基于观测器的受扰MIMO系统输出反馈最优控制

1121306060005朱铝芬控制理论与控制工程基于观测器的受扰MIMO系统输出反馈最优控制摘要：研究外界扰动作用下的MIMO(多输入多输出)系统的输出反馈最优控制问题。通过求解Riccati方程和Sylvester矩阵方程分别在有限时域和无限时域得到系统最优控制律，证明了最优控制律存在唯一性条件。构造一个观测器z(t)，利用系统的输入变量u(t)和输出变量y(t)的信号来估计状态变量x(t)，然后再利用状态变量的估计值进行反馈，通过前馈补偿扰动，实现最优扰动抑制调节。最后，仿真结果表明了该方法的有效性。关键词：MIMO系统观测器外部扰动输出反馈控制OutputFeedbackOptimalControlforMIMOSystemswithExternalDisturbancesBasedonObserverAbstract:ThispaperconsiderstheoptimaloutputfeedbackcontrolproblemforMIMO(MultipleInputMultipleOutput)systemsaffectedbyexternaldisturbances.Theoptimaldisturbancerejectioncontrollawinfinite-timeandinfinitehorizonformarefirstproposedbyusingthesolutionsofaRiccatiequationandaSylvesterequation.Wegivetheexistenceanduniquenessconditionsoftheoptimaloutputlaw,andconstructanobservertoestimatethestatevariablesx(t),byusingthesignalofinputvariablesu(t)andoutputvariablesy(t).Thenweachievetheoptimaldisturbancesrejectioncontrollawbyusingtheestimatedvalueofstatevariableforfeedforwardandfeedbackcontrol.Finally,apracticalexampleisgiventoillustratetheeffectivenessofthetheory.KeyWords:MIMOsystems,Observer,ExternalDisturbances,OutputFeedbackControl1引言(Introduction)控制系统往往受到各种外部扰动的影响，这些干扰不仅使系统的工作点发生漂移，而且会使系统的动态和稳态性能变差,甚至造成系统失稳。在控制系统中，扰动问题是普遍存在的问题。系统的外部扰动主要分为未知的随机扰动和已知动态特性的扰动。存在未知扰动的系统，主要研究鲁棒扰动衰减控制等。存在已知动态特性扰动的系统具有很广泛的应用领域，如电力系统中电压的跳动，过程控制系统中流量的增大或减小都可视为阶跃或者斜坡扰动；直升飞机机翼转轴减振2控制系统的正弦扰动力以及空间站的姿态控制中受到的正弦扰动；机械运行所受的振动等都是已知动态特性的扰动。因此，研究更具一般意义的外部扰动作用下的系统的扰动控制问题有重要的理论及应用价值。目前对系统外部持续扰动的抑制问题的研究已取得若干有价值的成果。Lindquist等,提出了基于平均二次型性能指标的前馈-反馈最优减振控制策略；文献[2,3]研究了带有持续扰动的线性系统的前馈反馈最优控制方法；文献[4]研究了受扰线性系统的最优扰动抑制控制问题，重点考虑了扰动不可测情况。