您好,欢迎访问三七文档
当前位置:首页 > 机械/制造/汽车 > 汽车理论 > 哈工大-数值分析上机实验报告
实验报告yyhhit@163.com.1.实验报告一题目:非线性方程求解摘要:非线性方程的解析解通常很难给出,因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。前言:(目的和意义)掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。数学原理:对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法:二分法和Newton法。对于二分法,其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x),其在[a,b]上连续,f(a)f(b)0,且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*,取区间中点c,若,则c恰为其根,否则根据f(a)f(c)0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个,从而得出新区间,仍称为[a,b]。重复运行计算,直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0,然后根据其迭代公式)()('1kkkkxfxfxx产生逼近解x*的迭代数列{xk},这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快,但是当x0选择不好时,可能会发散,因此初值的选取很重要。另外,若将该迭代公式改进为)()('1kkkkxfxfrxx其中r为要求的方程的根的重数,这就是改进的Newton法,当求解已知重数的方程的根时,在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。程序设计:本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式,如下functiony=f(x);y=-x*x-sin(x);写成如上形式即可,下面给出主程序。二分法源程序:clear实验报告yyhhit@163.com.2.%%%给定求解区间b=1.5;a=0;%%%误差R=1;k=0;%迭代次数初值while(R5e-6);c=(a+b)/2;iff12(a)*f12(c)0;a=c;elseb=c;endR=b-a;%求出误差k=k+1;endx=c%给出解Newton法及改进的Newton法源程序:clear%%%%输入函数f=input('请输入需要求解函数','s')%%%求解f(x)的导数df=diff(f);%%%改进常数或重根数miu=2;%%%初始值x0x0=input('inputinitialvaluex0');k=0;%迭代次数max=100;%最大迭代次数R=eval(subs(f,'x0','x'));%求解f(x0),以确定初值x0时否就是解while(abs(R)1e-8)x1=x0-miu*eval(subs(f,'x0','x'))/eval(subs(df,'x0','x'));R=x1-x0;x0=x1;k=k+1;if(eval(subs(f,'x0','x'))1e-10);实验报告yyhhit@163.com.3.breakendifkmax;%如果迭代次数大于给定值,认为迭代不收敛,重新输入初值ss=input('mayberesultiserror,chooseanewx0,y/n?','s');ifstrcmp(ss,'y')x0=input('inputinitialvaluex0');k=0;elsebreakendendendk;%给出迭代次数x=x0;%给出解结果分析和讨论:1.用二分法计算方程02sin2xx在[1,2]内的根。(610*5,下同)计算结果为x=1.40441513061523;f(x)=-3.797205105904311e-007;k=18;由f(x)知结果满足要求,但迭代次数比较多,方法收敛速度比较慢。2.用二分法计算方程013xx在[1,1.5]内的根。计算结果为x=1.32471847534180;f(x)=2.209494846194815e-006;k=17;由f(x)知结果满足要求,但迭代次数还是比较多。3.用Newton法求解下列方程a)01xxex0=0.5;计算结果为x=0.56714329040978;f(x)=2.220446049250313e-016;k=4;由f(x)知结果满足要求,而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快。实验报告yyhhit@163.com.4.b)013xxx0=1;c)0)12()1(2xxx0=0.45,x0=0.65;当x0=0.45时,计算结果为x=0.49999999999983;f(x)=-8.362754932994584e-014;k=4;由f(x)知结果满足要求,而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快,实际上该方程确实有真解x=0.5。当x0=0.65时,计算结果为x=0.50000000000000;f(x)=0;k=9;由f(x)知结果满足要求,实际上该方程确实有真解x=0.5,但迭代次数增多,实际上当取x0〉0.68时,x≈1,就变成了方程的另一个解,这说明Newton法收敛与初值很有关系,有的时候甚至可能不收敛。4.用改进的Newton法求解,有2重根,取20)12()1(2xxx0=0.55;并与3.中的c)比较结果。当x0=0.55时,程序死循环,无法计算,也就是说不收敛。改5.1时,结果收敛为x=0.50000087704286;f(x)=4.385198907621127e-007;k=16;显然这个结果不是很好,而且也不是收敛至方程的2重根上。