培养全数字发展的意义

6培养全数字发展的意义:低年级的数学教育沙伦·格里芬(SharonGriffin)在１５年的关于儿童理解和全数字（wholenumbers）的研究后，我可以很简要的概括我学到了什么。教授数学，你需要知道三件事。你需要知道你在哪（你课堂上的儿童在知识方面可能获得的成长）。你需要知道你想去哪（在知识方面你想要你课堂上的所有儿童取得的成绩）。最后，你需要知道到达目标的最好路径（根据你将提供的学习机会来使你课堂上的所有儿童完成你所规定的目标）。虽然这听起来简单，但这每一点只是大冰山的一角。每当我认为某个问题对有效教学教授的设计非常重要时，我就会增加这个问题（如，我们在哪？）。每个问题同样指着知识（那座冰山）的一部分，教师必须增加这方面的知识来解答问题。在这章，我按顺序在上下文讲解了能帮助儿童更好的学习全数字的每一个问题。、读者将认识到那三件我认为教师要有效教授数学所需要知道的事，同许多教授知识方面的细节是相似的，教师需要实行那三件事来确定课堂上的人们怎么学习的准则（见第一章）。不要对这个重叠的部分感到惊奇。因为教和学是同一个硬币的两面，因为有效教学在根本上是根据学习内容所决定的，我们不能离开一项只谈另一项。因而当我讲解每一个上文所提到的那三个问题时，我会同时提供给教学前儿童和教初等数学的教师一套方案，他们可以通过使用这套方案在他们的课堂上实行那三个准则来指导人们怎样学习，并且做出以学生为中心、知识为中心、团体为中心和评价为中心的创新性课堂。在讲解人们怎样学习的三个准则的同时，就可以自然而然地探索每一个问题，因为构成有效数学教学基础的知识结构给我们提供了一套丰富的资源，教师可以利用他们在课堂中实行这些准则。这样，当我研究问题一（我们在哪？）并描述在不同年龄阶段的儿童所建立的数字知识时，我会提供一个工具（关于数字知识的测验）和一套不同年龄儿童思考方式的案例，教师可以利用他们来制定方案１——引出、建立、连接起学生的知识体系——以在课堂上使用。当我研究问题二（我想到哪去？）并描述知识脉络，而这个脉络显现出了它在儿童的数学学习和成绩以及在平时课堂教学中建立脉络的各种方法的影响力时，我会提供一个基准体系，教师可以利用这一体系制定方案２——建立学习路径和知识脉络——以在课堂上使用。最后，当我研究问题３（到达目标的最好路径是什么？）并描述数学教学计划的几个步骤，而这个计划在帮助儿童获得全数字观念上非常有效时，我会提供一套学习工具、设计方案和班级实践活动的实例，教师可以利用他们制定方案３——培养富于想像的、自制的数学家和解题者——以在课堂上使用。因为我提到的问题都是相关的，他们也是基本准则，教授可以解决每个问题的策略，在筹划上，每个方案不只是这章的某个特定部分，而是贯穿了始末。我选择在这一章的说明中强调那些问题，因为他是一组研究儿童知识和学习的首要方面的动机的问题。通过提问这组问题，每一次我都要坐下来为儿童设计一个数学的教学方案，我可以想到远处，随着时间的流逝，建构更好的答案和更好的课程。如果每一个数学教师可以定期的问这套问题，他们就能建构起他或她自己的答案，充实我们的知识基础，至少在一组孩子身上提高数学的教学质量。这样做，每个教师也会体现出富于想像的、自制的数学教师的本质。问题本身比他们的答案更重要。但倒过来也同样是对的：虽然好问题可以收获好答案，好答案也可以得到更新更好的问题。我现在求助于那些我找到的对我关于儿童的工作有用的答案。在讲解问题２（我想去哪？）之前，我希望给读者一个大致的辨别方向的能力，在我讲解问题１（我们在哪？）之前我们要朝着那个方向，我会提供一个详细的说明，是关于４到８岁这个年龄段的每个年龄的孩子大体可获得的知识的。当个别儿童在获取数字知识上与其他人有很大差异时，教师有义务将学生按年龄分组再进行教学。所以在做说明计划时把焦点对准某个年龄阶层儿童的典型知识是很有帮助的，有了这层理解，教学过程就会发生相当大的变动。