华工线性系统作业

目录目录...........................................................................................................................................1第三章干扰不存在时的控制器设计.....................................................................................23.3LQR方法设计控制器.................................................................................................23.3.1LQR的一般原理..............................................................................................................23.3.2结合系统进行分析.........................................................................................................23.3.3仿真及结果分析..............................................................................................................33.3.4LQR控制器控制效果分析..............................................................................................73.4𝐇∞(状态反馈加内模原理)方法设计控制器...........................................................83.4.1原理简介及应用.............................................................................................................83.4.2控制器设计.....................................................................................................................93.4.3仿真及结果分析...........................................................................................................113.4.4𝐇∞控制器控制效果分析............................................................................................14第四章干扰存在时的控制器设计.......................................................................................164.3LQR方法设计控制器...............................................................................................164.3.1系统分析.......................................................................................................................164.3.2控制器设计...................................................................................................................164.3.3matlab仿真及干扰影响分析.......................................................................................184.3.4对LQR控制器的控制效果分析..................................................................................224.4𝐇∞方法设计控制器...............................................................................................224.4.1系统分析.......................................................................................................................224.4.2控制器设计...................................................................................................................234.4.3matlab仿真及干扰影响分析.......................................................................................254.4.4对𝐇∞控制器的控制效果分析....................................................................................29附录.........................................................................................................................................311.无干扰的情况下LQR控制系统仿真程序............................................................322.无干扰的情况下𝐇∞控制系统仿真程序..............................................................333.有干扰的情况下LQR控制系统仿真程序............................................................344.有干扰的情况下𝐇∞控制系统仿真程序..............................................................35第三章干扰不存在时的控制器设计3.3LQR方法设计控制器3.3.1LQR的一般原理LQR是一种基于给定性能指标的参数寻优化的方法，该控制器的设计基于状态空间模型，并通过极小值原理，着眼于状态反馈增益阵的求解，最终获得使性能指标最小的状态反馈控制律。通过以往对它的研究可以发现，LQR方法可以很好地满足控制要求，且能够使得过渡过程比较平稳，不会有太大的超调出现。尽管推导过程有些复杂，但LQR控制器在设计时并不困难，从前面的论述可以看出，设计该控制器的关键在于加权矩阵的Q和R选取，一般可以根据所期望的性能指标以及状态、输入在指标函数中的权重来选取这两个加权阵，进而求得相应的状态反馈增益阵K，用于反馈控制器。如果没有特殊要求，Q取对角阵，R一般取1。这种方法在实现起来也非常方便，Matlab工具箱提供了丰富的工具函数，正确调用命令lqr()即可求得所需要的参数。针对本题的对象，首先求出其状态空间模型，然后在Matlab中根据LQR方法编写相关程序设计出控制器，最后作出伯德图及输出响应曲线来考查控制效果。3.3.2结合系统进行分析这里根据该方法，不难作出系统的结构框图如图3.1所示，图中的状态空间模型就是根据题给对象转换得来的。图3.1LQR控制器反馈系统结构图图中r为给定信号，u为控制信号，Y为输出信号，A、B、C分别是状态矩阵、输入矩阵、输出矩阵，在∆1=∆2=0时，它们分别为𝐴=[0100010−30000−60]、𝐵=[001]、𝐶=[2000000]3.1K为通过LQR算法算得的反馈增益阵，下面编程具体求K。3.3.3仿真及结果分析根据LQR方法编写Matlab程序，进行仿真分析，其中lqr()函数的调用格式如下[𝑲,𝑷,𝑬]=𝒍𝒒𝒓(𝑨,𝑩,𝑸,𝑹)式中，K是返回的状态反馈矩阵，P为黎卡提代数方程（3-9）的解，E闭环系统零极点。这里方便起见，先令Q=diag{[1111]}，R=1。在仿真时，先使用∆1=∆2=0时的状态空间对象，逐步调整Q、R，根据其输出响应曲线，求出使系统动态响应性能最优的参数。然后，在要求范围内改变∆1、∆2的值，考查参数不确定性对闭环系统的影响。（1）∆1=∆2=0的情况此时易知系统的模型是确定的，可以直接输入相关参数编程仿真，需要注意的是Q、R的选取。当Q=diag{[111]}，R=1时，系统的输出响应如图3.2所示。图3.2未改进的LQR控制输出从图3.2可以看出，此时系统输出响应的鲁棒性很好，但是响应过程太慢，且存在较大的稳态误差，所以需要进一步调整Q,R值来是动态响应性能更优。经过反复调整Q,R的取值可以发现，当Q取值比较小、R取值比较大时，系统的响应时间很长，而当逐渐调大Q值，或者调小R值时，系统的响应时间迅速变小，到达稳态所需时间也变小，而且系统的过渡过程没有超调，一直比较平稳。但系统的稳态误差一直比较大，很难满足要求。所以为了减小稳态误差，这里在反馈环中引入一个比例环节Kp，其比例系数可以根据跟踪节约输入的需要进行调整。修改后的结构图如图3.3所示。图3.3修改后的LQR反馈系统结构图在权衡系统的响应时间以及控制器可实现性之后选取了如下的一组参数𝑸=𝒅𝒊𝒂𝒈{[11106]}，𝑹=10−4用这组参数可得到状态反馈阵为K=[60,400,105]另外取Kp=5可得相应的输出响应曲线如图3.4所示。图3.4LQR反馈控制下系统输出响应对比图为了便于比较控制效果，图3.4还画出了不加LQR反馈，只有单位反馈时系统的输出曲线图。与单位反馈相比，LQR响应时间更短，过渡过程更加稳定。（2）∆1≠0∆2=0的情况直观来看，∆1的改变会改变系统的模型参数，但它只会影响传递函数分母的系数，不会影响分子系数。由传递函数形式可知，该闭环系统不存在零点，所以分子系数决定着系统的输出增益，因此可以推知系统的输出响应稳态值应该不会受到∆1改变的影响。下面进行仿真来验证此推测。此时分别令∆1=0.2∆1=−0.2，代入模型进行仿真，所得输出曲线与∆1=∆2=0时的曲线对比可得图3.5。图3.5∆1=0.2及−0.2时对系统输出的影响由上图可见，三种情况下的输出响应曲线完全重合，所以对于LQR方法设计的控制器，不确定性∆1对系统的输出响应没有影响。（3）∆1=0∆2≠0的情况从状态空间方程形式分析，∆2的不确定会导致本题中能控标准型状态空间A发生改变，因此可以推测，此时系统的输出响应会发生改变。分别令∆2=0