单调性复习,综合各种难度习题

第一讲单调性一．知识清单1.单调性的定义：当函数f(x)的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性（单调增加或单调减少）例1.1“a＝1”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数”的()．(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析函数f(x)＝|x－a|在(－∞，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，所以，“a＝1”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件，答案为A．2.单调性的性质：如果一个函数在某个区间D上具有单调性，则我们将D称作函数的一个单调区间，其必有以下性质：（1）D⊆Q（Q是函数的定义域）（例2.1）（2）区间D上，对于函数f(x)，任取x1，x2∈D且x1x2，都有f(x1)f(x2)。（3）该函数在E⊆D上与D上具有相同的单调性。（例2.2）注意：①函数单调性是针对某一个区间而言的，是一个局部性质。因此，说单调性时最好指明区间。②有些函数在整个定义域内是单调的；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，在部分区间上是减函数；有些函数是非单调函数，如常数函数。③函数的单调性是函数在一个单调区间上的“整体”性质，具有任意性，不能用特殊值代替。比如不能因为函数f（x）=2x+3x+5在x=-1时函数值小于x=2的就认为函数f（x）在[-1,2]上具有单调性。④尤其要注意的是如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开。（例2.1）例2.1求函数f(x)=11xx的单调区间（总结：在研究函数单调区间时一定要养成定义域优先的习惯）例2.2已知函数f(x)＝x＋𝑎𝑥(a0)在(√𝑎，＋∞)上单调递增，若函数f(x)在(a－2，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．解析：由问题的条件可得a－2≥√𝑎，即(√𝑎＋1)(√𝑎－2)≥0，所以，a的取值范围是a≥4．3.单调性的运算性质（1）f(x)与f(x)+a具有相同单调性；（2）f(x)与g(x)=a·f(x)在a0时有相同单调性，当a0时，具有相反单调性；（3）当f(x)、g(x)都是增（减）函数时，若f(x)·g(x)都恒大于零，则同为增（减）函数；若两者都恒小于零，则都是减（增）函数；（4）两个增函数之和仍为增函数；增函数减去减函数为增函数；两个减函数之和仍为减函数；减函数减去增函数为减函数；函数值在区间内同号时，增（减）函数的倒数为减（增）函数。（例3.1）例3.1函数f(x)＝√𝑥－1𝑥的单调递增区间是．解析函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，而在(0，＋∞)上函数f1(x)＝√𝑥和f2(x)＝－1𝑥都单调递增，所以，函数f(x)＝√𝑥－1𝑥的单调递增区间是(0，＋∞)．（5）复合函数（例3.2）：在函数y=f[g(x)]的定义域内，令u=g(x)，则y=f[g(x)]的单调性由u=g(x)与y=f(x)的单调性共同确定，方法如下u=g(x)y=f(x)y=f[g(x)]增函数增函数增函数减函数减函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数因此，复合函数的单调性可用“同增异减”来判定，但要考虑某些特殊函数的定义域。注：y=f(x)+g(x)不属于复合函数，因此不在此方法的适用范围内。例3.2设f(x)＝{𝑥2，|𝑥|≥1，𝑥，|𝑥|1，g(x)是二次函数，若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则g(x)的值域是()．