周期拟小波在解积分方程中的应用

毕业设计（论文）题目：周期拟小波在求解积分方程中的应用学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学班级：17111201姓名：宋一格指导教师：王杰2本文摘要在20世纪80年代以来，出现了一个迅速发展的数学分支-----小波分析。小波分析的理论意义深刻同时应用前景广阔。Fourier分析是小波分析的基础，但是与Fourier分析不同的是，小波变换与Fourier变换、加窗Fourier变换相比，它是一个自适应局部自适应的时间及频率的变换，拥有不错的时-频定位特性及多分辨能力，于是它能有效地从信号中提取有价值的信息，从而解决Fourier变换难以解决的部分问题。在近现代数学发展中，积分方程占有重要的地位。如何解积分方程，是我们一直以来追求的问题，然而具体积分方程（组），往往很难求出它的精确解。本文所作的主要工作有：１小波分析的一些基础知识及发展前景的总结归纳；2关于周期拟小波的定义的等价刻画的深入探讨；3用周期拟小波的积分方程的快速算法求解第二类Ferdholm积分方程）；4Galerkin逼近的方法的收敛性的进一步探讨。关键词：小波分析第二类Fredholm积分方程Galerkin逼近周期拟小波3ABSTRECTSincethe1980s,thewaveletanalysishasdevelopedrapidlyasamathematicbranch.Ithasaprofoundtheoreticalsignificanceaswellasapromisingprospectofapplication.ThefoundationofthewaveletanalysisisFourieranalysis.ButdifferentfromFourieranalysis,throughthewaveletanalysispeoplecanfindthechangesofthetimetogetherwiththefrequency,andusetheinformationtosolvepartoftheproblemsthatareunabletosolvebyFourieranalysis.Inaddition,theintegralequationplaysanimportantroleinthedevelopmentofmodernmathematics.Wehavebeenpursuingthesolutiontotheintegralequationforalongtime.However,itisoftendifficulttofindouttheexactsolutionstospecificintegralequation(Group).Themainachievementsofthispaperare:1.Summarizethebasicknowledgeofthewaveletanalysisanditsdevelopmentoutlook;2.Theprecisedefinitionofperiodicquasiwavelet;3.SolvetheFredholmintegralequationwithperiodicquasiwavelet;4.FurtherresearchonGalerkinapproximationmethod.Keywords:waveletanalysisFredholmintegralequationGalerkinapproximation4目录本文摘要..............................................................2ABSTRECT..............................................................3第一章小波分析的发展历史和基本理论...................................51.１小波分析的产生与发展.............................................51.2小波分析理论与傅里叶变换.........................................51.3小波定义及必要基础知识...........................................61.4小波变换的一些知识...............................................8第二章周期拟小波理论及用其解第二类Fredholm积分方程..................92.1引言............................................................102.2小波与积分方程的研究现状........................................102.3样条和周期拟小波................................................112.4求解积分方程的拟小波算法........................................122.4.1离散化：投影到Vm...........................................122.4.2线性方程组的分裂............................................132.4.3近似多尺度策略..............................................13第3章小波理论的应用前景............................................14致谢.................................................................15参考文献.............................................................165第一章小波分析的发展历史和基本理论1.