量子输运格林函数方法

第二章量子输运的非平衡格林函数方法本章中主要介绍处理量子输运问题中经常用到的非平衡格林函数方法。首先我们给出了非平衡格林函数的定义及其满足的Lengreth定理，并且简单介绍了求解非平衡格林函数的运动方程方法。然后利用非平衡格林函数方法我们推导出了电流、热流和发热量的一般表达式。2.1非平衡格林函数2.1.1非平衡格林函数的定义非平衡格林函数是一种处理非平衡问题的有效方法，它是由平衡态格林函数推广得到的。首先我们先简单介绍下平衡态理论。平衡态理论中所用到的时间是定义在实时间轴上的。若系统的哈密顿量可以写为0'HHH=+，其中'H是相互作用部分，可以看成是微扰。在薛定谔绘景中0H的基态0是可以严格求解得到的。引入S矩阵的定义(){}'expˆIiHtdtST+∞−∞−=⎡⎤⎣⎦∫，在相互作用绘景中t时刻的态就可以表示为(,0)0ItSt=。那么在0时刻哈密顿H对应的基态0就可以表示成基态0的时间演化，即00(0,)S=−∞。平衡态理论中的一个重要假设是：当时间趋于+∞时，系统仍然回到初始时刻的基态，而且只相差一个相位，用公式可以表示为[1]00(,)iLSe∞=+∞−∞=（2.1）图2.1ContourC在非平衡状态下，系统并不能保证其基态0在经过(),S+∞−∞作用后不变。人们通过将时间轴扩展到复平面上（如图2.1所示），引入了时间回路的概念。这样系统就可以从0t=−∞出发沿着t轴演化到'1t=+∞（上支），然后从'1t=+∞沿着t轴演化回到0t=−∞（下支）。这样系统通过时间演化又回到了最初的基态，与平衡态很类似，所以在这种情形下，在平衡态格林函数基础上发展起来的各种理论仍然可以方便的使用。此时，S算符的形式变为(,)(,)CSSS=−∞+∞+∞−∞。引入回路C上的非平衡格林函数[2]：†1211(,)[()()]CGGttiTctctGGGλλ+++−−+−−⎛⎞=−≡⎜⎟⎝⎠          （2.2） 其中CT是回路C上的复编时算符，它的作用是将回路C上的时间较早的算符排在右边。()+−表示的是时间回路C的上（下）支。式（2.1）中12(,)Gtt++和12(,)Gtt−−为时序格林函数，定义为：†1212†1212(,)[()()](,)[()()]PPttiTctctttiTctctGGλλλλ++−−=−=− 其中PT和PT分别是时序算符和反时序算符，其定义为： ()()[]()()()()()()1212122121,pTAtBtttAtBtttBtAtθθ≡−±−()()[]()()()()()()1221121221,pTAtBtttAtBtttBtAtθθ≡−±− ()+−分别对应玻色子和费米子。式（2.1）中12(,)Gtt+−和12(,)Gtt−+分别是小于和大于格林函数： †1221(,)()()GGttictctλλ+−≡= †1212(,)()()GGttictctλλ−+≡= 常用到的实时格林函数还有推迟格林函数rG和超前格林函数aG †121212(,)()[(),()]rGttittctctλλθ±=−− †121212(,)()[(),()]aGttittctctλλθ±=− 以上定义的六个格林函数之间满足以下的几个关系式raGGGG−=−，GGGG++−−+=+ ()()()()1221,,raarGttGtt+⎡⎤=⎣⎦，()()()()1221,,GttGtt+⎡⎤=−⎣⎦ （2.3）可以看出其中只有三个格林函数是独立的。 2.1.2Lengreth定理由上节得知，非平衡态格林函数是定义在复编时回路上的，但是我们通常用到的物理可观察量是用实时的格林函数表示的。下面我们来介绍连接复编时格林函数和实时格林函数的Lengreth定理（解析延拓规则）。如果复编时的格林函数12(,)Ctt在积分回路C（图2.2）上满足：1212(,)(,)(,)CCttdAtBtτττ=∫（2.4）图2.2回路C其中1t在时间轴的上支，而2t在时间轴的下支。