在后面的部分里，我会使用我们所研究出的儿童在典型年龄阶层上的理解程度来回到所要讲解的知识，并且提供更多更具体的关于问题２的答案。确定要教什么知识所有的教师都面对着令人头晕目眩的数学概念和解题技巧，他们期望把这些知识教给大群的来到课堂上有着不同的学习水平的学生。甚至在学前的年龄阶层这也是一个事实。对每一个年级，那些将要讲解的知识都是在各种文件中——国家数学教师会议（NCTM）所制定的国家标准，国家和地区的体制，课程指南——规定好了的，他们经常是不一致的。教学生们什么知识或者对于课堂上的儿童采取个性化的教育方式都不是件容易的事情。许多小学教师改变了这种左右为难的状况，他们选择数字观念（numbersense）来作为一种理解，他们想要所有学生都能这样理解。在许多方面这都是非常有意义的。在ＮＣＴＭ的标准中，数字观念在学习水平上（数字和运算）是一个重要的学习目标，教师需要在这一方面投入最大的注意力。教师们也认识到儿童在其他领域（如，代数，几何，测量和统计）处理问题的能力和掌握体制中所列出的目标的程度在极大程度上决定于数字观念。而且，许多学校都给了数字观念一个特殊的地位，他们要求教师定期的评价学生“掌握数字观念”的程度。在一个重要方面，然而，将数字观念作为教育目标也是有问题的。虽然教师和非专业人士在看到它的时候都能认识到数字观念的重要性，但是给它下定义和教授这个知识都是很困难的。问两个幼儿园的儿童一个数字观念测验中（在这章的后面会讲到）的问题：“如果你有４个巧克力，又有人给了你３个，你总共有多少个巧克力？”思考他们的回答。阿力克斯（Alex）皱了一会儿眉毛后回答说：“７个。”问他是怎样算出来的，他说：“好，４加４等于８（他的一只手伸出了４个指头另一只手也伸出了４个指头来做示范）。但是我们只需要加３个（他放下了一只手中的其中一个指头）。所以我得出了７或者８，７比８小１。以答案是７。”西恩（Sean）伸出了一只手中的４个指头说（低声地），“４。然后加３个——５，６，７。”西恩用正常的语调说“７”，问他是如何算出来的，西恩能够清楚的表达他的想法：“我从４开始数——５，６，７。”（在数数的时候他轻轻敲了３下桌子，来表示他将数字加在了最一开始的数上）。这两个孩子的回答正是他们有良好的数字观念的证据，这对幼儿园教师是十分明显的。然而位于观念后面的知识本质似乎很少被人们所发现。这些儿童有什么样的知识使他们能够首先给出答案并在这一过程中展现他们的数字观念呢？学者们研究了儿童的数学思想和解决问题的方法，探索了他们获取数字观念的理解过程或是发展路径。这个研究显示了位于数字观念核心下的５岁儿童（如阿力克斯和西恩）能够证明问题的理解力：⑴他们会从“１”数到“１０”而且知道每个数字的顺序（如，“５”在“４”后面，“７”在“８”前面）；⑵他们知道“４”的大小（如，４比５小１，比３大１），因此就没有必要从１开始数来获得数的大小的概念；⑶他们知道题目中“又给了”代表在４个巧克力的基础上又要增加一个明确的数量（３个巧克力）；⑷他们知道每增加一个数就是序列的下一个数；⑸所以从４开始序列中的后３个数就是计算出的答案（或者，阿力克斯的情况，将４加４得到的答案８记下来，再从８回到序列的前一个数）。这个复杂的知识脉络——叫做全数字的中心概念结构——将在后面做一个更加详细的描述。在上文中阿力克斯和西恩所表露出来的知识不只是对数的理解。它包括计算的流畅（如，轻易精确的数数）和熟知关于数量的语言（如，“总共”表示把两部分合起来），这是已经获得的知识并且它为构建儿童连贯的知识提供了一个基础。西恩和阿力克斯也表露了令人印象深刻的转变认识的技巧（如，能阐述理由并能用语言清晰的表达出来的能力），这不仅给数字观念提供了证据，也促成了它本身的发展。最后，那些能证明这种能力的孩子也能在情况改变很大的情况下显示出回答两数相加问题的能力，如下面的问题，“如果你走了４步，又多走了３步，你走了多远？”和“如果你等了４个小时，又等了３个小时，你等了多长时间？”在这两个问题中，数量都以不同的方式来代表（步子是路程，表盘是位置），用不同的语言来描述总和（“多远？”