当x0=0.85时,结果收敛为x=1.00000000000489;f(x)=2.394337647718737e-023;k=4;这次达到了预期的结果,这说明初值的选取很重要,直接关系到方法的收敛性,实际上直接用Newton法,在给定同样的条件和精度要求下,可得其迭代次数k=15,这说明改进后的Newton法法速度确实比较快。结论:对于二分法,只要能够保证在给定的区间内有根,使能够收敛的,当时收敛的速度和给定的区间有关,二且总体上来说速度比较慢。Newton法,收敛速度要比二分法快,但是最终其收敛的结果与初值的选取有关,初值不同,收敛的结果也可能不一样,也就是结果可能不时预期需要得结果。改进的Newton法求解重根问题时,如果初值不当,可能会不收敛,这一点非常重要,当然初值合适,相同情况下其速度要比Newton法快得多。实验报告yyhhit@163.com.5.实验报告二题目:Gauss列主元消去法摘要:求解线性方程组的方法很多,主要分为直接法和间接法。本实验运用直接法的Guass消去法,并采用选主元的方法对方程组进行求解。前言:(目的和意义)1.学习Gauss消去法的原理。2.了解列主元的意义。3.确定什么时候系数阵要选主元数学原理:由于一般线性方程在使用Gauss消去法求解时,从求解的过程中可以看到,若)1(kkka=0,则必须进行行交换,才能使消去过程进行下去。有的时候即使)1(kkka0,但是其绝对值非常小,由于机器舍入误差的影响,消去过程也会出现不稳定得现象,导致结果不正确。因此有必要进行列主元技术,以最大可能的消除这种现象。这一技术要寻找行r,使得)1()1(max||kikkikrkaa并将第r行和第k行的元素进行交换,以使得当前的)1(kkka的数值比0要大的多。这种列主元的消去法的主要步骤如下:1.消元过程对k=1,2,…,n-1,进行如下步骤。1)选主元,记ikkirkaamax||若||rka很小,这说明方程的系数矩阵严重病态,给出警告,提示结果可能不对。2)交换增广阵A的r,k两行的元素。kjrjaa(j=k,…,n+1)3)计算消元kkkjikijijaaaaa/(i=k+1,…,n;j=k+1,……,n+1)2.回代过程对k=n,n-1,…,1,进行如下计算实验报告yyhhit@163.com.6.)/(11,nkjkkjkjnkkaxaax至此,完成了整个方程组的求解。程序设计:本实验采用Matlab的M文件编写。Gauss消去法源程序:cleara=input('输入系数阵:\n')b=input('输入列阵b:\n')n=length(b);A=[ab]x=zeros(n,1);%%%函数主体fork=1:n-1;%%%是否进行主元选取ifabs(A(k,k))yipusilong;%事先给定的认为有必要选主元的小数yzhuyuan=1;elseyzhuyuan=0;endifyzhuyuan;%%%%选主元t=A(k,k);forr=k+1:n;ifabs(A(r,k))abs(t)p=r;elsep=k;endend%%%交换元素ifp~=k;forq=k:n+1;s=A(k,q);A(k,q)=A(p,q);A(p,q)=s;end实验报告yyhhit@163.com.7.endend%%%判断系数矩阵是否奇异或病态非常严重ifabs(A(k,k))yipusilongdisp(‘矩阵奇异,解可能不正确’)end%%%%计算消元,得三角阵forr=k+1:n;m=A(r,k)/A(k,k);forq=k:n+1;A(r,q)=A(r,q)-A(k,q)*m;endendend%%%%求解xx(n)=A(n,n+1)/A(n,n);fork=n-1:-1:1;s=0;forr=k+1:n;s=s+A(k,r)*x(r);endt=(A(k,n+1)-s)x(k)=(A(k,n+1)-s)/A(k,k)end结果分析和讨论:例:求解方程10342212357562zyx。其中为一小数,当201410510,10,10,10时,分别采用列主元和不列主元的Gauss消去法求解,并比较结果。记Emax为求出的解代入方程后的最大误差,按要求,计算结果如下:当510时,不选主元和选主元的计算结果如下,其中前一列为不选主元结果,后一列为选主元结果,下同。0.999999347683910.999999347826512.000002174219722.000002173911632.999997608594512.99999760869721实验报告yyhhit@163.com.8.Emax=9.301857062382624e-010,0此时,由于不是很小,机器误差就不是很大,由Emax可以看出不选主元的计算结果精度还可以,因此此时可以考虑不选主元以减少计算量。当1010时,不选主元和选主元的计算结果如下1.000017846308770.999999999993481.999980097208072.000000000021743.000006634247312.99999999997609Emax=2.036758973744668e-005,0此时由Emax可以看出不选主元的计算精度就不好了,误差开始增大。当1410时,不选主元和选主元的计算结果如下1.421085471520201.000000000000001.666666666666662.000000000000003.11111111111111300000000000000Emax=0.70770085900503,0此时由Emax可以看出,不选主元的结果应该可以说是不正确了,这是由机器误差引起的。当2010时,不选主元和选主元的计算结果如下NaN1NaN2NaN3Emax=NaN,0不选主元时,程序报错:Warning:Dividebyzero.。这是因为机器计算的最小精度为10-15,所以此时的2010就认为是0,故出现了错误现象。而选主元时则没有这种现象,而且由Emax可以看出选主元时的结果应该是精确解。结论:采用Gauss消去法时,如果在消元时对角线上的元素始终较大(假如大于10-5),那么本方法不需要进行列主元计算,计算结果一般就可以达到要求,否则必须进行列主元这一步,以减少机器误差带来的影响,
本文标题:哈工大-数值分析上机实验报告
链接地址:https://www.777doc.com/doc-2581778 .html