垂径定理(第一课时)教案的分析和比较

1《§27.3垂径定理（第一课时）》教案的分析和比较田林中学蔡洁平第一部分：《§27.3垂径定理（第一课时）》初始教案教学目标：1、经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理；并能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题；2、在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法；3、让学生感受到“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法教学重点：垂径定理的掌握及运用.教学难点：垂径定理的探索和证明教学用具：圆规，三角尺，几何画板课件教学过程：一、复习引入1、什么叫弦？直径与弦的关系？2、什么叫弧？劣弧、优弧、半圆的关系？3、圆的对称性质？作为轴对称图形，其对称轴是？4、观察并回答：（1）两条直径的位置关系？（2）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径CD平分？二、新课（一）猜想，证明，形成垂径定理EDCOABADOCBADOCB21、猜想：弦AB在怎样情况下会被直径CD平分？（当CD⊥AB时）（用课件观察翻折验证）如图，已知CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为M。求证：AE=BE。思考：直径CD两侧相邻的两条弧是否也相等？如何证明？给这条特殊的直径命名——垂直于弦的直径。并给出垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的弧。（二）分析垂径定理的条件和结论1、引导学生说出定理的几何语言表达形式①CD是直径、AB是弦①AE=BE②②CD⊥AB③2、利用反例、变式图形进一步掌握定理例1看下列图形，是否能使用垂径定理？EDCOABEDCOABAC=BCAD=BDEDCOABECOABADOCBEDOABDCOABEEOAB33、引申定理：定理中的垂径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。从而得到垂径定理的变式：①经过圆心得到①平分弦一条直线具有：②平分弦所对的劣弧②垂直于弦③平分弦所对的优弧（三）例题例2如图，已知在⊙O中，（1）弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径（2）弦AB的长为6厘米，⊙O的半径为5厘米，求圆心O到AB的距离（3）⊙O的半径为10厘米，圆心O到AB的距离为6厘米，求弦AB的长在例2图形的基础上：变式（1）例3已知：如图，若以O为圆心作一个⊙O的同心圆，交大圆的弦AB于C，D两点。求证：AC＝BD。（图1）（图2）变式（2）再添加一个同心圆，得（图2）则ACBD变式（3）隐去（图1）中的大圆，得（图3）连接OA，OB，设OA=OB，求证：AC＝BD。变式（4）隐去（图1）中的大圆，得（图4）连接OC，OD，设OC=OD，求证：AC＝BD。（图3）（图4）EOABDCOABNMDCOABDCOABDCOAB4三、小结1、这节课我们学习了哪些主要内容？2、应用垂径定理要注意那些问题？垂径定理的条件和结论：①经过圆心得到①平分弦一条直线具有：②平分弦所对的劣弧②垂直于弦③平分弦所对的优弧3、思考：若将条件中的②与结论中的①互换，命题成立吗？生活实际应用例4（赵州桥桥拱问题）1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）EDCOAB5第二部分：《§27.3垂径定理（第一课时）》修改教案教学目标：1、经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理；并能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题；2、在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法；3、让学生积极投入到圆的轴对称性的研究中，体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现。教学重点：使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论。教学难点：对垂径定理的探索和证明，并能应用垂径定理进行简单计算或证明。教学用具：圆规，三角尺，几何画板课件教学过程：一、复习引入1、我们已经学习了圆怎样的对称性质？2、圆还有什么对称性质？作为轴对称图形，其对称轴是？（直径所在的直线）3、观察并回答：（1）在含有一条直径AB的圆上再增加一条直径CD，两条直径的位置关系？（两条直径始终是互相平分的）（2）把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径CD平分？二、新课（一）猜想，证明，形成垂径定理1、猜想：弦AB在怎样情况下会被直径CD平分？（当CD⊥AB时）（用课件观察翻折验证）EDCOABADOCBADOCB62、得出猜想：在圆⊙O中，CD是直径，AB是弦，当CD⊥AB时，弦AB会被直径CD平分。3、提问：如何证明该命题是真命题？根据命题，写出已知、求证：如图，已知CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为M。求证：AE=BE。4、思考：直径CD两侧相邻的两条弧是否也相等？如何证明？5、给这条特殊的直径命名——垂直于弦的直径。并给出垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的弧。（二）分析垂径定理的条件和结论1、引导学生说出定理的几何语言表达形式①CD是直径、AB是弦①AE=BE②CD⊥AB②2、利用反例、变式图形对定理进一步引申，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理的本质了解。例1看下列图形，是否能使用垂径定理？EDCOABEDCOABEDCOABDCOABEAC=BCAD=BDEOCDAB73、引申定理：定理中的垂径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。从而得到垂径定理的变式：①经过圆心得到①平分弦一条直线具有：②垂直于弦②平分弦所对的劣（优）弧（三）例题例2如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径在例2图形的基础上：变式（1）即例3已知：如图，若以O为圆心作一个⊙O的同心圆，交大圆的弦AB于C，D两点。