可以看出12(,)Ctt在实时间轴上是小于格林函数。我们将积分回路C变形为如图2.3中所示的路径：图2.3图2.2中的回路C变形为两个时间回路其中回路1C在时间轴上支，回路2C在时间轴的下支。则式子（2.4）变为1212121212(,)(,)(,)[(,)(,)(,)(,)]CCCCttdtAttBttdtAttBttdtAttBtt+−+−==+∫∫∫（2.5）其中第一项展开为111121212(,)(,)(,)(,)(,)(,)CttdtAttBttdtAttBttdtAttBtt+−−∞+−+−−∞=+∫∫∫11211212()(,)(,)()(,)(,)(,)(,)rdtttAttBttttAttBttdtAttBttθθ+∞++−++−−∞+∞+−−∞=−−−=∫∫（2.6）同理，（2.5）中第二项变为t1 t2 t C1 C2Ct1 t2t 21212(,)(,)(,)(,)aCdtAttBttdtAttBtt+∞+−+−−∞=∫∫（2.7）将（2.6）式和（2.7）式代入（2.5）式，那么在实时间轴上有：121212(,)[(,)(,)(,)(,)]raCttdtAttBttAttBtt∞−∞=+∫（2.8）类似地我们可以得到：121212(,)[(,)(,)(,)(,)]raCttdtAttBttAttBtt∞−∞=+∫1212(,)[(,)(,)]rrrCttdtAttBtt∞−∞=∫1212(,)[(,)(,)]aaaCttdtAttBtt∞−∞=∫（2.9）同理可以得到常用到的Lengreth公式：如果111(,)(,)(,)CABττττττ=，则有1212211221(,)(,)(,)(,)(,)rraCttAttBttAttBtt=+，121221(,)(,)(,)CttAttBtt=。当cDABC=∫，则有rrraaatDABCABCABC⎡⎤=++⎣⎦∫，rrrrtDABC=∫。 如果复编时的格林函数满足Dyson方程：121122'''(,)(,)(,)(,)(,)CGttgttdtdtgttttGtt=+Σ∫（2.10）由Lengreth定理就可以得到实时小于格林函数的Keldysh方程：11()()rraraGGgggGG−−=+Σ（2.11）具体推导过程见附录A。2.1.3求解格林函数的运动方程方法由上节内容可知，如果我们有了推迟格林函数的具体形式，超前格林函数就可以通过对推迟格林函数求共轭得到，然后带入到Keldysh方程中，小于和大于格林函数就可求得。通常我们用运动方程方法来求解推迟格林函数。将推迟格林函数()()()(){}''',,rijijGttittatatθ+=−−对时间进行求导，并且利用海森堡运动方程可得：()()()(){}{}()()(){}()()()[](){}''''''',,,,,ijijijrijittatatatatatHtatiGttittttittθδθ+++−−∂∂=∂∂=−−−（2.12）铁磁电极 超导电极 量子点 引入符号()()()()()(){}'''',,ijijrrijatatatatGttittθ++==−−:()()()()(){}()()[](){}'''',,rijijijratatatatatHtatitttδ+++∂=−+∂（2.13）对上式作傅里叶变换，则在ω空间中推迟格林函数的运动方程为 (){}[]0,,rrijijijiaaaaaHaωωω+++++=+        （2.14）如果[],iiaHa=，方程（2.14）自然闭合，推迟格林函数可直接得出。而通常方程（2.18）中右端的第二项[],rijaHaω+是新的高阶格林函数，对其求运动方程仍可能出现更高阶的格林函数。所以为了方程闭合，我们一般要对高阶格林函数做截断近似。截断近似后我们就得到了一组耦合的方程组，通过求解方程组就能得到推迟格林函数的具体形式。