高中物理带电粒子在有界磁场中运动的临界问题、极值问题和多解问题

第4节带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题和多解问题相切越长1．刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界________.2．当速度v一定时，弧长(或弦长)越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间________.一、带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题3．当速率v变化时，圆周角大的，运动时间_____.长1．解决此类问题关键是找准临界点，审题应抓住题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语作为突破口，挖掘隐含条件，分析可能的情况，如有必要则画出几个不同半径相应的轨迹图，从而分析出临界条件．寻找临界点的两种有效方法：规律方法(2)轨迹圆的旋转：当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时，所有不同方向入射的粒子的轨迹圆是一样大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋转(作图)中，也容易发现“临界点”．(1)轨迹圆的缩放：当粒子的入射方向不变而速度大小可变时，粒子做圆周运动的轨迹圆心一定在入射点所受洛伦兹力所表示的射线上，但位置(半径R)不确定，用圆规作出一系列大小不同的轨迹圆，从圆的动态变化中即可发现“临界点”．2．要重视分析时的尺规作图，规范而准确的作图可突出几何关系，使抽象的物理问题更形象、直观．3.找临界点的方法，常用结论如下:（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.（2）当速度v一定时,弧长（或弦长）越长,圆周角越大,则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长.（3）当速率v变化时,圆周角大的,运动时间越长.一、带电粒子在平行直线边界磁场中的运动①速度较小时，作半圆运动后从原边界飞出；②速度增加为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨迹与另一边界相切；③速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出SvBPQ圆心在磁场原边界上vSPQ①速度较小时，作圆周运动通过射入点；②速度增加为某临界值时，粒子作圆周运动其轨迹与另一边界相切；③速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出圆心在过入射点跟边界垂直的直线上vSQ圆心在过入射点跟跟速度方向垂直的直线上量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态P①速度较小时，作圆弧运动后从原边界飞出；②速度增加为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨迹与另一边界相切；③速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出二、带电粒子在矩形边界磁场中的运动ovB圆心在磁场原边界上①速度较小时粒子作半圆运动后从原边界飞出；②速度在某一范围内时从侧面边界飞出；③速度较大时粒子作部分圆周运动从对面边界飞出。临界状态（轨迹与边界相切）①速度较小时粒子做部分圆周运动后从原边界飞出；②速度在某一范围内从上侧面边界飞；③速度较大时粒子做部分圆周运动从右侧面边界飞出；④速度更大时粒子做部分圆周运动从下侧面边界飞出。dabcθvB圆心在过入射点跟速度方向垂直的直线上临界状态（轨迹与边界相切）(1)若使电子源发射的电子能到达挡板，则发射速度最小为多大？(2)如果电子源S发射电子的速度为第(1)问中的2倍，则挡扳上被电子击中的区域范围有多大？例1如图所示，S为一个电子源，它可以在纸面内360°范围内发射速率相同的质量为m、电量为e的电子，MN是一块足够大的挡板，与S的距离OS＝L，挡板在靠近电子源一侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，问：【解析】(1)电子射出方向不同，其在匀强磁场中的轨迹不同，每个电子的圆轨道的圆心都位于以射出点S为圆心、半径r＝mvBe的圆弧上，如图所示．欲使电子有可能击中挡板，电子的轨道半径至少为L2，如图所示．由Bev＝mv2r和r＝L2可解得v＝BeL2m即电子源的发射速度至少为BeL2m.(2)当发射速度v′＝2v＝BeLm时，电子圆周运动的轨道半径为r′＝mv′Be＝L.此时，从电子发射源发出的电子能击中挡板的最左位置A和最右位置C，如图所示，虚线圆是一系列轨迹圆的圆心．由几何关系知OA＝AS2－OS2AS＝2r′OS＝r′OC＝r′解得OA＝3L，OC＝L故被电子打中的区域长度为AC＝OA＋OC＝(1＋3)L.由几何关系知OA＝AS2－OS2AS＝2r′OS＝r′OC＝r′解得OA＝3L，OC＝L故被电子打中的区域长度为AC＝OA＋OC＝(1＋3)L.【答案】(1)BeL2m(2)(1＋3)L题后反思(1)审题应首先抓住“速率相等”⇒即轨迹圆半径相等，其次“各个方向发射”⇒轨迹不同．然后作出一系列轨迹圆．(2)注意粒子在磁场中总沿顺时针方向做圆周运动，所以粒子打在左边和右边最远点的情形不同．(1)若要粒子从ab边上射出，则入射速度v0的范围是多少？(2)粒子在磁场中运动的最长时间为多少？【跟踪训练1】如图所示，一足够长的矩形区域abcd内有磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从ad边的中点O处，以垂直磁场且跟ad边成30°角的速度方向射入一带电粒子．已知粒子质量为m，带电荷量为q，ad边长为l，不计粒子重力．求：【解析】①带电粒子在O点所受洛伦兹力方向垂直于v0，即图中OO1方向，所有粒子的轨道圆心均应在直线OO1上．②因矩形区域abcd足够长，所以当轨道与cd相切时，其半径应是所有从ab上射出的粒子中最大的，对应粒子的速度也最大．