本文研究具有外界扰动作用下的MIMO系统的输出反馈最优控制，针对系统的状态变量无法都检测得到的情况，利用系统的输入变量u(t)和输出变量y(t)的信号来估计状态变量x(t)，在有限时域和无限时域得到系统基于观测器的最优扰动抑制控制律，实现了最优扰动抑制调节。2问题描述(ProblemStatement)考虑受扰动MIMO系统动态方程{𝑥(𝑡)̇=𝐴𝑥(𝑡)+𝐵𝑢(𝑡)+𝐷𝑣(𝑡)𝑦(𝑡)=𝐶𝑥(𝑡)𝑥(𝑡0)=𝑥0(1)其中：x∈𝑅𝑛为状态向量；uϵ𝑅𝑟为控制向量；vϵ𝑅𝑙为外部干扰向量；yϵ𝑅𝑚为输出向量；A，B，C和D为适当维数的常量矩阵。假设1：（A，C）为完全可观测的。假设2：外部干扰v(t)的动态特性由下面外系统描述：{𝑤(𝑡)=𝐺𝑤(𝑡)̇𝑣(𝑡)=𝑀𝑤(𝑡)(2)其中，wϵ𝑅𝑟，G和M为适当维数的常量矩阵。且满足：（a）扰动外系统（2）的初始条件w(0)未知但可测量。（b）（G，M）是完全可观测的。（c）矩阵G的所有特征值满足Re(𝜆𝑖(G))≤0，i=1,2,3,⋯,r(3)且具有零实部的特征值为矩阵G的最小多项式的单根。注1：扰动外系统（2）的表达式是很多特殊扰动的一般形式。当扰动模型系统矩阵为G=0，系统表示为阶跃扰动；当G=[0100]，系统表示为斜坡扰动；当G=[0𝜔−ω0]，系统表示为正弦扰动。我们选择如下形式的二次型平均性能指标：3J=12𝑦𝑇(𝑡𝑓)Fy(𝑡𝑓)+12∫[𝑦𝑇(𝑡)𝑄𝑦(𝑡)+𝑢𝑇(𝑡)𝑅𝑢(𝑡)]𝑡𝑓𝑡0dt(4)其中，F，Q为半正定对称矩阵；R为正定对称矩阵；𝑡𝑓固定，有0≤m≤r≤n。有限时间输出调节器问题，其实质是寻找最优控制律𝑢∗(t)使J在约束（1）下取最小值。首先利用输出方程，用状态变量x(t)代替性能指标中的输出变量y(t)，得到J=12𝑥𝑇(𝑡𝑓)𝐹̅x(𝑡𝑓)+12∫[𝑥𝑇(𝑡)𝑄̅𝑥(𝑡)+𝑢𝑇𝑅𝑢(𝑡)]𝑡𝑓𝑡0dt(5)其中，𝐹̅=𝐶T𝐹𝐶，𝑄̅=𝐶𝑇𝑄𝐶。若（A，C）是完全可观测的，则F̅和Q̅必为半正定对称矩阵。根据极大值原理，系统（1）关于（5）的最优控制律为u(t)=−𝑅−1𝐵𝑇𝜆(t)(6)其中，𝜆(t)为下面两点边值问题的解{−𝜆̇(𝑡)=𝑄̅𝑥(𝑡)+𝐴𝑇𝜆(𝑡)𝑥(𝑡)̇=𝐴𝑥(𝑡)−𝑆𝜆(𝑡)+𝐷𝑣(𝑡),𝑡0𝑥(𝑡0)=𝑥0,𝜆(𝑡𝑓)=𝐹̅𝑥(𝑡𝑓)𝑡𝑡𝑓(7)其中，S=B𝑅−1𝐵𝑇。3有限输出反馈最优控制律设计(DesignoftheOTCLawinFinite-Time)在实际系统中，若用状态进行反馈，应用中可能会遇到困难。因为测量所有的状态有时是不可能或不实际的，状态反馈要求对所有的状态由理想的传感器测量，而实际的传感器有着有限的频带宽度。有时系统的状态不是实际的物理量，测量所有的状态在技术和经济上也存在着问题。除了测量问题，每个反馈环节都需要实际硬件或计算机控制软件，这增加了系统的复杂性，降低了系统的可靠性。假如一个传感器发生故障，整个系统变得不稳定了，所以要解决状态变量的信息问题，可以有两个途径：一是利用卡尔曼滤波器，二是建立状态观测器。这里介绍采用状态观测器的方法，通过构造一个观测器，利用系统的输入变量u(t)和输出变量y(t)的信号来估计状态变量x(t)。然后再利用状态变量的估计值进行反馈，实现最优调节。如图3-1所示：图3-1带有观测器的反馈系统4其中，N(t)为系统的外界输入，-K为系统的输出反馈系数。为了证明系统(1)关于性能指标(5)的最优扰动抑制控制律的存在唯一性问题，先引入以下引理。引理1：设Aϵ𝑅𝑛∗𝑛，Bϵ𝑅∗，C∈𝑅𝑛∗𝑚，Xϵ𝑅𝑛∗𝑚，则矩阵方程AX+BX=C（8）的解X存在且唯一的充要条件是{𝜆𝑖()+𝜆(𝐵)0=1,,⋯,,=1,,⋯,(9)其中，𝜆𝑖(A)和𝜆(B)分别为矩阵A和B的特征值。