双曲线的简单几何性质(经典)

精心整理双曲线的简单几何性质【知识点1】双曲线22ax-22by＝1的简单几何性质(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点：A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a，虚轴长为2b，且c2＝a2+b2.(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y＝±abx，或令双曲线标准方程22ax-22by＝1中的1为零即得渐近线方程.(5)离心率e＝ac＞1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2＝a2(a≠0),它的渐近线方程为y＝±x,离心率e＝2.(7)共轭双曲线：方程22ax-22by＝1与22ax-22by＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注意方程的表达形式.注意：（1）与双曲线22ax-22by＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为22ax-22by＝λ(λ≠0且λ为待定常数)（2）与椭圆22ax+22by＝1(a＞b＞0)共焦点的曲线系方程可表示为22ax-22by＝1(λ＜a2,其中b2-λ＞0时为椭圆，b2＜λ＜a2时为双曲线)精心整理（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x＝ca2的距离之比等于常数e＝ac(c＞a＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p＝cb2，与椭圆相同.1、写出双曲线方程1254922yx的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程2、已知双曲线的渐近线方程为xy43，求双曲线的离心率3、求以032yx为渐近线，且过点p（1,2）的双曲线标准方程4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。5、求与双曲线221169xy共渐近线，且经过23,3A点的双曲线的标准方及离心率．精心整理【知识点2】弦长与中点弦问题（1）．直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题：一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB，A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则弦长]4))[(1(1212212122xxxxkxxkAB]4)[()11(11212212122yyyykyyk,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想.（2）．中点弦问题：处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x1，y1)、B(x2,y2)为椭圆12222byax（ab0）上不同的两点，M(x0，y0)是AB的中点，则KABKOM=22ab；对于双曲线12222byax（a0，b0），类似可得：KABKOM=22ab；对于y2=2px（p≠0）抛物线有KAB＝212yyp；另外，也可以用韦达定理来处理.【题型一】直线与双曲线的交点问题：过平面内任一点P作直线与双曲线22221(0,0)xyabab只有一个交点，这样的直线有几条？（几何角度）6、若y=kx-1与双曲线224xy只有一个公共点,求k的范围.【变1】有两个公共点？【变2】无公共点？【变3】与右支有两个公共点？【变4】与右支只有一个公共点？7、过双曲线2212yx的右焦点F作直线l交双曲线于A,B两点,若|AB|=4,这样的直线有几条？【题型2】双曲线离心率的求法精心整理一、根据离心率的范围，估算e：即利用圆锥的离心率的范围来解题，有时可用椭圆的离心率e()01，，双曲线的离心率e1，抛物线的离心率e1来解决。8、已知双曲线C：－＝1(a0，b0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若F2H的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为________．9、已知双曲线－＝1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为________．二、直接求出a、c，求解e：已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式eca来解决。10、点P（－3，1）在椭圆xayb22221（ab0）的左准线上，过点P且方向为a()25，的光线经直线y2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为【】.A.33B.13C.22D.12三、构造a，c齐次式，解出e：根据题设条件关系式，借助abc、、之间的关系，沟通ac、的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解方程得出离心率e。11、已知FF12、是双曲线xayb22221()ab00，的两焦点，以线段FF12为边作正三角形MFF12，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是【】.精心整理A.423B.31C.312D.3112、过双曲线xayb2222＝1()ab00，的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于__________。四、寻找a与c的关系式：由于离心率是c与a的比值，故不必分别求出a、c的值，可寻找a与c的关系式，即a用c来表示即可解决。13、设椭圆的两个焦点分别为FF12、，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△FPF12为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是【】.A.22B.212C.22D.21五、统一定义法：由圆锥曲线的统一定义，知离心率e是动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题，即||MFde。