设上述切点为M，则该粒子轨道的圆心必在过M且与cd垂直的直线上．③设轨道与cd相切的粒子，其轨道半径为R1，由几何关系可得R1sin30°＋l2＝R1解得R1＝l，由公式qvB＝mv2/R，得该轨道上粒子速度为v01＝qBlm.④对于从ab射出的、速度最小的粒子，其轨道应与ab相切，设切点为N，圆心为O2，半径为R2，则R2＋R2cos60°＝12l，解得R2＝13l，由qvB＝mv2/R可得v02＝qBl3m.(1)综合③④结论知，所有从ab上射出的粒子的入射速度v0的范围应为qBl3mv0qBlm.(2)带电粒子在磁场中运动的时间t＝θω＝θvR＝θRqBRm＝θmqB，由此可知，t取决于粒子在磁场中转过的角度，从上面的分析可以推知，当粒子轨道半径R≤R2时，粒子均从ad边上射出，转过的角度均为5π3，这些粒子在磁场中运动的时间最长，tmax＝5πm3qB.【答案】(1)qBl3mv0qBlm(2)5πm3qB二、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的多解问题规律方法1．带电粒子电性不确定形成多解带电粒子若带正电，其轨迹为a；若带负电，其轨迹为b.2．磁场方向不确定形成多解如图所示，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如果B垂直于纸面向里，其轨迹为a；如果B垂直于纸面向外，其轨迹为b.带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，如图所示，于是形成了多解．3．临界状态不唯一形成多解(1)带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解．如图所示．4．运动的往复性形成多解(2)带电粒子在磁场中运动时，由于磁场方向突然反向等，使得运动具有往复性而形成多解．例2如图所示，在x0与x0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面向里，且B1B2.一个带负电荷的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1与B2的比值应满足什么条件？【解析】粒子在整个运动过程中的速度大小恒为v，交替地在xy平面内B1与B2磁场区域中做匀速圆周运动，轨道都是半个圆周．设粒子的质量和电荷量的大小分别为m和q，圆周运动的半径分别为r1和r2，有r1＝mvqB1①r2＝mvqB2②现分析粒子运动的轨迹，如图所示，在xy平面内，粒子先沿半径为r1的半圆C1运动至y轴上离O点距离为2r1的A点，接着沿半径为r2的半圆D1运动至y轴上O1点，OO1的距离d＝2(r2－r1)③此后，粒子每经历一次“回旋”(即从y轴出发沿半径为r1的半圆和半径为r2的半圆回到原点下方的y轴)，粒子的y坐标就减小d，设粒子经过n次回旋后与y轴交于On点，若OOn即nd满足nd＝2r1④则粒子再经过半圆Cn＋1就能够经过原点，式中n＝1,2,3……为回旋次数．由③④式解得r1r2＝nn＋1(n＝1,2,3……)⑤联立①②⑤式可得B1、B2应满足的条件B2B1＝nn＋1(n＝1,2,3……)【答案】B2B1＝nn＋1(n＝1,2,3……)例3如图所示，在NOQ范围内有垂直于纸面向里的匀强磁场I，在MOQ范围内有垂直于纸面向外的匀强磁场Ⅱ，M、O、N在一条直线上，∠MOQ=60°，这两个区域磁场的磁感应强度大小均为B。离子源中的离子带电荷量为+q，质量为m，通过小孔O1进入两板间电压为U的加速电场区域（可认为初速度为零），离子经电场加速后由小孔O2射出，再从O点进入磁场区域I，此时速度方向沿纸面垂直于磁场边界MN，不计离子的重力。求：（1）若加速电场两板间电压U=U0，求离子进入磁场后做圆周运动的半径R0；（2）在OQ上有一点P，P点到O点距离为L，若离子能通过P点，求加速电压U和从O点到P点的运动时间。解：（1）离子在电场中加速时离子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力解得（2）离子进入磁场时的运动轨迹如图所示由几何关系可知OP'=P'P=R0要保证离子通过P点，则I=nR0解得其中n=1，2，3，…，其中n=1，2，3，…【跟踪训练2】如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，有一束正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场．已知正离子的质量为m，带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力．求：(1)磁感应强度B0的大小；(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值．诱思启导先分析正离子在交变磁场中的运动性质，明确物理过程，然后判断出要使正离子垂直于N板射出磁场，必须让正离子从O孔垂直于M板射入磁场，且在磁场中运动的时间正好是磁场变化周期的整数倍．【解析】设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向(1)正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力：B0qv0＝mv20r①做匀速圆周运动的周期T0＝2πrv0②联立①②两式得磁感应强度B0＝2πmqT0.(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，v0的方向应如图所示，两板之间正离子只运动一个周期即T0时，有r＝d4.当两板之间正离子运动n个周期即nT0时，有r＝d4n(n＝1,2,3……)．联立求解，得正离子的速度的可能值为v0＝B0qrm＝πd2nT0(n＝1,2,3……)．【答案】(1)2πmqT0(2)v0＝πd2nT0(n＝1,2,3……)小结1.带电粒子进入有界磁场,运动轨迹为一段弧线.2.当同源粒子垂直进入磁场的运动轨迹3.注意圆周运动中的有关对称规律:(2)进入单边磁场,入射速度、出射速度与边界的夹角相等;(1)在圆形磁场区域内,沿径向射入的粒子,必沿径向射出.