１小波分析的产生与发展小波起初最先被地球物理学家在工程中用来分析通过爆炸方法产生的由人为造成的地震数据，用于发现油田，勘探矿产等通过分析即可得到地表下岩石矿物层的“图像”。事实上，地球物理学家们是第二次发现小波，很多数学家早在几十年前就用它来解决一些抽象的数学问题，只是没有期望应用在信号处理领域。20世纪八十年代初，A.Grossman和J.Morlet首次提出了小波的概念。而后多年，小波的发展壮大，是因为其新的数学工具的作用，被诸如信号接收领域，现代流体力学等等所需要，所研究。近年来，Helmholtz方程及其数值解法吸引了很多科学家，发表了大量的论文其中相当一部分的这类积分方程数值解法讨论了Galerkin逼近，配置法和类配置法的应用及其误差分析。1.2小波分析理论与傅里叶变换小波分析理论继承与发展由Gabor变换带来的局部化思想，其可以使窗口函数自动地平移伸缩。其根源可追溯到Haar提出的Haar基，早在1910年，这个就是最简单的小波基函数。可是由于Haar基的不连续的性质，小波分析并没有得到足够的重视。时至1981，Stromberg通过对Haar给定的系数的修正并引入了Soblev空间正交基，这是规范的一组正交小波基，此举为小波分析接下来的发展打下坚实数学基础。在1988年，比利时女数学家Daubechies第一个构造出具有紧支集的光滑小波，使小波分析理论系统化，她的著作《TenLecturesonWavelet》（《小波十讲》）对小波分析的普及应用起了重要的推动作用。同短时傅里叶变换，傅里叶变换相比，小波分析是时-频的局域化分析，它使用平移伸缩变换，可以达到低频频率细分，高频时间细分，能够自动的适应视频信号分析的需求，成为继傅里叶变换之后科学方法上的一个巨大突破。小波分析尚不能完全取代傅里叶分析，由于傅里叶分析应用于长时间且更稳定的信号处理情景中更为合适。小波变换是由STFT的另一种形式推导而出，傅里叶分析对于小波分析中不可或缺的小波基的构造也起到了巨大作用。两者时间相互补充，相得益彰。但值得一提的是，小波分析比傅里叶分析在瞬时信号6检测方面有巨大优越性：（1）灵活性：小波基函数只要满足允许小波的条件就可行，并不是唯一，于是会有诸多构造小波的方法，就像：样条小波（SplineWavelet），Harr小波，Marr小波等。不同的小波为了达到最佳效果，可分别用于逼近不同特性的信号，由于他们的特性不同。然而傅里叶变换逼近效果不甚理想，因为它只可用正弦函数来逼近任意信号无选择余地。(2)快速性：从尺度函数和两尺度关系来推导出小波系数十分容易，甚至不用知道小波函数解析式亦可得出结果。然而小波分析确不会丢失细节。需要时可将频带细分，起”数学显微镜“的作用。从这一点上来看，傅里叶分析无可比拟。（3）双域性：小波分析可在时-频两域内揭示信号特征，是时频分析。在测不准关系约束下，它具有着较宽的时间窗，在频率较低时；具有较高的频率窗，在频率较高时，于是在瞬时分析方面表现出色。这个在于傅里叶分析的单域性相比优势突出。若将傅里叶分析用于分析瞬态信号，会丢失其局部信息，产生的较大的难以接受的分析误差。1.3小波定义及必要基础知识Grossman和Morlet给出了小波的第一定义：对于任意的𝜓(𝑡)𝜖𝐿2(𝑅)，如果𝜓(𝑡)的傅里叶变换能达到可容许条件:∫|𝜓(𝜔)|2𝜔+∞−∞𝑑𝜔∞则我们称ψ(t)是一个基本小波（母小波函数）。Littlewood-Paley-Stein理论修改而成小波第二定义：𝐿2(𝑅)上的函数𝜓(𝑡)是一个小波，如果它的傅里叶变换𝜓(𝜔)小波几乎处处满足条件：∑|𝜓(2−𝐽𝜔)|2+∞−∞=1由Franklin和Stromberg给出了第三定义：L2(R)上的函数ψ(t)是一个小波，如果{22ψ(2Jx−k);j,k∈Z}是L2(R)的一个正交基，此小波就满足第二定义给出的条件。7基本小波必须满足如下条件：∫|ψ(t)|2dt=1+∞−∞,即基本小波是单位化的；∫|ψ(t)|dt∞+∞−∞，即ψ(t)ϵL2(R)有界；∫ψ(t)+∞−∞dt=0，即基本小波平均值为零；在大多数的情况中，对所有mM（m和M为整数）有。这个表示基本小波必须非0且均值等于0.母小波ψ(t)缩放a倍并平移b单位得到：∫tmψ(t)+∞−∞dt)(1tbaabta）（，我们把ψa,b(t)叫做小波基函数（小波）。它由一个基本小波经过伸缩平移产生二维空间的基底，依赖参数a与b的选取。其中a，b称为尺度因子和平移因子。接下来我们讲小波函数的性质小波函数定义域具有紧支撑性（在一个很小的区域之外，函数值为0）。于是，小波函数具有速降性，是其在时-频域都有较好局部特性，以便把空间局域化。均值为0，即∫ψ(t)+∞−∞dt=0，并且ψ(t)高阶矩亦为零，即：∫𝑡𝑚𝜓(𝑡)+∞−∞𝑑𝑡，𝑘=0,1,…,𝑚−1均值为0的条件被叫做小波的容许条件（admissibilitycondition），我们可设𝑐𝜓=∫|𝜓(𝜔)|2𝜔+∞−∞𝑑𝜔∞其中，ψ(ω)=∫ψ(t)e−iωtdt+∞−∞，cψ是有限值，这意味着在c=0处ψ(ω)连续且可积，此时ψ(ω)=0才有意义，于是，𝜓(𝜔)=∫𝜓(𝑡)+∞−∞𝑑𝑡=0显而易见，“小波”即为小的波形，小指它的衰减性，某个极小区域外会迅速下降为0;”接下来说说，讨论周期小波需要的傅里叶分析的相关知识。8我们考虑周期为1的函数空间，𝐿([0,1]):={𝑓(𝑥)|𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+1),∫|𝑓(𝑥)|210+∞}.对𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)∈𝐿2[0,1]，内积〈f,g〉定义为:〈𝑓,𝑔〉:=∫𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥1