基于线性最优控制的倒立摆镇定系统设计

湖南科技大学潇湘学院电气工程及其自动化二班欧阳宏明1254010210指导教师；周兰基于线性最优控制的倒立摆镇定系统设计一丶引言早在20世纪60年代，人们就开始了对倒立摆系统的研究。1966年Schacfer和Cannon应用Bang-Bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置。到了20世纪60年代后期，倒立摆作为一个典型不稳定、非线性的例证被提出。自此，对于倒立摆系统的研究便成了控制界关注的焦点。倒立摆的种类很多，有悬挂式倒立摆、平行倒立摆、环形倒立摆、平面倒立摆；倒立摆的级数可以是一级、二级、三级、四级乃至多级；倒立摆的运动轨道可以是水平的，还可以是倾斜的(这对实际机器人的步行稳定控制研究更有意义)；控制电机可以是单电机，也可以是多级电机。目前有关倒立摆的研究主要集中在亚洲，如中国的北京师范大学、北京航空航天大学、中国科技大学；日本的东京工业大学、东京电机大学、东京大学；韩国的釜山大学、忠南大学，此外，俄罗斯的圣彼得堡大学、美国的东佛罗里达大学、俄罗斯科学院、波兰的波兹南技术大学、意大利的佛罗伦萨大学也对这个领域有持续的研究。近年来，虽然各种新型倒立摆不断问世，但是可自主研发并生产倒立摆装置的厂家并不多。目前，国内各高校基本上都采用香港固高公司和加拿大Quanser公司生产的系统；其它一些生产厂家还包括（韩国）奥格斯科技发展有限公司（FT-4820型倒立摆）、保定航空技术实业有限公司；最近，郑州微纳科技有限公司的微纳科技直线电机倒立摆的研制取得了成功。倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。对倒立摆这样的一个典型被控对象进行研究，无论在理论上和方法上都具有重要意义。不仅由于其级数增加而产生的控制难度是对人类控制能力的有力挑战，更重要的是实现其控制稳定的过程中不断发现新的控制方法，探索新的控制理论，并进而将新的控制方法应用到更广泛的受控对象中。各种控制理论和方法都可以在这里得以充分实践，并且可以促成相互间的有机结合。二丶系统描述2.平衡倒立摆系统的非线性数学模型图(1)是平衡倒立摆系统的力学示意图,将摆杆视为刚体,长度为2一般有2～3,M表示小车,2重量,与原点的位移为LmLr,给它施加的力矩为u.摆杆的重量设为,重心在mB点,它可绕点旋转,转角设为Aθ,当小车在水平方向运动时,若忽略摩擦力矩的非线性,则有牛顿第二定律得：(1)由绕A点的旋转运行,得：(2)式中,J是摆杆相对于A点的转动惯量,并且,用代入式(1)和式(2),则有：式(4)是摆杆旋转运动的微分方程描述,很显然这是一个单输入单输出多项式类非线性系统,M=2,N=3,选用固高科技有限公司GIP-100（15）,选取参数三丶系统分析3.自动平衡倒立摆系统的非线性频谱分析四丶系统设计从式9可看出,它有两个极点,其中一个在右半平面,因此倒立摆是一个自不稳定系统,倒立摆车加上滑轮、伺服电机、功率放大器和控制器,组成的自动平衡倒立摆系统。如果运动位移无限长,即让倒立摆在圆轨道上运动,可以不考虑位移R的作用,而只考虑摆角Sθ的回路。(8)进行分析,可知P不是稳定的,故应先设计一个线性控制器C使P镇定（即稳定）.可设计步骤：定理1对系统（13），存在一个状态反馈最优控制器，当且仅当存在一个正定矩阵∞HX和矩阵W，使得以下的约束不等式：存在一个最优可行解，则是系统（13）的一个状态反馈最优控制器，相应的最小扰动抑制度是问题（15）是一个具有线性矩阵不等式约束和线性目标函数的凸优化问题，故可以应用LMI工具箱中的求解器mincx来求解该优化问题。4.2设计结果仿真系统MATLAB仿真分析在得到了系统的控制器∞HK之后，继续利用MATLAB软件中的LMI工具箱，可以使用函数slft得到闭环系统：clsys=slft(P,K)；进而，函数spol可以用来检验闭环系统的稳定性：spol(clsys),该函数返回的是闭环系统的极点,从返回的极点来分析，易见所设计的闭环系统是渐近稳定的。同时，通过调用函数norminf(clsys)，可得到外部扰动ω到被调输出的闭环系统增益zeeΓ为0.1004,满足系统的性能指标，抗干扰能力比较强，因此所设计的状态反馈最优控制器是有效的和可行的。在这，另附系统的阶跃响应曲线如图（4）所示五丶结论本文主要是基于Volterra级数理论，针对非线性倒立摆系统设计镇定控制器。首先，根据非线性连续时间系统的频域稳定性判据，利用广义频率响应函数（GFRF），对倒立摆系统进行镇定，这种方法的主要思想和关键技术是把非线性系统的稳定化问题转化为级数的收敛问题，找到一个使得系统为FDBIBO稳定；接着讨论了系统的鲁棒性能问题，并转化为一个标准控制问题，这是本文设计控制器的关键。继而，我们利用线性不等式（LMI）处理方法，并采用MATLAB软件中的LMI工具箱，设计出非线性状态反馈最优控制器；最后，由理论和MATLAB仿真实验验证结果表明所用方法对倒立摆系统的镇定是有效的，且系统满足事先给定的性能指标。参考文献[1]BilingSAandTsangKM.Spectralanalysisfornonlinearsysterms.Part:Interpretationofnonlinearfrequencyresponsefuncton[J].MechanicalSystemsandSignalProcessing.1989,3(4):341-359[2]ZhangHandBillingsSA.Analysingthetransferfunctionofnonlinearsystermsinthefrequencydomain[J].J.MechanismSystermsandSignalProcessing,1993,7(5):531-550.[3]曹建福等.非线性控制理论及应用.西安:西安交通大学出版社2001[4]俞立.鲁棒控制－线性矩阵不等式处理方法.北京:清华大学出版社2002[5]吴敏、桂卫华.现代鲁棒控制[M].长沙：中南工业大学出版社。1998.[6]冯纯伯等。鲁棒控制系统设计。南京：东南大学出版社，1995。[7]黄文梅.系统分析仿真分析与设计--MATLAB语言工程应用.长沙:国防科技大学出版社，2001[8]薛定宇.反馈控制系统设计与分析--MATLAB语言应用.北京:清华大学出版社,2000.