“多长？”）都与以前常使用的描述两部分之和的语言（“多少？”）不同，以不同的方式应用数字知识的能力是数字观念的又一个特征。数字观念的每个成分都会在随后的部分被提到，并做更详细的讲解。现在有充分的能力指出知识脉络的成分代表——全数字的中心概念结构——被发现至少在两方面是儿童数学学习和成绩的重点。首先，在上面提到的，它能使儿童理解大范围的有着大量不同情况的数字问题（见表６－１，支持这个主张的研究讨论）。第二，它提供了使儿童学习更复杂的数字概念的基础(建设材料)，如那些复杂的两位数（见表６－２，支持这个主张的研究）。所以，这个知识脉络是理解中的重要一环。既然将数字观念选为一个重要的学习目标，教师应该示范对这个知识脉络的基本任务的直观理解和教授这个核心内容的重要性，在训练上这是学习和能力的中心任务（学习方案２）。有了更加明确的理解，实事求是的程序上、概念上的理解，把这些理解牵连缠绕在这个脉络上，将帮助教师们更好的为学生理解这个目标。表６－１中心概念结构学说：支持第一个主张中心概念结构是知识脉络中的一个有力的组成部分，它有一个非常宽泛的应用范围，它在使个人掌握目前知识的问题上起着非常重要的作用。“中心”这个词包含着⑴这个结构对成功地执行范围内的任务很重要，它经常超越单独学科的界线；⑵这些任务的后续学习将决定于这个结构，它将构成最初的核心部分，后面的学习任务也将围绕它来展开。为了测验这些主张中的第一个，格里芬（Griffin）和卡斯（Case）选了两组幼儿园的儿童，他们正处于获得全数字中心概念结构，但是还没有这样做的年龄。所有上学的儿童都属于低收入、贫民区这个群体。在学年的第一部分，我们给所有的儿童做一组评估他们全数字概念理解方面（数字知识测验）和他们在其他含有数字知识领域解决问题的能力的发展测验，这些领域包括科学推论（平衡木测验），社会推论（生日晚会任务），道德推论（普及公正任务），时间观念（时间测验）和理财知识（理财测验）。在这个测验管理上，这两个小组中没有一个孩子通过数字知识测验，少于２０％的孩子通过了剩下的测验。一组儿童（实验组）接触了叫做数字世界的数学节目，这个节目是为了教授全数字的中心概念结构而特别设计的。第二组儿童（控制组）在同一时期（大约十周）得到了大量不同形式的关于数学知识的介绍。在这个学年的最后给这两组儿童做相同的测验，这个测验所呈现出来的情况可由下表看出。实验组——那些接触了数字世界课程的儿童——在所有的测验领域都有了提高，远远超过了控制组。因为在实验组没有一个儿童得到了除数字知识之外的关于这组测验范围的任何训练，实验组在这些任务上的训练后的强化情况可以归因于对全数字中心概念结构的建设，如果表露出的在数字知识测验上儿童（在后训练）的情况。其他可能对这些发现有价值的因素，如更多的个别训练或给实验组教授的时间，在研究中都要仔细控制。通过第二次数字知识测验和５个数字迁移测验的儿童的百分比测验a控制组（Ｎ＝２４）实验组（Ｎ＝２３）数字知识（５／６）２５８７平衡木（２／２）４２９６生日晚会（２／２）４２９６道德推论（２／２）３７８７时间观念（４／５）２１８３理财知识（４／６）１７４３a括号中给出了通过测验的标准中没有用到的项目的数目表６－２中心概念结构学说：支持第二个主张为了测出第二个中心主张——后面的学习由所获得的全数字中心概念结构而定——格里芬和卡斯像表６－１一样使用了相同的儿童样本来指挥后续的学习。实验组和控制组的儿童都从不同的学校的一年级大量的毕业了。他们给那些继续在同一个地理区域读书的儿童设置了一年后的学习计划，并给了测量他们在一年级学习数学和成果的评估范围。他们要求那些无法控制儿童学习状况的教师在大量变量的基础上评定每个孩子在课堂上的表现。结果（见下表）呈现出一个非常有趣的关于一年级儿童在中心概念结构（从６岁儿童在数字知识测验中的情况评估）上的学习和成果的重要性的描述。回想在学期末通过数字知识测验的８７％的实验组的儿童，拿他们