哈尔滨工业大学2007级代数与几何期末考试试题

哈尔滨工业大学2007级代数与几何期末考试试题哈尔滨工业大学2007级《代数与几何》期末试题（此卷满分50分）注：本试卷中、、分别表示的秩，的转置矩阵、的伴随矩阵；表示单位矩阵.一、填空题（每小题2分，共10分）1．若矩阵满足，则的特征值只能是.2．在空间直角坐标系中方程的图形是.3．向量组的秩为4．若矩阵满足，是行满秩阵，则.5．空间直角坐标系中曲线绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为.二、选择题（每小题2分，共10分）1．设是矩阵，则方程组有唯一解的充要条件是【】（A）；（B）；（C）；（D）.2．设有维列向量组（I）;可由向量组（II）线性表示，则【】（A）若（I）线性无关，则（II）线性无关；（B）若（I）线性相关，则（II）线性相关；（C）若（I）线性无关，则；（D）若（II）线性无关，则.3．设，则必有【】（A）是正交阵；（B）是正定阵；（C）是对称阵；（D）.4．实二次型正定的充要条件是【】（A）；（B）；（C）；（D）.5．设,B都是阶实对称矩阵，则下列结论正确的是【】（A）若A与B等价，则A与B相似；（B）若A与B相似，则A与B合同；（C）若A与B合同，则A与B相似；（D）若A与B等价，则A与B合同.三、（本题5分）已知列向量组是的基，也是的基，求由基到基的过渡矩阵，并求在基下的坐标.四、（本题5分）设矩阵与相似，求.五、（本题6分）已知，其中，求.六、（本题6分）已知三阶实对称矩阵A的每行元素之和都等于2，且秩.（1）用正交变换将二次型化为标准形，并求所用的正交变换矩阵.（2）求,其中m是大于等于1的自然数.七、（本题5分）设是阶方阵，，试证：若存在自然数使，则.八、（本题3分）设实矩阵，，是的列向量组.实向量是齐次线性方程组的基础解系.试证：向量组线性无关.参考答案一、填空题1、2.2、双叶双曲面.3、4、.5、.二、选择题1、A.2、C.3、D.4、B.5、B.三、解：由知由基到基的过渡矩阵为在基下的坐标为四、解：由与相似，知是的特征值，所以，.进而，由此得解得.五、解：.由，得，整理得.由知可逆，且，故.六、解：（1）因的每行元素之和都等于2，所以是的属于特征值2的特征向量.因，所以是A特征值,对应于有两个线性无关的特征向量.设是A的属于特征值的特征向量.因实对称知X与正交，即.解得是A的属于特征值的特征向量，规范正交化得.将的属于特征值2的特征向量规范正交化得.令，则P为正交矩阵，在正交变换下，.（2），七、证：因，所以存在可逆矩阵使其中.于是故从而.八、证法1：设（1）因是齐次线性方程组的基础解系，用在左边乘（1）式两边得，进而，故，再由知由（1）知，由是基础解系，从而线性无关，于是，故线性无关.证法2：设（1）因是齐次线性方程组的基础解系，所以于是.由知线性无关，故的证明同上.证法3：设（1）得关于的齐次线性方程组系数行列式的证明同上.