三角函数高考大题汇编一

第1页共20页三角函数恒等变换【高考考情解读】1.从近几年的考情来看，对于三角恒等变换，高考命题以公式的基本运用、计算为主，其中与角所在范围、三角函数的性质、三角形等知识结合为命题的热点2.分析近年考情可知，命题模式一般为1～2题，其中，选择(填空)题多为低档题，主要考查三角函数的定义、图象与性质以及同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和差角与倍角公式等．解答题则主要考查三角函数的图像与性质、三角函数的恒等变换、解三角形、向量与三角函数综合问题、三角函数的实际应用，一般出现在前两个解答题的位置，难度中等．3.高考常设置必考1个解答题，或者再加上1个客观题，约合12-17分。【考查形式】1.三角恒等变换是高考的热点内容，在解答题中多作为一种化简工具考查，其中升幂公式、降幂公式、辅助角公式是考查的重点。2.三角函数的图像与性质是高考考查的另一个热点，侧重于对函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期性、单调性、对称性以及最值等的考查，常与其他知识交汇以解答题的形式考查，难度中等．3.正弦定理、余弦定理以及解三角形的问题是高考的必考内容．在解答题中主要考查：(1)边和角的计算；(2)面积的计算；(3)有关范围的问题．由于此内容应用性较强，解三角形的实际应用问题也常出现在高考解答题中等.1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tanα＝sinαcosαα≠kπ＋π2，k∈Z.2．六组诱导公式角函数2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα对于角“kπ2±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号．”第2页共20页3.常用角的弧度和正余弦、正切函数值0°30°45°60°90°120°135°150°180°06432233456sin012223211222320cos132221203222121tan0331333-1302．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRxx∈R且x≠π2＋kπ，k∈Z值域[－1,1][－1,1]R单调性2kπ－π2，π2＋2kπ(k∈Z)上递增；2kπ＋π2，3π2＋2kπ(k∈Z)上递减[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上递增；[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上递减kπ－π2，π2＋kπ(k∈Z)上递增最值x＝π2＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－π2＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(kπ，0)(k∈Z)π2＋kπ，0(k∈Z)kπ2，0(k∈Z)对称轴方程x＝π2＋kπ(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)周期2π2ππ第3页共20页研究三角函数图像与性质的常用方法(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后再求解．(2)对于形如y＝asinωx＋bcosωx型的三角函数，要通过引入辅助角化为y＝a2＋b2sin(ωx＋φ)cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2的形式来求．1．求三角函数的最小正周期(1)周期函数的定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．(3)首先利用两角和差正余弦公式、二倍角公式、常用角函数值、辅助角公式等化简成形如y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的形式，则最小正周期T=2。2、求三角函数的单调区间时应注意以下几点：(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的函数的单调区间，基本思路是把ωx＋φ看作是一个整体，由－π2＋2kπ≤ωx＋φ≤π2＋2kπ(k∈Z)求得函数的增区间，由π2＋2kπ≤ωx＋φ≤3π2＋2kπ(k∈Z)求得函数的减区间．(2)形如y＝Asin(－ωx＋φ)(A0，ω0)的函数，可先利用诱导公式把x的系数变为正数，得到y＝－Asin(ωx－φ)，由－π2＋2kπ≤ωx－φ≤π2＋2kπ(k∈Z)得到函数的减区间，由π2＋2kπ≤ωx－φ≤3π2＋2kπ(k∈Z)得到函数的增区间．(3)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解，否则将出现错误．(4)对于y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)等，函数的单调区间求法与y＝Asin(ωx＋φ)类似．3、求三角函数的对称轴、对称中心(1)利用两角和差正余弦公式、二倍角公式、常用角函数值、辅助角公式等化简成形如y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的函数的对称轴、对称中心，基本思路是把ωx＋φ看作是一个整体，y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的函数的对称轴的求法是，令ωx＋φ=π2＋kπ(k∈Z)，然后求出x的对称轴；对称中心令ωx＋φ=kπ(k∈Z)，然后求出x的对称中心。(2)对于y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)等，函数的单调区间求法与y＝Asin(ωx＋φ)类似．4、三角函数形如y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图像平移变换(1)确定y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A0，ω0，|φ|π)中的参数的方法：第4页共20页在由图象求解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝M－m2，k＝M＋m2，ω由周期T确定，即由2πω＝T求出，φ由图像中的特殊点确定．(2)由y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是于ωx加减多少值．（1）先平移后调频把y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象（2）先调频后平移把y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象两种平移变换的对比：第5页共20页5、求三角函数恒等变换的值域第一步：三角函数式的化简，一般化成形如y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式或y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式．第二步：根据题设条件求出y＝Asin(ωx＋φ)＋h中有关的参数．第三步：由x的取值范围确定ωx＋φ的取值范围，再确定sin(ωx＋φ)的取值范围．第四步：求出所求函数的值域(或最值)．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；(2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；(3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；(4)S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ；(6)T(α－β)：tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S2α：sin2α＝2sinαcosα；(2)C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)T2α：tan2α＝2tanα1－tan2α.3．常用的公式变形(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；(2)cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，第6页共20页sinα±cosα＝2sin（4）3．三角恒等变换的常见形式：一是化简，二是求值，三是三角恒等式的证明．(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解；(2)三角函数求值分为条件求值与非条件求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解；(3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可．注：1.两角和与差的三角函数公式的理解：(1)正弦公式概括为“正余、余正符号同”．“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号．(2)余弦公式概括为“余余、正正符号异”．(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”，变角为：对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．考点三角函数的化简与求值[方法规律总结]1．三角函数的化简求值题一般先将三角函数式化简，再求值．其中常用到两角和差正余弦公式、二倍角公式、辅助角公式等，有时会考察同角三角函数恒等式、诱导公式。2．讨论三角函数的性质(求周期、求单调区间、求最值等)的题目，一般先运用三角公式化（两角和差正余弦公式、二倍角公式、辅助角公式）简函数表达式，再依据正弦型或余弦型函数的性质进行讨论．3．三角变换的基本策略：(1)1的变换；(2)切化弦；(3)升降次；(4)引入辅助角；(5)角的变换与项的分拆.[三角函数化简技巧]1、凡是遇到sinx,cosx的二次项，都采用降次2、凡是遇到两角和形如cos(2x+π3)，都是先拆项再组合的方式处理，如(2013·湖南高考)。第7页共20页3、凡是遇到三角形的角的组合，多用两角和正余弦公式和三角形内角和公式。已知函数f(x)＝2sin(π－x)cosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间－π6，π2上的最大值和最小值．解：(1)∵f(x)＝2sin(π－x)cosx＝2sinxcosx＝sin2x，∴函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵－π6≤x≤π2，∴－π3≤2x≤π，则－32≤sin2x≤1.所以f(x)在区间－π6，π2上的最大值为1，最小值为－32.12．(2012·北京高考)已知函数f(x)＝sinx－cosxsin2xsinx.(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间．解：(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．因为f(x)＝sinx－cosxsin2xsinx＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－1＝2sin2x－π4－1，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)函数y＝sinx的单调递增区间为2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)．由2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2，x≠kπ(k∈Z)，得kπ－π8≤x≤kπ＋3π8，x≠kπ(k∈Z)．所以f(x)的单调递增区间为kπ－π8，kπ和kπ，kπ＋3π