14、设椭圆xaybab222210()的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是____________。【总结3】三种常见的解题方法（1）转换法——为解题化归立意15、直线l过双曲线12222byax的右焦点，斜率k=2.若l与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e的范围是【】A.e2B.1e3C.1e5D.e5（2）几何法——使数形结合带上灵性精心整理16、设P为双曲线22112yx上的一点，12FF，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PFPF，则12PFF△的面积为【】A．63B．12C.123D．24（3）设而不求——与借舟弃舟同理17、双曲线122yx的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为【】A.12xyB.22xyC.32xyD.32xy18、在双曲线1222yx上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由。◆高考题选1.（浙江卷）过双曲线22221(0,0)xyabab的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,BC．若12ABBC，则双曲线的离心率是【】A．2B．3C．5D．102.（浙江卷）已知椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P．若2APPB，则椭圆的离心率是【】A．32B．22C．13D．123.（全国卷）双曲线13622yx的渐近线与圆)0()3(222rryx相切，则r=【】.（A）3（B）2（C）3（D）64.（江西卷）设1F和2F为双曲线22221xyab(0,0ab)的两个焦点,若12FF，，(0,2)Pb是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为【】.精心整理A．32B．2C．52D．35.设双曲线)0,0(12222babyax的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为【】.Axy2Bxy2Cxy22Dxy216.(湖北卷)已知双曲线22122xy的准线过椭圆22214xyb的焦点，则直线2ykx与椭圆至多有一个交点的充要条件是【】.A.11,22KB.11,,22KC.22,22KD.22,,22K7.（四川卷文）已知双曲线)0(12222bbyx的左、右焦点分别是1F、2F，其一条渐近线方程为xy，点),3(0yP在双曲线上.则1PF·2PF＝【】.A.－12B.－2C.0D.4【问题1】过平面内任一点P作直线与双曲线22221(0,0)xyabab只有一个交点，这样的直线有几条？（几何角度）【答案】P在双曲线内，有2条（分别与渐近线平行）；P在双曲线上，有3条（与渐近线平行的有两条，切线一条）；P在双曲线外，若P在渐近线上且P为原点时，0条；若P在渐近线上且P不为原点时，2条（与另一渐近线平行的一条，切线一条）；若P不在渐近线上，0条；有4条（与渐近线平行的有两条，切线两条）；8答案精心整理解析取双曲线的渐近线y＝x，则过F2与渐近线垂直的直线方程为y＝－(x－c)，可解得点H的坐标为，则F2H的中点M的坐标为，代入双曲线方程－＝1可得－＝1，整理得c2＝2a2，即可得e＝＝.9答案－＝1解析∵双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆心为C(3,0)．又渐近线方程与圆C相切，即直线bx－ay＝0与圆C相切，∴＝2，∴5b2＝4a2.①又∵－＝1的右焦点F2(，0)为圆心C(3,0)，∴a2＋b2＝9.②由①②得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为－＝1.10解：由题意知，入射光线为y152()x3，关于y2的反射光线（对称关系）为5250xy，则P（－3，1）在左准线上，左焦点在反射光线上，有acc23550，解得ac31，知eca33，故选A。11解：如图1，MF1的中点为P，则点P的横坐标为c2。由||||PFFFc11212，焦半径公式||PFexaP1有ccaca×()2，即caac22220有ee2220解得ee1313()舍去，故选D。12解：如图2，所给的语言可转化为通径||||MNFA21，即222baca×()得baac22，caaac222故ee220解得e2或e1（舍）故填13解：由题意，得||||||PFPFFFc12122222。又由椭圆的定义，得||||PFPFa122，即2222cca，则ac()21得eca21，故选D。14解：据椭圆的第二定义及题意，画出图3，观察线段的数量关系，得ePFPKPQFR||||||||111212。故填12。15【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就考虑转换吧.其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握，精心整理但是和两条渐近线都有交点却很好掌握.其二，因为已知直线的斜率为2，所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与之相交.故有如下妙解.【解析】如图设直线l的倾斜角为α，双曲线渐近线m的倾斜角为β.显然。当β＞α时直线l与双曲线的两个交点分别在左右两支上.由2222tantan245bcaeaa.∵双曲线中1e，故取e5.选D.16【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：1,23,13abc.设；12123,2.22,2.PFrPFrPFPFar于是2221212126,4.52PFPFPFPFFF，故知△PF1F2是直角三角形，∠F1PF2=90°.∴121211641222PFFSPFPF.选B.【评注】解题中发现△PF1F2是直角三角形，是事前不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能临场发现的.将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维能力，这正是命题人的高明之处.17【解析】设弦的两端分别为1,12