knxkxnrkx]}[{][]}[{knxZkxnrZkxkkxzzXkxnrZ)(][]}[{)()(1zXzX-利用双边z变换的时域位移性质，可得解：--Zkkua]1[11111-----zazaaz/1--Zkkua]1[111111------azzazaaz变换。的求变换性质利用例zkuazk]1[,:--由于利用双边z变换的时域翻转性质，可得z变换双边z反变换zzzXkxkCd)(πj21][1-C为X(z)的ROC中的一闭合曲线。部分分式法留数法z变换部分分式法求z反变换||||11][1azazkaZk--||||11]1[1bzbzkbZk-----将序列z变换分解为部分分式之和，然后求解各部分分式对应的z反变换双边z反变换。的求所有不同收敛情况下已知例][,)31)(21(1)(:11khzzzH----11313212)(-----zzzH(1)|z|3，H1(z)和H2(z)均对应右边序列][)32(][11kukhkk-(2)2|z|3，H1(z)对应右边序列，H2(z)对应左边序列]1[3][2][11----kukukhkk(3)|z|2，H1(z)和H2(z)均对应左边序列]1[3]1[2][11-----kukukhkk解：H1(z)H2(z)z变换留数法求z反变换zzzXkxkCd)(πj21][1-C为X(z)的ROC中的一闭合曲线。ipzkizzX-})({sRe1根据复变函数积分理论双边z反变换,)1(1)(21--azzX例：求：(1)ROC为|z||a|时的x[k]；(2)ROC为|z||a|时的x[k]。zazzkxCkd)1(πj21][)1(:211----解zazzCkd)(πj2121-azkzzkxdd][1][)1(]1[)1(][kuakkuakkxkkx[k]=0(围线C内留数和为零)kak)1(时当1-k时当1-k由于ROC为|z||a|，所以:解zazzkxCkd)(πj21][)2(21-时当1-k时当2-k,2,1,1--mmk令zazzkxCmd)(1πj21][2-0211)(1dd)!1(1----zmmazzm0121)(1)!1(!)1(-----zmmazmm)1(-mmakak)1(-]1[)1(][---kuakkxk由于ROC为|z||a|，所以x[k]=0(围线C内无极点),)1(1)(21--azzX例：求：(1)ROC为|z||a|时的x[k]；(2)ROC为|z||a|时的x[k]。