半导体物理学简明教程答案陈志明编第二章半导体中的载流子及其输运性质课后习题答案

半导体物理学简明教程97第二章半导体中的载流子及其输运性质1、对于导带底不在布里渊区中心，且电子等能面为旋转椭球面的各向异性问题，证明每个旋转椭球内所包含的动能小于（E－EC）的状态数Z由式（2-20）给出。证明：设导带底能量为CE，具有类似结构的半导体在导带底附近的电子等能面为旋转椭球面，即ltCmkmkkEkE23222122)(与椭球标准方程2221122221kkkabc相比较，可知其电子等能面的三个半轴a、b、c分别为212])(2[ctEEmba212])(2[clEEmc于是，K空间能量为E的等能面所包围的体积即可表示为232122)()8(3434CtlEEmmabcV因为k空间的量子态密度是V/(43)，所以动能小于（E－EC）的状态数（球体内的状态数）就是2/332/122)()8(31CtlEEmmVZ2、利用式（2-26）证明当价带顶由轻、重空穴带简并而成时，其态密度由式（2-25）给出。证明：当价带顶由轻、重空穴带简并而成时，其态密度分别由各自的有效质量mp轻和mp重表示。价带顶附近的状态密度应为这两个能带的状态密度之和。即：2/132/321)()2(2)(EEmVEgVpV轻2/132/322)()2(2)(EEmVEgVpV重第2章98价带顶附近的状态密度)(EgV1)(EgV2)(EgV即：)(EgV2/132/32)()2(2EEmVVp轻+2/132/32)()2(2EEmVVp重]2)2[()(223232212）（重轻pPVmmEEV只不过要将其中的有效质量mp*理解为3/22/32/3*)(重轻pppmmm则可得：])2)2[()2(2/32323*重轻（pppmmm带入上面式子可得：2/132/3*2)()2(2)(EEmVEgVpV3、完成本章从式（2-42）到（2-43）的推演，证明非简并半导体的空穴密度由式（2-43）决定。解：非简并半导体的价带中空穴浓度p0为dEEgEfpVBEEVV)())(1('0带入玻尔兹曼分布函数和状态密度函数可得dEEETKEEmpVEEFpVV21'0323*20)()exp()2(21令,)()(0TKEExV则2121021)()(xTKEEVTdxkEEdV0)(将积分下限的E'V（价带底）改为-∞，计算可得)exp()2(202320*0TKEETkmpFVp令3230*2320*)2(2)2(2hTkmTkmNppV则得半导体物理学简明教程99)exp(00TkEENPVFV4、当E－EF=1.5kT、4kT、10kT时，分别用费米分布函数和玻耳兹曼分布函数计算电子占据这些能级的几率，并分析计算结果说明了什么问题。解：已知费米分布函数kTEEFeEf11)(；玻耳兹曼分布函数kTEEBFef当E－EF=1.5kT时：1824.011)(5.1eEf，223.05.1efB；当E－EF=4kT时：01799.011)(4eEf，0183.04efB；当E－EF=10kT时：5101054.411)(eEf，510105.4efB；计算结果表明，两种统计方法在E－EF＜2kT时误差较大，反之误差较小；E－EF高于kT的倍数越大，两种统计方法的误差越小。5、对非简并半导体证明其热平衡电子和空穴密度也可用本征载流子密度ni和本征费米能级Ei表示为)exp(0kTEEnniFi；)exp(0kTEEnpFii证明：因为导带中的电子密度为：)exp(0kTEENnFCC本证载流子浓度为)exp(kTEENniCCi结合以上两个公式可得：)exp()exp(0kTEEEENkTEENniCiFCFCC)exp()exp()exp(kTEEnkTEEkTEENiFiiFiCC因为价带中的空穴密度为：)exp(0kTEENpFVV本证载流子浓度为)exp(kTEENniVVi第2章100同理可得：)exp(0kTEEnpFii6、已知6H-SiC中氮和铝的电离能分别为0.1eV和0.2eV，求其300K下电离度能达到90%的掺杂浓度上限。解：查表2-1可得，室温下6H-SiC的Nc=8.9×1019cm-3，Nv=2.5×1019cm-3。当在6H-SiC中参入氮元素时：未电离施主占施主杂质数的百分比为)exp()2(0TkENNDDcD将此公式变形并带入数据计算可得：31619010523.9)026.01.0exp()2109.81.0()exp()2(cmTkENDNDcD当在6H-SiC中参入铝元素时：未电离受主占受主杂质数的百分比为)exp()4(0TkENNDAVA将此公式变形并带入数据计算可得：3141901085.2)026.02.0exp()4105.21.0()exp()4(cmTkENDNDVA7、计算施主浓度分别为1014cm-3、1016cm-3、1018cm-3的硅在室温下的费米能级（假定杂质全部电离）。根据计算结果核对全电离假设是否对每一种情况都成立。核对时，取施主能级位于导带底下0.05eV处。