可靠度读书笔记

关于结构随机响应及可靠度分析的读书报告1.引言结构在地震作用下的响应受多种不确定因素的影响，例如由于震源、传播介质和场地条件中许多自然因素的影响，地震动的强度、频率含量和持时都具有明显的随机性，从而使结构的反应也具有随机性。此外，结构反应分析中通常还包含所选用的计算模型和工程实际的符合成都以及结构进一步破坏的机制等方面的不确定性因素。因此，为了，更真实地进行地震作用下的结构安全性评价，势必要采用概率的概念和随机振动理论的方法。结构的随机响应分析包括频域内的功率谱分析和时域内的方差分析。同时结构随机响应分析可分为平稳随机响应和非平稳随机响应。对于平稳过程假定，在频域内进行分析更为容易，可以通过频率响应函数求得响应的功率谱，进而获得结构响应的方差。对于非平稳过程假定，则在时域进行相关分析、进而获得方差响应更为简单。而此时结构响应的频域特征，则不易通过理论分析得到。图1结构随机响应分析方法结构随机响应分为线性结构随机响应分析和非线性系统的随机响应分析。线性体系最本质的特征是激励与响应成线性关系，从而叠加原理适用于结构的随机响应分析在一定条件下，体系的反应还可以分解为有限或无限个振型反应之和。这些都大大简化了线性体系的随机响应分析。在强烈地震作用下，结构将进入具有明显滞回性能的非线性状态。结构非线性响应分析与线性响应分析的区别在于叠加原理和振型分解法不再适用，即便激励为高斯过程，结构的响应也不再是高斯过程，这使得非线性响应分析要比线性响应分析困难得多。结构随机振动分析的最终目的是要定量的评价结构的可靠性，即在概率的意义上定量地评价结构的安全程度。因此结构可靠度分析一直是非常活跃的研究领域，近年来取得了许多进展。本文主要对随机响应分析方法及动力可靠度分析方法进行综述，介绍它们的计算原理并分析了各自的优缺点。结构随机响应平稳随机响应非平稳随机响应频域内的功率谱分析时域内的方差分析2.随机响应的时域分析法根据结构动力学的微分方程𝐌𝒀̈+𝑪𝒀̇+𝑲𝒀=𝑿(𝑡)(1)一般动力方程的数值积分格式，结构的位移和速度响应递推关系式通常可以表示为{𝒀𝑖+1𝒀̇𝑖+1}=𝑨1{𝒀𝑖𝒀̇𝑖}+𝑨2{𝑿𝑖𝑿𝑖+1}(2)式中𝒀𝑖、𝒀̇𝑖和𝑿𝑖为时刻为𝑡=𝑖𝛥𝑡结构的响应向量、速度响应向量和激励向量；𝑨1和𝑨2为确定性矩阵，依赖与结构特性和具体积分格式的参数。