哈工大硕士课程小波题库

1.从傅立叶变换到小波变换的三个阶段：*）信号加窗；**）基加窗；***）小波基；2.Shannon小波的计算：*）Shannon采样定理；**）采样定理与尺度函数；***）写出Shannon小波的时域和频域表达式；****）写出两个不同的Shannon小波，并说明它们都是正交小波；3.描述MRA；4.分析和说明MRA构造正交小波的关键步骤；5.说明Haar小波是正交小波(直接或MRA)；6.Meyer小波的构造方法；7.构造Daubechies系列小波中的一个或两个；8.给出Malvar小波的构造方法（共有3种）；9.说明正交小波包的思想（空间再分割）；10.正交小波包的定义；11.小波包的频域表达形式；12.小波包的两种正交性；13.小波空间的小波包再分割；14.小波空间的小波包再分割；15.小波算法：分解和合成；矩阵形式；16.小波包算法：分解和合成；矩阵形式；17.MATLAB中的WaveletToolbox的使用和理解；18.Gabor变换的时-频分析特性；19.连续小波的时-频分析特性；20.二进小波的时-频分析特性；21.正交小波的时-频分析特性；22.小波包的时-频分析特性；23.Malvar小波的时-频分析特性；24.二维小波分析和图像处理；25.小波采样定理；26.小波与快速算法；27.分数傅立叶变换：*）经典分数傅立叶变换（旋转）；**）加权分数傅立叶变换（置换）；28.小波变换的数值含义分析；29.小波变换的工程含义分析；30.小波变换与局部分析和奇性分析。1．从傅立叶变换到小波变换的三个阶段*）信号加窗；**）基加窗；***）小波基；傅里叶变换的局限性和Gabor变换的提出傅里叶变换是一个强有力的数学工具，它具有重要的物理意义，即信号fx的傅里叶变换xxfFxdei表示信号的频谱。正是傅里叶变换的这种重要的物理意义，决定了傅里叶变换在信号分析和信号处理中的独特地位，特别是作为平稳信号分析的最重要的工具。但是，在实际应用中，所遇到的信号大多数并不是平稳的，因此，傅里叶变换的局限性就渐渐显现出来了：(1)傅里叶变换对信号的局部畸变没有标定和度量能力；(2)傅里叶变换不能反映信号在各个指定时刻之附近我们所希望的任何频率范围内的频谱信息。在这种情况下，D.Gabor在1946年提出了Gabor变换，它继承了Fourier变换所具有的“信号频谱”这样的物理解释，同时，它克服了Fourier变换只能反映信号的整体特征而对信号的局部特征没有任何分析能力的缺陷，大大地改进了Fourier变换的分析能力。为了提取信号的局部信息，这包括时间和频率两方面的局部信息，引入了一个时间局部化的“窗口函数”gtb，其中参数b用于平行移动窗口，以便于覆盖整个时域。对于函数ftLR2，其Gabor变换定义为xbtgtfbGxafde,iatatga4exp212是Gaussian函数，a0是固定常数，这个函数被称为“窗口函数”。2．Shannon小波的计算：*）Shannon采样定理；**）采样定理与尺度函数；***）写出Shannon小波的时域和频域表达式；****）写出两个不同的Shannon小波，并说明它们都是正交小波；Shannon小波的构造要复杂一些，但构造的过程具有一般意义，很象多分辨分析，所以，在这里详细介绍。为了叙述得容易些，直接引用信息论中的Shannon采样定理。Shannon定理设信号RLxf2，如果存在B0，使B0Fa.e.R这里F是f(x)的Fourier变换，则称f(x)是B频率截断的，这时，只要采样间隔B，信号f(x)按间隔进行采样就不会损失信息，而且，利用采样序列Znnf;可按如下公式构造原信号Znnxnxnfxf11sin(2.1.1)(1)称为Shannon插值公式。特别地，在Shannon定理中，当B=时，可得Znnxnxnfxfsin(2.1.2)取函数xxxsin，那么，(2.1.2)可改写为fxfnxnnZ(2.1.3)即对频率截断的信号f(x),(2.1.3)总是成立的。利用Fourier变换的Parseval恒等式可以验证lnxxlxnxlnRlnRde21d,i2其中函数是x的Fourier变换01这说明函数族xnnZ;(2.1.4)是空间RL2的标准正交系。同时，容易验证,0;0FxfV(2.1.5)是空间RL2的闭线性子空间，(2.1.3)说明函数族(4)构成子空间(2.1.5)的标准正交基，而空间V0的任意信号都有(3)式的唯一的表达式。我们知道，RL2中许多信号其Fourier变换在时并不为零，甚至于对任何的B0，当B时它都不为零，所以，前述的V0只是LR2中的极其有限的一部分。虽然这样，利用Shannon采样定理可逐步“逼近”全空间LR2。在这里详细说明一种具体的逼近过程。根据Shannon采样定理，对于任何整数j，当信号f(x)是j2频率截断时，即jF20那么Znjjjnxnxnfxf22sin2(2.1.6)利用Fourier变换的Parseval恒等式可得lnxlxnxxlxlxnxnxjRjRjjjj2d2d22sin22sin因此，函数族Znnxnxnxxjjjjjnj;22sin2222,(2.1.7)构成空间jjFxfV2,0;(2.1.8)的标准正交基。