(A)(－∞，－1]∪[1，＋∞)(B)(－∞，－1]∪[0，＋∞)(C)[0，＋∞)(D)[1，＋∞)解析函数f(x)在(－∞，－1]上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，且x≤－1时，f(x)≥1，x－1时，f(x)－1，而二次函数的值域或为(－∞，a]，或为[b，＋∞)，所以，要使得函数f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则g(x)的值域必须是[0，＋∞)，答案为C．四．单调性的应用1.求参数的范围（例4.1）（1）单调性的定义法：设单调区间内x1x2，由于f（x1）-f(x2)0或f(x1)-f(x2)0恒成立，求参数的取值范围。（2）利用具体函数本身具有的特征。例如，二次函数单调区间被对称轴一分为二，根据对称轴相对于所给单调区间的位置求参数的取值范围。例4.1若函数f(x)＝𝑎𝑥＋1𝑥＋2在(－2，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是．解析f(x)＝𝑎𝑥＋2𝑎－2𝑎＋1𝑥＋2，即f(x)＝a＋1－2𝑎𝑥＋2在(－2，＋∞)上单调递增，则1－2a0，所以，a的取值范围是a122.比较大小（1）利用单调性可以比较函数值的大小，即增函数中自变量越大函数值越大，减函数中自变量越大函数值反而越小。（2）利用函数单调性比较大小应该注意把自变量放在同一单调区间内。（例4.2）例4.2（原创）设函数f(x)对x∈R都满足f(x)=f(x+2)，且当x属于[0,2）时，f（x）=2x，则f(-1/2),f(9),f(3/2)三者大小如何？3.解不等式（脱壳法）：（例4.3）由单调性的性质——若函数y=f（x）在区间D上是增(减)函数，对任意x1，x2∈D，且f（x1）f（x2），则有x1x2（x1x2）——脱去f这层外壳，从而解出具体变量的不等式。例4.3已知f(x)是定义在,0上的减函数，且f(1m)f(m3)，则m的取值范围是_____4.求最值（1）性质法：（例4.4）若函数在闭区间[a,b]上是减函数，则f(x)[a,b]上的最大值是f(a)，最小值是f(b)；反之，若函数在闭区间[a,b]上是增函数，则f(x)[a,b]上的最小值是f(a)，最大值是f(b)；（2）函数图像：对于图像容易画出的函数可以通过做出函数图像，在图像上找到函数的单调区间来确定最大值和最小值，需要注意分段函数的最值一定是各段函数的最大值或最小值。例4.4二．方法点击1.单调性的判断方法：1.定义法：（例5.1）利用定义证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤：①取值：任取（注意取值的任意性，不可以两个特殊值替换）x1、x2∈D，且x1x2（x1、x2必须属于同一个单调区间）;②作差：f（x1）-f（x2）；③变形：通过因式分解、配方、通分、有理化等方法，向有利于判断差值的符号的方向变形；④定号：判断差f（x1）-f（x2）的正负号；⑤下结论：指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性例5.1设函数f(x)＝x＋𝑎𝑥(a0)．求证：函数f(x)在(√𝑎，＋∞)上单调递增解析(1)设√𝑎x1x2，则f(x1)－f(x2)＝(𝑥1＋𝑎𝑥1)－(𝑥2＋𝑎𝑥2)＝(𝑥1－𝑥2)(𝑥1𝑥2－𝑎)𝑥1𝑥2，于是，f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以，函数f(x)在(√𝑎，＋∞)上单调递增．2.图像法：（例5.2）（1）函数解析式中含有绝对值，可采用分界点讨论去绝对值的方法，将函数转化为分段函数，再画出函数的图像，根据图像观察函数的单调性；例5.2函数f(x)＝|x＋2|＋|x－1|＋|x|的单调递增区间是．（2）应用数形结合的思想，先画出函数的图像，再通过观察图像，有图像的上升和下降趋势，确定单调区间。（例5.3）例5.3若函数f(x)＝(a－x)|x－1|在(－∞，＋∞)上是减函数，求a的值．已知函数f(x)＝𝑥𝑥2－4画出函数f(x)的大致图象，猜测函数f(x)的单调性，并予以证明；2.单调性判断时常见的等价变形：（1）对任意x1x2，都有f（x1）f（x2），或1212fxfxxx0，或者[f（x1）-f（x2）](x1-x2)0f（x）是增函数；（2）同理，对任意x1x2，都有f（x1）f（x2），或1212fxfxxx0，或者[f（x1）-f（x2）](x1-x2)0f（x）是增函数（例6.1）例6.1定义在R上的函数f（x），对任意x1，x2属于R（x1≠x2），有(2)(1)21fxfxxx0,则（）A．f(3)f(2)f(1)B.f(1)f(2)f(3)C.f(2)f(1)f(3)D.f(3)f(1)f(2)三．课后巩固1.下列函数中，在(1，＋∞)上为增函数的是()．(A)y＝(x－2)2(B)y＝11－𝑥(C)y＝1𝑥＋1(D)y＝√𝑥2－2𝑥－82.函数f(x)＝x－1𝑥的图象是()．解析函数f(x)＝x－1𝑥是奇函数，并由函数y＝x和函数y＝－1𝑥都是(0，＋∞)上的增函数得函数f(x)＝x－1𝑥在(0，＋∞)上单调递增，所以，函数f(x)＝x－1𝑥的图象是C．3.已知y＝f(x)是定义在R上的单调函数，实数x1x2，λ≠－1，α＝𝑥1＋𝜆𝑥21＋𝜆，β＝𝑥2＋𝜆𝑥11＋𝜆，若|f(x1)－f(x2)||f(α)－f(β)|，则()．(A)λ0(B)λ＝0(C)0λ1(D)λ≥14．试说明函数f(x)＝(𝑥＋1)2𝑥2＋1的单调递增区间（定义法）5.（改编）指出函数f(x)＝x2＋3𝑥在自变量x从负无穷大取到正无穷大的过程中单调性变化，不用算出具体单调区间（用图像法画出图像和分析即可）6.若函数f(x)＝ax＋b的定义域和值域都是[1，2]，求a和b的值．解析若a0，则函数f(x)＝ax＋b在(－∞，＋∞)上单调递增，{𝑎＋𝑏＝1，2𝑎＋𝑏＝2，解得{𝑎＝1，𝑏＝0．若a0，则函数f(x)＝ax＋b在(－∞，＋∞)上单调递减，{𝑎＋𝑏＝2”2𝑎＋𝑏＝1”解得{𝑎＝－1，𝑏＝3．7.已知二次函数f(x)＝a1x2＋b1x＋c1和g(x)＝a2x2＋b2x＋c2使得f(x)＋g(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，则它们的系数应满足的关系是．解析只有当函数f(x)＋g(x)＝(a1＋a2)x2＋(b1＋b2)x＋c1＋c2为一次函数时，才能使得f(x)＋g(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，所以，函数f(x)和g(x)的系数应满足a1＋a2＝0且b1＋b2≠0．8.已知定义域是R的函数f(x)当x0时f(x)1，且对任意实数x，y有f(x＋y)＝f(x)f(y)，f(2)＝19，f(0)≠0．(1)求证：函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；(2)解不等式：f(x)f(3x－1)127．解析(1)由已知得f(0＋0)＝f(0)f(0)，而f(0)≠0，得f(0)＝1，f[x＋(－x)]＝f(x)f(－x)，则f(－x)f(x)＝1，于是，对任意的x∈R都有f(x)≠0，又f(𝑥2＋𝑥2)＝[𝑓(𝑥2)]2≥0，所以f(x)0．设x1x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)－f(x1)f(x2－x1)，由x2－x10得f(x2－x1)1，则f(x1)f(x1)f(x2－x1)，即f(x1)－f(x2)0，所以，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减．(2)由f(1＋1)＝f(1)f(1)得f(2)＝[f(1)]2，又f(x)0，所以f(1)＝13，f(1＋2)＝f(1)f(2)＝127，则不等式f(x)f(3x－1)127即为f(x＋3x－1)f(3)，于是，x＋3x－13，所以，x1．四．自我挑选1.已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数，且f（xy）=f(x)-f(y),f(2)=1，求解不等式：f(x)=f(13x)22.如果定义域为实数集D的函数f(x)同时满足以下两个条件：①f(x)在D上或是单调递增函数，或是单调递减函数；②存在区间[a，b]⊆D，使得f(x)在[a，b]上的值域也是[a，b]，这样的函数我们称为“闭函数”．(1)定义域为R的函数y＝－x3是否为“闭函数”？请说明理由；(2)若函数f(x)＝𝑥22－x＋1(x∈[