对上式右乘自身的转置并取数学期望，可以得到下面递推关系式𝑫𝑖+1=𝑨1𝑫𝑖𝑨1𝑇+𝑨2𝑩𝑖𝑨2𝑇+𝑨1𝑪𝑖𝑨2𝑇+(𝑨1𝑪𝑖𝑨2𝑇)𝑇(3)式中𝑩𝑖、𝑪𝑖和𝑫𝑖分别定义为𝑩𝑖=[𝐸(𝑿𝑖𝑿𝑖𝑇)𝐸(𝑿𝑖𝑿𝑖+1𝑇)𝐸(𝑿𝑖+1𝑿𝑖𝑇)𝐸(𝑿𝑖+1𝑿𝑖+1𝑇)](4)𝑪𝑖=[𝐸(𝒀𝑖𝑿𝑖𝑇)𝐸(𝒀𝑖𝑿𝑖+1𝑇)𝐸(𝒀̇𝑖+1𝑿𝑖𝑇)𝐸(𝒀̇𝑖+1𝑿𝑖+1𝑇]](5)𝑫𝑖=[𝐸(𝒀𝑖𝒀𝑖𝑇)𝐸(𝒀𝑖𝒀̇𝑖+1𝑇)𝐸(𝒀̇𝑖𝒀𝑖𝑇)𝐸(𝒀̇𝑖𝒀𝑖𝑇]](6)式（16）又可表示为𝑪𝑖=𝑨1𝑖[𝐸(𝒀0𝑿𝑖𝑇)𝐸(𝒀0𝑿𝑖+1𝑇)𝐸(𝒀̇0𝑿𝑖𝑇)𝐸(𝒀̇0𝑿𝑖+1𝑇]]+∑𝑨1𝑗𝑖−1𝑗=0𝑨2[𝐸(𝑿𝑖−𝑗−1𝑿𝑖𝑇)𝐸(𝑿𝑖−𝑗−1𝑿𝑖+1𝑇)𝐸(𝑿𝑖−𝑗𝑿𝑖𝑇)𝐸(𝑿𝑖−𝑗𝑿𝑖+1𝑇)](7)结构响应相关矩阵求解的递推关系式的对角矩阵即为位移和速度响应的均方值。由式（13）可以看出，时刻𝑡𝑖+1与时刻𝑡𝑖响应相关矩阵的敌退关系依赖于激励与响应的相关矩阵𝑪𝑖。从式（18）看出，𝑪𝑖的计算设计到大量的满矩阵乘法运算，因此𝑪𝑖的求解是极其耗时的，这直接影响结构响应相关矩阵的计算效率。对于大型复杂结构，𝑪𝑖的运算量是不可接受的。当激励为白噪声或调制白噪声时，𝑪𝑖的计算效率则高得多。与功率谱法相比，时域直接积分法更为直观，可以直接获得响应的方差。在计算方面，虽然时域分析法不需要计算大量离散频点处功率谱值，但在每个离散时刻处需要计算响应和激励的相关矩阵，计算效率更低。不过对于特殊激励情况下，例如激励为白噪声或调制白噪声时，时域分析法的计算效率可大幅度提高。总体来说，大多数现有的时域直接积分法更适用于白噪声或调制白噪声随机激励的情形和结构体系自由度较少的情形。随机激励能否简化为白噪声系统可以按照如下方法判断：对于地震地面运动的平稳模型，地面加速度过程为A(𝑡)。由线性随机振动理论可知，体系位移响应的功率谱密度可以表示为：𝑆𝑋(𝜔)=|𝐻(𝜔)|2𝑆𝐴(𝜔)(8)式中，H(𝜔)为体系的频响函数。体系位移响应及速度相应的方差可以表示为:𝜎𝑋2=∫𝑆𝑋(𝜔)𝑑𝜔(9)∞−∞𝜎𝑋̇2=∫𝜔2𝑆𝑋(𝜔)𝑑𝜔(10)∞−∞对于实际建筑结构中的线性体系来说，体系的阻尼一般很小，此时即使𝑆𝑋(𝜔)不是白噪声，但若𝑆𝑋(𝜔)的带宽较之小阻尼情形下系统幅频特性|H(𝜔)|的半功率带宽(2ξ𝜔𝑛)要宽得多，且当系统在固有频率（也即|H(𝜔)|的中心频率）𝜔𝑛处，𝑆𝑋(𝜔𝑛)的值与𝑆𝑋(𝜔)的最大值具有相同的数量级；那么激励就可以近似地看作是白噪声，其功率可取为𝑆𝑋(𝜔𝑛)。图3可用白噪声激励近似处理的情形因此以上两式可以近似写成：𝜎𝑋2=𝜋2𝜉𝜔03𝑆𝐴(𝜔0)(11)𝜎𝑋̇2=𝜋2𝜉𝜔0𝑆𝐴(𝜔0)(12)将体系的自振频率𝜔0=√𝑘𝑚以及阻尼比ξ=𝑐02𝑚𝜔0代入以上两式，就可求得体系位移响应和速度响应的统计矩。3.线性系统随机响应分析对于线性系统，其突出的优势是可以采用叠加原理。线性体系的运动方程通常可以表示为线性常微分方程或偏微分方程。