四年级奥数第四讲_等差数列含答案

第四讲等差数列一、知识点：1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。3、常用公式等差数列的总和=（首项+末项）项数2项数=（末项-首项）公差+1末项=首项+公差（项数-1）首项=末项-公差（项数-1）公差=（末项-首项）（项数-1）等差数列（奇数个数）的总和=中间项项数二、典例剖析：例（1）在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？分析：（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式：项数=（末项-首项）公差+1,便可求出。（2）根据公式：末项=首项+公差（项数-1）解：项数=（201-3）3+1=67末项=3+3（201-1）=603答：共有67个数，第201个数是603练一练：在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？508是这个数列的第几项？答案:第48项是286，508是第85项例（2）全部三位数的和是多少？分析：：所有的三位数就是从100~999共900个数，观察100、101、102、……、998、999这一数列，发现这是一个公差为1的等差数列。要求和可以利用等差数列求和公式来解答。解：（100+999）9002=10999002=494550答：全部三位数的和是494550。练一练：求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。答案:1000例（3）求自然数中被10除余1的所有两位数的和。分析一：在两位数中，被10除余1最小的是11，最大的是91。从题意可知，本题是求等差数列11、21、31、……、91的和。它的项数是9，我们可以根据求和公式来计算。解一：11+21+31+……+91=（11+91）92=459分析二：根据求和公式得出等差数列11、21、31、……91的和是459，我们可以求得这9个数的平均数是4599=51，而51恰好是这个等差数列的第五项，即中间的一项(称作中项)，由此我们又可得到S=中项n，但只能是项数是奇数时，等差数列有中项，才能用中项公式计算。解二：11+21+31+……+91=519=459答：和是459。练一练：求不超过500的所有被11整除的自然数的和。答案:11385例（4）求下列方阵中所有各数的和：1、2、3、4、……49、50；2、3、4、5、……50、51；3、4、5、6、……51、52；……49、50、51、52、……97、98；50、51、52、53、……98、99。分析一：这个方阵的每一横行（或竖行）都各是一个等差数列，可先分别求出每一横行（或竖行）数列之和，再求出这个方阵的和。解一：每一横行数列之和：第一行：（1+50）502=1275第二行：（2+51）502=1325第三行：（3+51）502=1375……第四十九行：（49+98）502=3675第五十行：（50+99）502=3725方阵所有数之和：1275+1325+1375+……+3675+3725=（1275+3725）502=125000分析二：观察每一横行可以看出，从第二行起，每一行和都比前一行多50，所以可以先将第一行的和乘以50，再加上各行比第一行多出的数，这样也能求得这个方阵所有数的和。解二：（1+50）50250=6375050（1+2+3+……+49）=50【（1+49）492】=6125063750+61250=125000答：这个方阵的和是125000练一练：求下列方阵中100个数的和。0、1、2、3、……8、9；1、2、3、4、……9、10；2、3、4、5、……10、11；……9、10、11、12、……17、18。答案:900例（5）班级男生进行扳手腕比赛，每个参赛男生都要和其他参赛选手扳一次。若一共扳了105次，那么共有多少男生参加了这项比赛?分析：设共有几个选手参加比赛，分别是A1、A2、A3A1、……An。从A1开始按顺序分析比赛场次：A1必须和A2、A3、A4、……，An逐一比赛1场，共计（n-1）场；A2已和A1赛过，他只需要和A3、A4、A5、……、An各赛1场，共计（n-2）场A3已和A1A2赛过、他只需要和A4、A5、A6、……、An、各赛1场，共计（n-3）场。以此类推，最后An-1只能和An赛1场解：Sn=（n-1）+（n-2）+……+2+1=21（1+n-1）（n-1）=21n(n-1)（场）根据题意，Sn=105(场)，则n（n-1）=210，因为n是正整数，通过试算法，可知1514=210.则n=15,即共有15个男生参加了比赛。答：有15个男生参加了比赛。练一练：从1到50这50个连续自然数中，取两数相加，使其和大于50，有多少种不同的取法？答案：625种例（6）若干人围成16圈，一圈套一圈，从外向内圈人数依次少6人，如果共有912人，问最外圈有多少人？最内圈有多少人？分析：从已知条件912人围成16圈，一圈套一圈，从外到内各圈依次减少6人，也就是告诉我们这个等差数列的和是912，项数是16，公差是6。题目要求的是等差数列末项an-a1=d(n-1)=6(16-1)=90(人)解：an+a1=S2n=912216=114（人）外圈人数=（90+114）2=102（人）内圈人数=（114-90）2=12（人）答：最外圈有102人，最内圈有12人。练一练：若干人围成8圈，一圈套一圈，从外向内各圈人数依次少4人，如果共有304人，最外圈有几人？答案：52人模拟测试（4）一、填空题（每小题5分）1、有一串数，已知第一个数是6，而后面的每一个数都比它前面的数大4，这串数中第2003个数是。2、等差数列0、3、6、9、12、……、45是这个数列的第项。从2开始的连续100个偶数的和是。3、一个剧院共有25排座位，从第一排起，以后每排都比前一排多2个座位，第25排有70个座位，这个剧院共有个座位。4、所有5、除以4余1的三位数的和是。6、时钟在每个整点敲该钟点数，每半点钟敲一下，一昼夜这个时钟一共敲下。7、一个五层书架共放了600本书，已知下面一层都比上面一层多10本书。最上面一层放本书，最下面一层放本书。8、从200到500之间能被7整除的各数之和是。9、在1949、1950、1951、……1987、1988、这40个自然数中，所有偶数之和比所有奇数之和多。10、有一列数：1、2002、2001、1、2000、1999、1、……、从第三个数开始，每个数都是它前面两个数中大数减去小数的差，从第一个数开始到第2002个数为止这2002个数的和是。二、简答题(每小题10分)1、有10只金子，54个乒乓球，能不能把54个乒乓球放进盒子中去，使各盒子的乒乓球数不相等？2、小明家住在一条胡同里，胡同里的门牌号从1号开始摸着排下去。小明将全胡同的门牌号数进行口算求和，结果误把1看成10，得到错误的结果为114，那么实际上全胡同有多少家？3、有一堆粗细均匀的圆木，堆成如下图的形状，最上面一层有7根园木，每面下层增加1根，最下面一层有95根，问：这堆圆木一共有多少根？4、有一个六边形点阵，如下图，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点……这个六边形点阵共100层，问，这个点阵共有多少个点？5、X+Y+Z=1993有多少组正整数解？模拟测试（4）解答一、填空题1、80146+4（2003-1）=6+42002=80142、16（45-0）3+1=453+1=163、10100末项=2+（100+1）2=200和=（2+200）1002=101004.1150a1=70-(25-1)2=22(个)总座位数：（22+70）252=1150（个）5、123525所有除以4余1的三位数为：101、105、109、……997。项数：（997-101）4+1=225和：（101+997）2252=1235256、180（1+12）12+124=1312+24=180（下）7、100、140中间一层本数：6005=120（本）最上面一层：12-102=100（本）最下面一层：120+12=140（本）8、15050构成等差数列为：203、210、……、497。项数=（497-203）7+1=43数列和=（203+497）432=150509、20（1950+1988）202-（1949+1987）202=3938202-3936202=39380-39360=2010、1782225在原数列中，以数1为标志，把三个数看成一组，20023=667……1，其中2001个数分为667组，有667个1，因为余下的一个数恰为1，则2002个数中有668个1，其余的数是2002则669有1334个数。6681+（2002+669）13342=668+1781557=1782225二、简答题1、解：答：题中要求办不到。2、解：误把1看成10，错误结果比正确结果多10-1=9，那么正确结果为114-9=105，即全胡同门牌号组成的数列求和为105设全胡同有n家，此数列为1、2、3……、n。数列求和：（1+n）n2=105（1+n）n=210将210分解：210=2357=1415则n为14答：全胡同实际有14家。3、解：7+95=102（根）95-7+1=89（层）102892=4539（根）答：这堆圆木一共有4539根。4、解：第100层有点：6+（99-1）6=6+986=699=594（个）点阵只有点：1+（6+594）992=1+600992=29701（个）答：这个点阵共有点29701个。5、解：当X=1991时，则Y+Z=2，Y=Z=1有1组当X=1990时，则Y+Z=3，zzy1或12zy有2组当X=1989时，则Y+Z=4.31ZY或22zy或13zy有3组……当X=2时，则Y+Z=1991有1990组当X=1时，则Y+Z=1992有1991组X不能等于1992或1993原方程中不同的整数解，组数为：1+2+3+4+……+1991=199119922=1983036答：共有1983036组正整数解。