基于递归法的最接近点对问题

基于递归法的最接近点对问题姓名：杨意学号：309040102009学院：数学信息学院专业：计算机辅助教育目录1、问题综述.....................................................................32、用递归法解决...............................................................32.1一维情形下的分析.......................................................................32.2二维情形下的分析.......................................................................42.3算法优化.......................................................................................72.4算法实现.......................................................................................73、结论...........................................................................10基于递归法的最接近点对问题摘要：在计算机应用中，常用诸如点、圆等简单的几何对象表现现实世界中的实体。在涉及几何对象的问题中，常需要了解其邻域中其他几何对象的信息。例如，在空中交通控制问题中，若将飞机作为空间中移动的一个点来处理，则具有最大碰撞危险的两架飞机就是这个空间中最近的一点。这类问题是计算机几何学中研究的基本问题之一。本文就运用递归法对一维和二维的情况加以讨论。关键词：最接近点对递归法1、问题综述最接近点对问题的提法是：给定平面上n个点，找其中的一对点，使得在n个点组成的所有点对中，该点对间的距离最小。实际情况下，最接近点对可能多于一对，为简单起见，我们只找其中的一对作为问题的解。有一个最直观的方法就是将每一点与其他n-1个点的距离算出，找出达到最小距离的两点即可。然而，这样做效率太低，我们想到用递归法来解决这个问题。2、用递归法解决将所给的平面上n个点的集合S分成两个子集S1和S2，每个子集中约有n/2个点。然后在每个子集中递归地求其最接近的点对。在这里，一个关键的问题是如何实现递归法中的合并步骤，即由S1和S2的最接近点对，如何求得原集合S中的最接近点对。如果组成S的最接近点对的两个点都在S1中或都在S2中，则问题很明显就可以找到答案。可是还存在另外一种可能，就是这两给点分别在S1和S2中的时候。下面主要讨论这种情况。2.1一维情形下的分析为使问题易于理解和分析，我们先来考虑一维的情形。此时，S中的n各点退化为x轴上的n个实数x1，x2，x3…xn。最接近点对即为这n个实数中相差最小的两个实数。我们尝试用递归法来求解，并希望推广到二维的情形。假设我们用x轴上的某个点m将S划分为两个集合S1和S2，使得S1={x∈S|x≤m};S2={x∈S|x＞m}。这样一来，对于所有p∈和q∈S2有p＜q。递归地在S1和S2上找出其最接近点对{p1，p2}和{q1，q2}，并设d=min{|p1-p2|，|q1-q2|}由此易知，S中的最接近进点对或者是{p1，p2}，或者是{q1，q2}，或者是某个{p3，q3}，其中，p3∈S1且q3∈S2。如图2-1-1所示。图2-1-1一维情形的递归法我们注意到，如果S的最接近点对是{p3，q3}，即|p3-q3|＜d，则p3和q3两者与m的距离不超过d，即|p3-m|＜d，|q3-m|＜d。也就是说，p3∈(m-d，m]，q3∈(m，m+d]。由于每个长度为d的半闭区间至多包含S1中的一个点，并且m是S1和S2的分割点，由图2-1-1可以看出，如果(m-d，m]中有S中点，则此点就是S1中最大点。同理，如果(m，m+d]中有S中点，则此点就是S2中最小点。因此，我们用线性时间就能找到区间(m-d，m]和(m，m+d]中所有点，即p3和q3。从而我们用线性时间就可以将S1的解和S2的解合并成为S的解。但是，还有一个问题需要认真考虑，即分割点m的选取，即S1和S2的划分。选取分割点m的一个基本要求是由此将S进行分割，使得S=S1∪S2，S1≠Φ，S2≠Φ，且S1∈{x|x≤m},S2∈{x|x＞m}。容易看出，如果选取m={max(S)+min(S)}/2，可以满足分割要求。然而，这样选取分割点，有可能造成划分出的子集S1和S2的不平衡。例如在最坏情况下，|S1|=1，|S2|=n-1，这样的计算效率与分割前相比提高幅度不明显。这种现象可以通过递归法中“平衡子问题”的方法加以解决。我们可以适当选择分割点m，使S1和S2中有个数大致相等的点。我们会想到用S中各点坐标的中位数来作为分割点。由此，我们设计出一个求一维点集S的最接近点对的算法Cpair1如下：---------------------------------------------------------------BoolCpair1(S,d){N=|S|;if(n＜2){d=∞;returnfalse;}m=S中各点坐标的中位数；//构造S1和S2；S1={x∈S|x≤m};S2={x∈S|x＞m};Cpair1(S1,d1);Cpair1(S2,d2);p=max(S1);q=min(S2);d=min(d1,d2,q-p);returntrue}------------------------------------------------------------------2.2二维情形下的分析以上一维算法可以推广到二维的情形。设S中的点为平面上的点，它们都有两个坐标值x和y。为了将平面上点集S线性分割为大小大致相等的两个子集S1和S2，我们选取一垂直线L：x=m来作为分割直线。