下面给出扰动作用下MIMO系统的输出反馈最优控制的主要结果。定理1：考虑由(1),(2)描述的受扰MIMO系统关于性能指标(5)的输出反馈最优控制问题。假设(1)和(2)成立。则系统的有限时间输出反馈最优控制律唯一存在。其表示形式为𝑢∗=−𝑅−1𝐵𝑇[P(t)z(t)+(𝑡)𝑣(𝑡)](10)其中，z(t)是x(t)的状态估计，P(t)为Riccati矩阵微分方程−̇(𝑡)=𝐴𝑇(𝑡)+(𝑡)𝐴−(t)S(t)+𝐶𝑇𝑄𝐶(11)的唯一正定解；P(t)为Sylvester矩阵微分方程−̇(t)=(t)+[𝐴𝑇−(t)S](𝑡)+(𝑡)𝐺̅(12)的唯一解，其中𝐺̅=G𝑀−1。证明：为了求解两点边值问题，令λ(t)=(t)x(t)+(𝑡)𝑣(𝑡)(13)由式(1)、(2)和(7)得到𝜆̇(t)=[̇(t)+(t)−(t)B𝑅−1𝐵𝑇(t)]x(t)+[P(t)DM+̇(𝑡)𝑀+(𝑡)𝑀𝐺−(𝑡)𝐵𝑅−1𝐵𝑇(𝑡)𝑀]w(t)(14)将式（13）代入式(7)得到−𝜆̇(t)=[𝑄̅+𝐴𝑇(𝑡)]x(t)+𝐴𝑇(𝑡)𝑀𝑤(𝑡)(15)并和式(14)相加，可导出Riccati矩阵微分方程(11)和Sylvester矩阵微分方程(12)，将式(13)代入式(6)，得到唯一的最优扰动抑制控制律𝑢∗=−𝑅−1𝐵𝑇[(t)x(t)+(t)v(t)](16)闭环系统的状态方程和输出方程为{𝑥(𝑡)̇=[𝐴−𝑆(𝑡)]𝑥(𝑡)+[−S(t)]v(t)+B(t)𝑦(𝑡)=𝐶𝑥(𝑡)(17)5系统(1)的最优调节闭环系统的方框图如图3-2所示：图3-2最优调节闭环系统方框图下面利用系统的输入变量u(t)和输出变量y(t)的信号来估计状态变量x(t)，构造观测器z(t)，并建立一个渐进稳定的动态系统，使得该系统的新状态变量z(t)能够趋近于原系统的状态变量x(t)。构造如下系统：(𝑡)̇=(A+HC)z(t)+Bu(t)+Dv(t)-Hy(t)(18)其中，H是我们选择的n*l阶矩阵，它使得系统(18)是渐进稳定的，即使得（A+HC）的特征根的部分均为负的。下面证明当t时，z(t)x(t)，即m(t)=𝑥(𝑡)用式(18)减去(1)，得(̇-𝑥̇)=𝐴(𝑥−)+(𝑦−𝐶)=(𝐴+𝐶)(𝑥−)(19)由于（A+HC）的特征根的实数部分均为负的，所以系统（19）是渐进稳定的。即m[(𝑡)−𝑥(𝑡)]=0因此，z(t)可以作为x(t)的估计值，即系统(18)是系统(1)的一个观测器。利用状态观测器的输出z(t)代替状态x(t)进行反馈，构成带有观测器的闭环最优调节系统。该系统的状态方程和输出方程为{ẋ(𝑡)=[𝐴−𝐵𝑅−1𝐵𝑇(𝑡)]𝑥(𝑡)+[𝐷−𝐵𝑅−1𝐵𝑇(𝑡)]𝑣(𝑡)+𝐵(𝑡)𝑦(𝑡)=𝐶𝑥(𝑡)̇(𝑡)=(𝐴+𝐶)(𝑡)+𝐵𝑢(𝑡)+v(t)−y(t)(20)定理1得证。4无限输出反馈最优控制律设计(DesignoftheOTCLawinInfiniteHorizon)对系统（1）的最优控制问题，也可以类似讨论无限时域的情形(t)。当矩阵G至少有一个特征值在虚轴上时，持续外部扰动w(t)将趋向于等幅振荡，所以其状态向量x(t)和控制向量u(t)至少有一个不趋于零，如果选择通常的无限时域二次型性能指标，其性能指标函数是不收敛的。因此，可选取下列二次型平均性6能指标J=mT1𝑇∫(𝑥𝑇𝑄𝑥+𝑢𝑇𝑅𝑢)𝑇𝑡0dt(21)而对于外系统（3）为渐近稳定的情况，可选取常规的无限时域二次型性能指标J=∫(𝑥𝑇𝑄𝑥+𝑢T𝑅𝑢)𝑡0dt(22)当性能指标为（21）和（22）时，其最优控制的推导过程和形式是一样的。在（A，B）能控和（A,C）能观测的假设条件下，则系统的输出反馈最优控制律唯一存在。其表示形式