解：因为假定假定杂质全部电离，故可知0CFEEkTCDnNeN，则可将费米能级相对于导带底的位置表示为lnDFCCNEEkTN将室温下Si的导带底有效态密度NC=2.81019cm-3和相应的ND代入上式，即可得各种掺杂浓度下的费米能级位置，即ND=1014cm-3时：eVEECF326.0108.210ln026.01914半导体物理学简明教程101ND=1016cm-3时：1619100.026ln0.206eV2.810FCEEND=1018cm-3时：1819100.026ln0.087eV2.810FCEE为验证杂质全部电离的假定是否都成立，须利用以上求得的费米能级位置求出各种掺杂浓度下的杂质电离度112DDFEEDkTnNe为此先求出各种掺杂浓度下费米能级相对于杂质能级的位置()()DFCFCDCFDEEEEEEEEE于是知ND=1014cm-3时：eVEEFD276.005.0326.0ND=1016cm-3时：0.2060.050.156eVDFEEND=1018cm-3时：0.0870.050.037eVDFEE相应的电离度即为ND=1016cm-3时：026.0276.0211eNnDD0.99995ND=1016cm-3时：0.1560.02610.99512DDnNeND=1018cm-3时：0.0370.02610.6712DDnNe验证结果表明，室温下ND=1014cm-3时的电离度达到99.995%，ND=1016cm-3时的电离度达到99.5%，这两种情况都可以近似认为杂质全电离；ND=1019cm-3的电离度只有67%这种情况下的电离度都很小，不能视为全电离。8、试计算掺磷的硅和锗在室温下成为弱简并半导体时的杂质浓度。解：设发生弱简并时2eVCFEEkT=0.052第2章102已知磷在Si中的电离能ED=0.044eV，硅室温下的NC=2.81019cm-3磷在Ge中的电离能ED=0.0126eV，锗室温下的NC=1.11019cm-3对只含一种施主杂质的n型半导体，按参考书中式（3-112）计算简并是的杂质浓度。将弱简并条件02CFEEkT带入该式，得对Si:0.0441921830.02612122.810(12)/2(2)7.810cm;/2(2)1.29310DNeeFF式中，对Ge:0.001261921830.026121.110(12)/2(2)2.310cmDNeeF9、利用上题结果，计算室温下掺磷的弱简并硅和锗的电子密度。解：已知电离施主的浓度2121212FDFCCDDDDDDEEEEEEEkTkTkTkTNNNneeeee对于硅：0.04420.0260.40512DDDNnNee，1818300.4057.8103.1610cmDnn对于锗：0.012620.0260.69412DDDNnNee，1818300.6942.3101.610cmDnn10、求轻掺杂Si中电子在104V/cm电场作用下的平均自由时间和平均自由程。解：查图2-20可知，对于Si中电子，电场强度为104V/cm时，平均漂移速度为8.5×106cm/s根据迁移率公式可知sVcmEvd/85010105.8246根据电导迁移率公式cncmq，其中026.0mmc，sVcmc/8502代入数据可以求得平均自由时间为：sqmccn13193110258.1106.110108.926.0085.0进一步可以求得平均自由程为cmvLndn613610069.110258.1105.811、室温下，硅中载流子的迁移率随掺杂浓度N（ND或NA）变化的规律可用下列经验公式半导体物理学简明教程103来表示)/(110NN式中的4个拟合参数对电子和空穴作为多数载流子或少数载流子的取值不同，如下表所示：作为多数载流子时的数据作为少数载流子时的数据0(cm2/Vs)1(cm2/Vs)N(cm-3)0(cm2/Vs)1(cm2/Vs)N(cm-3)电子6512658.5×10160.7223211808×10160.9空穴484471.3×10160.761303708×10171.25本教程图2-13中硅的两条曲线即是用此表中的多数载流子数据按此式绘制出来的。试用Origin函数图形软件仿照图2-13的格式计算并重绘这两条曲线，同时计算并绘制少数载流子的两条曲线于同一图中，对结果作适当的对比分析。解：根据数据绘图如下结果说明多子更容易受到散射影响，少子迁移率要大于多子迁移率。另外电子迁移率要比空穴迁移率大。12、现有施主浓度为5×1015cm-3的Si，欲用其制造电阻R=10kΩ的p型电阻器，这种电阻器在T=300K、外加5V电压时的电流密度J=50A/cm2，请问如何对原材料进行杂质补偿？解：根据欧姆定律mARVI5.0105外加5V电压时的电流密度J=50A/cm2，所以截面积2531050105.0cmJIA设E=100V/cm，则电导率为。则cmEVL21051005，1)(5.0cmRAL)(DAppNNqpq其中p是总掺杂浓度（NA+ND）的参数应折中考虑，查表计算：当NA=1.25×1016cm-3时，NA+ND=1.75×1016cm-3，此时，sVcmp/41025.0492.0)(DApNNq计算可得NA=1.25×1016cm-3第2章10413、试证明当n≠p且热平衡电子密度n0=ni(p/n)1/2时，材料的电导率最小，并求300K时Si和GaAs的最小电导率值，分别与其本征电导率相比较。解：⑴由电导率的公式)(pnpnq，又因为nnpi2由以上两个公式可以得到)(2pinnnnq令0dnd，可得022pinnn因此npinn又0)(223233222pinpinnndnd故当npinn时，取极小值。这时pninp所以最小电导率为pnippnnnpiqnqn2])()[(2121min因