其中，m为S中各点x坐标的中位数。由此将S分割为S1={p∈S|x(p)≤m}和S2={p∈S|x(p)＞m}。从而使S1和S2分别位于直线L的左侧和右侧，且S=S1∪S2。由于m是S中各x坐标的中位数，因此S1和S2中得点数大致相等。递归地在S1和S2上解最接近点对问题，我们分别得到S1和S2中的最小距离d1和d2。现设d=min{d1,d2}。若S的最接近点对(p,q)之间的距离小于d，则p和q必分属于S1和S2。不妨设p∈S1，q∈S2。那么p和q距直线L的距离均小于d。因此，若我们用P1和P2分别表示直线L的左边和右边的宽为d的两个垂直长条区域，则p∈P1且q∈P2，如图2-2-1所示。图2-2-1距直线L的距离小于d的所有点在一维情形下，距分割点距离为d的两个区间(m-d，m]和(m，m+d]中最多各有S中一个点。因而这两点成为唯一的未检查过的最接近点对候选者。二维的情形则要复杂些。此时，P1中所有点和P2中所有点构成的点对均为最接近点对的候选者。在最坏的情况下有n2/4对这样的候选者。考虑P1中任意一点p，它若与P2中的点q构成最接近点对的候选者，则必有distance(p,q)＜d。满足这个条件的P2中的点有多少个呢？容易看出这样的点一定落在一个d*2d的矩形R中，如图2-2-2所示。图2-2-2包含点q的d*2d矩形R由d的意义可知，P2中任何两个S中的点的距离都不小于d。由此可以推出矩形R中最多只有6个S中的点。下面我们来证明这个结论。我们可以将矩形R的长为2d的边3等分，将它的长为d的边2等分，由此导出6个（d/2）*（2d/3）的矩形。如图2-2-3(a)所示。如图2-2-3矩形R中点的稀疏性若矩形R中有多于6个S中的点，则由鸽舍原理1易知至少有一个（d/2）*（2d/3）的小矩形中有2个以上S中的点。设u，v是这样2个点，它们位于同一小矩形中，则（x（u）-x（v））2+（y（u）-y（v））2≤（d/2）2+（2d/3）2=25/36d2因此，distance(u,v)≤5d/6＜d。这与d的意义相矛盾。也就是说矩形R中最多只有6个S中的点。图2-2-3（b）是矩形中恰有6个S中点的极端情形。由于这种稀疏性质，对于P1中任意一点p，P2中最多只有6个点与它构成最接近点对的候选者。因此，在递归法的合并步骤中，我们最多只需要检查6*n/2=3n个候选者，而不是n2/4个候选者。我们将p和P2中所有S2的点投影到垂直线L上。由于能与p点一起构成最接近点对候选者的S2中点一定在矩形R中，所以它们在直线L上的投影点距p在L上投影点的距离小于d。由上面的分析可知，这种投影点最多只有6个。因此，若将P1和P2中所有S中点按其y坐标排好序，则对P1中所有点，对排好序的点列做一次扫描，就可以找出所有最接近点对的候选者。对P1中每一点最多只要检查P2中排好序的相继6个点。至此，我们给出用递归法求二维点集最接近点对的算法Cpair2如下：------------------------------------------------------------------------------------------------boolCpair2(S,d){N=|S|;If(n2){d=∞;Returnfalse;}1.m=S中各点x间坐标的中位数；构造S1和S2；//S1={p∈S|x(p)=m}，S2={p∈S|x(p)m}2.Cpair2(S1,d1);Cpair2(S2,d2);1鸽舍原理也称“抽屉原理”，一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合,每一个苹果就可以代表一个元素,假如有n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去,其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。”3.dm=min(d1,d2);4.设P1是S1中距垂直分割线L的距离在dm之内的所有点组成的集合；P2是S2中距分割线L的距离在dm之内所有点组成的集合；将P1和P2中点依其y坐标值排序；并设X和Y是相应的已经排好序的点列；5.通过扫描X以及对于X中每个点检查Y中与其距离在dm内的所有点（最多6个）可以完成合并；当X中的扫描指针逐次向上移动时，Y中的扫描指针可在宽为2dm的一个区间内移动；设dl是按这种扫描方式找到的点对间的最小距离；6.d=min(dm，dl)；returntrue；}------------------------------------------------------------------------------------------------------2.3算法优化在以上二维情形下的算法中，在每次执行第4步时都要进行排序，这将花费较多的时间，从而增加算法的复杂度。因此，在这里我们要作一个技术处理。我们采用设计算法时常用的预排序技术，在使用递归法之前，预先将S中n个点依其y坐标值排好序，设排好序的点列为P*。在执行递归法的第4步时，只要对P*作一次线性扫描，即可抽取出我们所需要的排好序的点列X和Y。然后，在第5步时再对X作一次线性扫描，即可求得dl。2.4算法实现在具体实现算法Cpair2时，我们分别用类PointX和PointY表示依x坐标和依y坐标排序的点。-----------------------------------------------------------------------------------------ClassPointX{Public:Intoperator=(PointXa)const{return(x=a.x);}Private:IntID;//点编号Floatx,y;//点坐标};ClassPointY{Public:intoperator=(PointYa)const{return(y=a.y)}Private: