基本不等式变形技巧的应用

基本不等式变形技巧的应用基本不等式在求解最值、值域等方面有着重要的应用，利用基本不等式时，关键在对已知条件的灵活变形，使问题出现积（或和）为定值，以便解决问题，现就常用技巧给以归纳。技巧一：加减常数例1、求函数)1(11xxxy的值域。解：（1）当x1时，有011,01xx，111)1(11xxxxy3111)1(2xx，当且仅当111xx，即x＝2时，等号成立，此时y的最小值为3.（2）当x1时，011,01xx，所以011,01xx，111)1(11xxxxy1]11)1[(xx1111)1(2xx，当且仅当xx111，即x＝0时，等号成立，此时y的最大值为－1，综上所述，该函数的值域为).,3[]1,(点评：当各项符号不确定时，必须分类讨论，要保证代数式中的各项均为正。技巧二：巧变常数例2、已知210x，求函数y＝x（1－2x）的最大值。解法一：因为210x，所以1－2x0，所以)21(221)21(xxxxy.81]2)21(2[212xx解法二：因为210x，所以021x，所以)21(2)21(xxxxy81]2)21([22xx，当且仅当xx21，即41x时，等号成立，所以当41x时，y的最大值为.81点评：形如)1()(axxxf或)1()(22axxxf等可有两种变形方法：一是巧乘常数；二是巧提常数，应用时要注意活用。技巧三、分离常数例3、已知25x，则4233)(2xxxxf有（）A、最大值45B、最小值45C、最大值23D、最小值23分析：本题看似无法使用均值不等式，但对函数式进行分离，便可创造出使用均值不等式的条件。解：4233)(2xxxxf23)121)2((21)2(21)2)(1(xxxxx，当且仅当212xx，即x＝3时，函数有最小值23，故选D.点评：通过加减常数，分离出一个常数是分式函数求值域常用的方法，这里一定要加减好“常数”，以利于问题的解决。技巧四、活用常数例4、若Ryx,且满足1164yx，求x＋y的最小值。解：由Ryx,且1164yx得)164)((yxyxyx20164yxxy36201642yxxy，当且仅当yxxy164，即x＝12且y＝24时，等号成立，所以x＋y的最小值是36.点评：通过配凑“1”并进行“1”的代换，整理后得到基本不等式的形式，减少了使用基本不等式的次数，有效地避免了等号不能同时取到的麻烦。技巧五、统一形式例5、已知Rcba,,，求)11)((cbacba的最小值。解：)11)((cbacba)11]()[(cbacbacbabac2422cbabac，所以当a＋b＝c时，)11)((cbacba的最小值为4.点评：根据分母的特点，进行结构调整为统一的形式，这样便能快速求解。含有根号的问题也要注意形式的统一（如求函数)10(12xxxy可变形为)1(22xxy等）。