线性体系最本质的特征是激励与响应成线性关系，从而叠加原理适用于结构的随机响应分析，即体系在多个激励同时作用下的响应等于各个激励分别作用下响应之和。在一定条件下，体系的反应还可以分解为有限或无限个振型反应之和。这些都大大简化了线性体系的随机响应分析。因此，对于线性时不变系统来说，它的动态特性可以用脉冲响应函数或频率响应特性来描述。所谓脉冲响应是指系统对单位冲量作用的响应，它表征系统在时域的动态特性。所谓频响特性是指系统对各个单位复谐和输入的响应恃性，它表征系统在频域的动态特性。两者有确定的对应关系，即Fourier变换对关系。H(𝜔)=∫ℎ(𝜏)𝑒−𝑖𝜔𝜏𝑑𝜏(13)∞−∞ℎ(𝜏)=12𝜋∫H(𝜔)𝑒𝑖𝜔𝜏𝑑𝜔∞−∞(14)以上两式存在的前提条件是∫|ℎ(𝑡)|𝑑𝑡∞∞−∞，也就是要求系统为稳定系统，系统受到冲击后，所激发的运动随时间的推移逐渐衰减。同样也是在叠加原理的基础上，多自由度系统的运动可以通过模态变换，将系统的运动分解为各个模态运动，先求出模态激励下的各个模态运动，然后再叠加起来得到系统的总运动。这就是动力响应分析中的模态叠加法。频域法建立在随机振动理论的基础上，其最大特点就在于通过Fourier变换，能将时域的常微分方程(组)化为代数方程(组)。因此在线性系统中，频域分析法被广泛采用。3.1传统功率谱法在随机振动分析中，功率谱方法是求解结构随机响应的主要方法。该法从激励功率谱密度函数之间的传递关系着手，建立随机响应功率谱密度函数的求解方法。本质上功率谱密度函数所包含的是随机过程的频域二阶统计信息，通过傅里叶变换即可获得响应的时域二阶统计特征。功率谱法在线性随机振动问题中一直起着重要的作用，特别是在平稳输入/平稳输出问题中，响应功率谱与激励功率谱之间简单的代数关系是功率谱法中最精彩的部分。经过有限元离散后，结构系统的动力微分方程可写为𝐌𝒀̈+𝑪𝒀̇+𝑲𝒀=𝑿(𝑡)(15)式中M、C、K分别表示质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；𝒀̈、𝒀̇、𝒀分别为加速度向量、速度向量和位移向量；𝑿(𝑡)为随机激励响亮。当激励𝑿(𝑡)为平稳随机过程向量时，设其功率谱密度函数矩阵为𝑺𝑿𝑿(𝒘)，则位移响应的功率谱密度函数矩阵可以表示为𝑺𝑌𝑌(𝑤)=𝑯(𝑤)∗𝑺𝑿𝑿(𝑤)𝑯(𝑤)𝑇(16)式中𝑯(𝑤)为结构的频率响应函数矩阵，上标*表示复数共轭，上标T表示矩阵转置。当激励𝑿(𝑡)为非平稳随机过程时，激励的集合平均不能再用时间平均来代替，这就使得非平稳的处理变得非常困难。好在对非平稳激励的一类特殊情形，即演变随机激励来说，问题相对简单许多。演变随机激励，是指平稳随机激烈按某种确定性演化规律得来的一类非平稳随机过程的概念。当激励𝑿(𝑡)为均匀调制非平稳随机过程向量时，𝑿(𝑡)可以表示为𝑿(𝑡)=𝑮(𝑡)𝒙(𝑡)(17)式中𝑮(𝑡)=𝑑𝑖𝑎𝑔[𝑔1(𝑡)𝑔2(𝑡)…𝑔𝑛(𝑡)],𝑿(𝑡)=[𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡)…𝑥𝑛(𝑡)]𝑇,其中𝑔𝑖(𝑡)和𝑥𝑖(𝑡)(i=1,2,…,n)分别为均匀调制函数和平稳随机过程，n为结构自由度数。设𝒙(𝑡)的功率谱密度函数矩阵为𝑺𝑋𝑋(𝑤)，则位移响应𝒀(𝑡)的功率谱密度函数矩阵为𝑺𝑌𝑌(𝑤，𝑡)=𝑰(𝑤,𝑡)∗𝑺𝑿𝑿(𝑤)𝑰(𝑤,𝑡)𝑇(18)用𝑰𝒊(𝑤,𝑡)表示为𝑰(𝑤,𝑡)的第i列向量，𝑮𝑖(𝑡)表示为𝑮(𝑡)的第i列向量，则𝑰𝒊(𝑤,𝑡)为𝑮𝑖(𝑡)𝑒𝑖𝑤𝑡作用下动力方程的解答，即𝑰𝒊(𝑤,𝑡)满足下述方程𝑴𝑰̈𝑖(𝑤,𝑡)+𝑪𝑰̇𝑖(𝑤,𝑡)+𝑲𝑰𝑖(𝑤,𝑡)=𝑮𝑖(𝑡)𝑒𝑖𝑤𝑡(19)当激励𝑿(𝑡)为非均匀调制非平稳随机过程向量时，位移响应的时变功率谱密度函数矩阵的表达式与*式相似。3.2虚拟激励法虚拟激励法通过构造与随机激励功率谱密度函数相关的虚拟激励，将平稳随机振动分析转化为确定性简谐振动分析，将非平稳随机振动分析转化为确定性动力时程分析，从而大大简化了随机振动分析的计算步骤，却仍保持了传统功率谱法的计算结果。当激励𝑿(𝑡)为平稳随机过程向量，可构造下面随机激励𝑿̃𝑖(𝑡;𝑤)=√𝜆𝑖(𝑤)𝝍𝑖(𝑤)∗𝑒𝑖𝑤𝑡(20)式中𝜆𝑖(𝑤)及𝜓𝑖(𝑤)为𝑺𝑿𝑿(𝑤)的特征值和特征向量。在虚拟激励𝑋̃𝑖(𝑡;𝑤)下结构虚拟响应为𝒀̃𝑖(𝑡;𝑤)=√𝜆𝑖(𝑤)𝑯(𝑤)𝝍𝑖(𝑤)∗𝑒𝑖𝑤𝑡(21)结构位移响应𝒀(t)的功率谱密度函数𝑺𝑌𝑌(𝑤)可用虚拟响应构造为𝑺𝑌𝑌(𝑤,𝑡)=∑𝒀̃𝑖𝑛𝑖=1(𝑡;𝑤)∗𝒀̃𝑖(𝑡;𝑤)𝑇(22)当激励𝑿(𝑡)为均匀调制非平稳随机过程向量，可构造下面随机激励𝑿̃𝑖(𝑡;𝑤)=√𝜆𝑖(𝑤)𝑮(𝑡)𝝍𝑖(𝑤)∗𝑒𝑖𝑤𝑡(23)式中𝜆𝑖(𝑤)及𝜓𝑖(𝑤)为𝑺𝑿𝑿(𝑤)的特征值和特征向量。在虚拟激励𝑋̃𝑖(𝑡;𝑤)下结构虚拟响应为𝒀̃𝑖(𝑡;𝑤)=√𝜆𝑖(𝑤)𝑰(𝑤,𝑡)𝝍𝑖(𝑤)∗(24)结构位移响应𝒀(t)的功率谱密度函数𝑺𝑌𝑌(𝑤，𝑡)可用虚拟响应构造为𝑺𝑌𝑌(𝑤,𝑡)=∑𝒀̃𝑖𝑛𝑖=1(𝑡;𝑤)∗𝒀̃𝑖(𝑡;𝑤)𝑇(25)比较传统功率谱法和虚拟激励法的计算公式，可以看出虚拟激励法并不比传统功率谱法节省计算量。由于虚拟激励法还需要解功率谱密度矩阵的特征值和特征向量，其计算量反而更大一些。只是虚拟激