均值不等式的应用

姓名：吴应兵学科：数学学校：郫县二中算术平均数几何平均数高二上册人民教育出版社教学分析教学内容分析：算术平均数与几何平均数是不等式这一章的核心，对于不等式的证明及利用均值不等式求最值等应用问题都起到工具性作用。本节课的主要教学内容是通在复习均值不等式的基础上，理解均值不等式的几何解释；推理论证的基础上学会应用。教学对象分析：学生为普通理科学生，数学能力一般，有一定的分析能力和探究的欲望，但是学习过程中需要老师进行一定引导。教学目标知识与技能：对于算术平均数与几何平均数的理解以及定理的掌握，能使用定理求最值。情感态度与价值观：培养学生的探究意识与创新能力，在探究过程中的成功体验和对数学的信心。过程与方法：为了激发学生学习的主体意识，又有利于教师引导学生学习，培养学生的数学能力与创新能力，使学生能独立实现学习目标．在探索结论时，采用发现法教学；在定理的应用及其条件的教学中采用归纳法；在训练部分，主要采用讲练结合法进行。教学重点、难点重点：用平均值定理求某些函数的最值及有关的应用问题．关键：理解定理的约束条件，掌握化归的数学思想是突破重点和难点的关键．难点：定理的使用条件，合理地应用平均值定理．算术平均数几何平均数高二上册人民教育出版社均值不等式定理及其重要变形：相关定理22,,20,0,2222abRababababababababab特别提示“和定积最大，积定和最小”，即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值。即：一“正”，二“定”，三“相等”。(,)2abababR练习：B1.（2001年北京、春）设a、b∈R，且a+b=2,则3a+3b的最小值是（）。A．18B.6C.2D.22.若，那么的取值范围是？0x14xx典例精析例1.已知x1，求y=的最小值。41xx变题1：已知x0，求y=的最大值；4xx变题3：已知x1，求y=的最小值；241xxx变题2：已知x，求y=的最小值；821xx12典例精析题后反思：1.用均值不等式求最值的要求及技巧。0,0byaxabx2.对于类似于型的函数最值的求解。题后反思：典例精析例2.已知，求的最大值。102x12yxx注意掌握公式的逆用、变形等，注重数学思维的培养。典例精析例3.已知x0，y0，x+2y=1,求的最小值。11xy题后反思：1.“1”的妙用和倒数形式对定理运用的启发；2.注意观察与类比，并形成思维的发散。变题1：已知x0，y0，x+2y=1,a0,b0，求的最小值；abxy变题2：已知x0，y0，且，求x+y的最小值。191xy课堂小结1.在运用均值不等式时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足“正”、“定”、“等”的条件。2.正确理解：“和一定，相等时，积最大；积一定，相等时，和最小。”3.注意掌握均值不等式的逆用、变形等，注重数学的思维和能力的培养。展望高考：1.（2008江苏）设x,y,z为正实数，满足x-2y+3z=0,则的最小值是？2yxz作业：活页本节第2、5、9、11题2.（1999年全国）若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是。再见