华中科大量子力学考试题及解答2

1华中一．基本概念题1．玻尔在当初建立原子光谱理论时作了哪些基本假设；该理论在解决实际问题时遇到困难，原因何在；德布罗意又是如何解决这些问题的。答：（1）经典轨道加定态条件：原子系统只存在一系列不连续的能量状态,处于这些状态的原子其相应的电子只能在一定的轨道上绕核作圆周运动,但不辐射能量,这些状态称为原子系统的定态,相应的能量分别取不连续的量值(称为能级):E1,E2,E3,……(E1E2E3……)氢原子：电子圆周运动的能量：nnennnrerevmVTE0222421421电子圆周运动的半径：),4,3,2,1(241220nnRhcern(2)频率条件:在某一轨道上运动的电子,由于某种原因而发生跃迁时,原子就从一定态过渡到另一定态,同时吸收或发出光子(单色光波),光子能量(光波频率)由两个定态的能量差来决定:mnnmEEh(设EnEmEn→Em为辐射Em→En为吸收)22nRhcEnRH=1.09677576×107/m(3)角动量量子化：作圆周运动的电子其角动量是量子化的：,3,2,1n,nvrmLne该假设遇到的困难是为什么电子只能在一定的轨道上绕核作圆周运动,并且不辐射能量,这与经典电磁理论矛盾。德布罗意提出电子既有粒子性又有波动性，从而解决了电子只能在一定轨道上运动的问题。但对为什么不辐射仍然没有给出合理的解释。2．简要说明波函数和它所描写的粒子之间的关系。答：微观粒子的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。微观粒子的状态波函数用算符Fˆ的本征函数展开（FFnnnˆ,ˆ）：dccnnn，则在态中测量粒子的力学量F得到结果为n的几率是2||nc，得到结果在d范围内的几率是dc2||。3．以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。答：在量子力学中，能量E用算符Hˆ表示，当体系处于某个能量En的本征态n时，算符Hˆ对态n的作用是得到这一本征值，即：nnnEHˆ；当体系处于一般态时，算符Hˆ对态n的作用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率），即：3nnnnnnnEccHˆHˆ4．试问电子是什么？电子是一个物理实在，它具有波动和粒子二重性质，可以说电子既是粒子又是波，是波和粒子的混合体。但在不同的物理现象中，往往只有其中一方面的性质被突现出来，如：在阴极射线和衰变等现象中，电子的粒子性占主导地位；而在晶体衍射、电子的双缝干涉等现象中，电子的波动性占主导地位。5．非相对论量子力学的理论体系建立在一些基本假设的基础上，试举出二个以上这样的基本假设，并简述之。答：(1)微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。（2）力学量用厄密算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示式中将动量p换为算符i得出。表示力学量的算符组成完全系的本征函数。(3)将体系的状态波函数用算符Fˆ的本征函数展开dccnnn（其中FFnnnˆ,ˆ）：则在态中测量力学量得到结果为n的几率是2||nc，得到结果在d范围内的几率是dc2||。(4)体系的状态波函数满足薛定谔方程：Htiˆ，其中Hˆ是体系的哈密顿算符。(5)在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态(全同性原理)。以上选三个作为答案4二．试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。解：让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。三．设质量为的粒子在如图所示的一维无限深势阱中运动求定态Schrodinger方程的解。解：略四．见华师02T3五．（1）通过解本征值方程，试证明自旋在任何方向的投影只能有向上和向下两个可能的取向。（2）在自旋向上的状态中，测量SZ有哪些可能的值？这些可能的值各以多大的几率出现？SZ的平均值是多少？解：参见华师04T3和华中00T2-3（1）自旋角动量在空间任意方向)cos,cos,(cos的投影为：cosˆcosˆcosˆˆzyxnSSSS在zSˆ表象，nSˆ的矩阵元为cos10012cos0ii02cos01102Sˆncoscosicoscosicoscos2其相应的久期方程为：0cos2)cosi(cos2)cosi(cos2cos2即：0)cos(cos4cos4222222)1coscoscos(222利用042252,所以nSˆ的本征值为2。(2)设对应于2nS的本征函数的矩阵表示为baSn)(21，则ba2bacoscosicoscosicoscos2bcosb)cosi(cosaacos1cosicosb由归一化条件，得22**baba)b,a(12121,1acos1cosicosa2221acos122)cos1(2cosicos2cos1)S(n212121n)cos1(2cosicos2cos110)cos1(2cosicos012cos1)S(21可见，zSˆ的可能值为22相应的几率为2cos12cos1)cos1(2coscos22而cos22cos122cos12Sz