求证：AC＝BD。（图1）（图2）变式（2）再添加一个同心圆，得（图2）则ACBD变式（3）隐去（图1）中的大圆，得（图3）连接OA，OB，设OA=OB，求证：AC＝BD。变式（4）隐去（图1）中的大圆，得（图4）连接OC，OD，设OC=OD，求证：AC＝BD。ECOABEDOABEOABDCOABNMDCOABEOAB8（图3）（图4）三、小结1、这节课我们学习了哪些主要内容？2、应用垂径定理要注意那些问题？垂径定理的条件和结论：①经过圆心得到①平分弦一条直线具有：②垂直于弦②平分弦所对的劣（优）弧3、思考：若将条件中的②与结论中的①互换，命题成立吗？DCOABDCOABEDCOAB9第三部分：《§27.3垂径定理（第一课时）》新旧教案不同点比较项目初始教案执教教案教学目标3、让学生感受到“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。3、让学生积极投入到对圆的轴对称性的研究中，体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现。教学重点垂径定理的掌握及运用使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论。教学难点垂径定理的探索和证明对垂径定理的探索和证明，并能应用垂径定理进行简单计算或证明。教学过程一、复习引入1、什么叫弦？直径与弦的关系？2、什么叫弧？劣弧、优弧、半圆的关系？3、圆的对称性质？作为轴对称图形，其对称轴是？二、新课3、垂径定理的变式：一、复习引入1、回顾上一节课的定理与推论：同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条劣弧（或优弧），两条弦，两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等2、以上定理及推论体现了圆怎样的对称性质？3、圆还具有什么对称性质？作为轴对称图形，其对称轴是？二、新课3、垂径定理的变式：10一条直线具有2个条件：①经过圆心；②垂直于弦得到3个结论：①平分弦②平分弦所对的劣弧③平分弦所对的优弧一条直线具有2个条件：①经过圆心；②垂直于弦得到2个结论：①平分弦②平分弦所对的劣（优）弧例题例1看下列图形，是否能使用垂径定理？例2如图，已知在⊙O中，（1）弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径（2）弦AB的长为6厘米，⊙O的半径为5厘米，求圆心O到AB的距离（3）⊙O的半径为10厘米，圆心O到AB的距离为6厘米，求弦AB的长例1看下列图形，是否能使用垂径定理？例2如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径生活实际应用例4（赵州桥桥拱问题）1300多年前，我国隋代建造的赵州石在本节课中去除，放入第三课时习题课中使用EOABEOABADOCBEOCDAB11拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）第四部分：《§27.3垂径定理（第一课时）》新旧教案比较和分析一、教学目标、教学重点及难点：1、教学目标：在初始教案中，我的教学目标中的（3）让学生感受到“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法的确定本意是指在新课引入阶段中，从两条直径始终互相平分的情况下，把其中一条直径AB向下平移，变成非直径的弦，若弦AB要被直径CD平分，需再增加垂直条件，从而让学生感受到由一般到特殊。但是通过史老师和孙校长的分析和指正之后，我发现我只顾写法上的华美，忽略了一般情况与特殊情况必须是同等条件下的转变，导致数学术语的错误使用。同时我认识到本节课垂径定理的学习本质上是让学生对圆的轴对称性质有进一步的认识与使用，因此我将教学目标（3）更改为“让学生积极投入到对圆的轴对称性的研究中，体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现。”2、教学重点及难点：在初始教案中教学重难点的确定大部分是照搬教学参考的意见，过于笼统，没有将教师授课的侧重点加以展现，在认真设想了学生在教学中必须掌握的技能和新知识吸收时可能存在的问题，补充了教学的重难点。一节课的教学目标和重难点的确定是教师专业活动的灵魂，也是每堂课的方向，是判断教学是否有效的直接依据。过去，作为新教师对于教学目标、重难点的制定常常没有自己的思考，往往将教学参考用书上的“教学要求”一抄了之，便认为“大功告成”了。实则若我们对课堂教学目标、重难点不进行认真的研究教学活动中便会没有“灵魂”，导致课堂教学过程中容易迷失“方向”。因此，为了加强“有效教学”，必须规范课堂教学目标、重难点的确立，遵循行为主体必须是学生而不是教师的原则，深刻挖掘教材编写者的意图，从而制定出务实有12效的教学目标、重难点使其为己所用。二、教学过程：在初始教案中，我是通过（1、什么叫弦？直径与弦的关系？2、什么叫弧？劣弧、优弧、半圆的关系？3、圆的对称性质？作为轴对称图形，其对称轴是？）3个问题让学生对之前已学知识进行一个回顾。但在说课之后，发现问题1和问题2对旧知识的复习，与本节课的新知引入联系不够紧密，会使本节课的导入过散，不利于学生快速进入到对新知识的学习中。因此我去除了这两个问题，重点从圆的对称性质入手。通过归纳之前所学的四等定理是圆的旋转对称性质的体现，让学生思考圆是否还有其它对称性质，学生很快得出圆同时也是一个轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，从而进一步自然连贯地引出下一步思考。这样的引入不仅紧扣教学目标，也让学生对垂径定理是圆轴对称性的重要体现加深了影响。本节课的重点是让学生掌握垂径定理并能简单应用于圆中的计算和论证。为了进一步让学生对定理的本质加以了解，我在定理归纳环节引导学生归纳出定理的几何语言表达形式，使学生对垂径定理的条件与结论，留下深刻的印象。并通过例1的6幅反例、变式图形强调了垂径定理的两个条件“垂”与“径”缺一不可，同时让学生认识到了定理中的垂径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。为了方便学生记忆，在听取了专家老师的建议之后，我将原本的2个条件对应3的结论中优、劣弧两个结论进行合并，修改为两个条件（过圆心、垂直于弦）对应两个结论（平分弦、平分弧）。这也为之后推论学习中条件与结论的互换做好了铺垫。同时，在6幅图中的第1幅图由于不够体现典型性，我进行了修改。三、例题修改教案中的例题相对于初始教案有了一定的纠正，这是在进一步设想和完善教学过程的基础上进行的。