通常在相对高温（大于近藤温度）时，我们采取Hartree-Fock平均场截断近似[2]；在低温（小于近藤温度）时，一般采用Y.Meir等人提出的截断近似[3,4]。2.2电流的普遍表达式 当无相互作用的中间区域与两端理想电极相连时，利用传统的Landauer-Büttiker公式，电流可表示成透射几率()Tε和费米分布函数fα（LRα=,）的积分形式，即(2/)()[()()]LRIehTffd=−∫εεεε，则线性电导为：2(2/)()(/)GehTfdεεε=−∂∂∫[5]。在1992与1994年，利用非平衡格林函数方法，Meir和Wingreen推导出了相互作用区域与理想电极相连时的电流公式[6,7]。随后人们沿着Meir的思路和步骤对电流公式进行了推广。孙庆丰等人给出了量子点多电极（可以是正常电极也可以是超导电极）体系的电流表达式[8]。最近，李保文等人将非平衡格林函数推广到铁磁电极-正常金属-超导电极构成的异质结中，并且得到了Landauer-Büttiker型的电流普遍公式[9]。利用他们得出的这个公式，我们可以用同一套理论来研究自旋相关的电流和Andreev反射电流等输运问题。下面我们以量子点为例来推导电流普遍公式。图2.4模型示意图：与左端铁磁电极和右端超导电极相连的单量子点。考虑一个与左端铁磁电极和右端超导电极相连的量子点系统（图2.4所示），总哈密顿量为FSDTHHHHH=+++。铁磁电极的哈密顿为†FkkkkHffσσσσ=∑ε。超导电极用标准的BCS哈密顿量描述，†††[]SpppppppppHssssssσσσσ∗↑−↓↑−↓=+Δ+Δ∑∑ε，其中序参量Δ是超导电极的能隙。††()CnnnintnnnHccH{c}{c}σσσσσσ=+,∑ε为中间量子点的哈密顿量，其中intH表示中间量子点内的各种相互作用，可以含有电子-声子相互作用、电子间的库仑相互作用等等。†††[][LLRTknknknnkpnpnknpnHTfcTcfTscσσσσσσσσσσσ∗;;;;;=++∑∑†]RpnnpTcsσσσ∗;+是量子点与电极的耦合项。()ff+，()ss+和()cc+分别是铁磁电极、超导电极和量子点的湮灭（产生）算符。LRT/是量子点与左右电极的隧穿矩阵元。从隧穿耦合项中可以看出我们已经假定右端超导电极化学势与费米能相同。如果不做这个假定的话，超导电极与点的耦合系数前会出现一个相因子，即††[]ssiiRRpnpnpnnppnTescTecsμτμτσσσσσσσ−∗;;;+∑。 从左端铁磁电极流进中间量子点的电流可以从左电极上电子的粒子数算符,()()()LkkkttNfftσσσ+=∑的时间演化来得到：()[]LLLdNtieJeNHdt=−=,††(()()()())LLknknknnkknieTftctTctftσσσσσσσ∗;;,=−∑13†ˆˆ()iLkniikniikneRett=,;;=−,∑TG（2.15） 这里我们已经引入了广义Nambu表象（自旋相关的粒子-空穴空间）中的格林函数，其形式为[9]：ˆˆ()()XYXiYjijtttt//′′,=,∑GG†()()jiijitt′=±/⊗∑YX†()()ijtt′/XYˆˆ()()raraXYXiYjijtttt//′′,=,∑GG†()[()()ijijittttθ′′=±−⊗∑XY∓∓†()()jitt′⊗YX（2.16） 其中四分量自旋相关的粒子-空穴的基矢为：†††iiiiiXXXX⎛⎞⎜⎟↑↓↓↑⎝⎠=X（2.17） 其中iXσ是费米子算符，例如kfσ,ksσ,ncσ。在广义Nambu表象中隧穿矩阵为：000000ˆˆ000000LRknpnLRknpnLRknpnLRknpnLRknpnTTTTTTTT⎛⎞⎜⎟;↑;↑⎜⎟⎜⎟∗∗⎜⎟;↓;↓⎜⎟⎜⎟⎜⎟;↓;↓⎜⎟⎜⎟∗∗⎜⎟⎜⎟;↑;↑⎝⎠/−//