这样，随着j取遍所有的整数，就可以得到LR2的一系列子空间ZjVj;，它们之间有如下关系：①对任何整数jVVjj1(2.1.9)因为，对任何信号来说，它是j2频率截断时，必定是12j频率截断的；②这些子空间中，“最小的”子空间是零空间，即0ZjjV(2.1.10)这说明具有任意频率截断的信号只能是零信号；③这些子空间能很好地“逼近”空间LR2VLRjjZ2(2.1.11)利用时域和频域的等价性以及LR2中的任何信号的谱都可以用它的有限截断进行有效逼近的事实可以说明这个等式；④利用信号的时间伸缩在Fourier变换下的特点容易验证12jjVxfVxf(2.1.12)这说明，虽然相邻的两个子空间之间有①的包含关系，但它们的信号的自变量即时间之间却具有二倍的伸缩关系；显然，随着j的不断增大，子空间Vj对空间LR2的逼近越来越“好”，而Vj空间具有前面给出的标准正交基，因此，容易想到的是，让j构造空间LR2的标准正交基，从而得到正交小波。遗憾的是，这样得不到象正交小波所给出的LR2的标准正交基。回顾正交小波的定义可知，如果正交小波x已经得到，即ZZkjkxxjjkj,;22,(2.1.13)构成LR2的标准正交基，这时如下的子空间列ZkxClosespanWkjj;,(2.1.14)j取全部整数，将构成LR2的完全的正交直和分解jjWRL2(2.1.15)不仅如此，而且相邻的两个分解子空间之间除了正交之外，它们的信号的时间变量之间还具有二倍的伸缩关系，即12jjWxgWxg(2.1.16)这由构造(2.1.14)可以直接得到。在使用Vj空间对LR2进行逼近时，显然没有(2.1.15)的关系。而恰恰是这个关系保证了将每个jW的标准正交基放在一起就可以构成全空间LR2的标准正交基。因此，必须由LR2的逼近ZjVj;构造满足(2.1.13)─(2.1.16)的分割ZjWj;。具体的构造方法是，对于任何整数j，选取jW是空间jV在1jV中的如下的正交补空间12,2suppG;jjjjxgVW(2.1.17)其中记号suppG的含义是0G;RClose=suppG称为函数G的支集。这样得到的子空间序列ZjWj;满足(2.1.15)(2.1.16)。因此，为了构造满足(2.1.13)(2.1.14)的函数x，只需对一个空间比如0W进行构造就可以了。这样，问题变成：选取函数x，使函数族Zkkx;构成W0的标准正交基由函数x生成0V的标准正交基和xk,1生成1V的标准正交基的特点以及空间关系VVW100可以构造函数x。对V1的任何信号fx1，可得如下分解fxfxgx100其中00Vxf而且00Wxg：kkkxcxf2212212kkikecFZkkikZkkecFkxcxf00ZkkikZkkedGkxdxg00为了直观，图2给出了函数、2和的图形，图3是x和x的图形。图2函数、2和图3函数x和x的图形下面给出小波函数的时域和频域的解析表达式。频域形式是202102在时间域可表示为1-2-21-x1-22-10-50510-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-10-50510-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81xxxxxxsin2sin22(2.1.18)这就是一个Shannon小波。回顾一下Shannon小波的构造过程可知，满足条件(2.1.9)-(2.1.12)的单调上升的逼近空间LR2的子空间序列VjZj;在构造中起了关键作用，它把整个问题归结为两个子空间V1和V0之间的关系问题；另外值得注意的是，Fourier分析起了重要作用。事实上，在小波分析中，无论是理论分析还是数值计算，都要经常用到Fourier分析，它是一种非常有效的工具。3．描述MRA；正交多分辨分析和正交小波仿照构造Shannon小波的方法，可以得到构造正交小波的一般方法，即正交多分辨分析。2.2.1正交多分辨分析(MultiresolutionAnalysis)定义1设VjZj;是LR2上的一列闭子空间，x是LR2中的一个函数，如果它们满足如下的五个条件，即①单调性:VVjZjj1,(2.2.1)②唯一性:VjjZ0(2.2.2)③稠密性:VLRjjZ2(2.2.3)④伸缩性:fxVfxVjZjj21(2.2.4)⑤可构造性:Znnx;(2.2.5)构成子空间V0的标准正交基。那么，称x;;ZjVj是LR2上的一个正交多分辨分析，简记为MRA.由多分辨分析的定义，容易得到一个重要结果，即函数族Znnxxjjnj;222,(2.2.6)是Vj空间的标准正交基。下面将要讨论的是如何由这个正交MRA去构造LR2的一个正交小波x，使ZZkjkxjj,;222(2.2.7)构成LR2的标准正交小波基。4．分析和说明MRA构造正交小波的关键步骤；2.2.2正