南京航空航天大学07-09年有限元试卷

NANJINGUNIVERSITYOFAERONAUTICSANDASTRONAUTICSFINITEELEMENTMETHODINMECHANICALENGINEERINGFinalExamination:June21,2007Time:10:00-12:00*******************************************************************************1.Pleasewrite5specialtermsinfiniteelementmethod.(5points)五个专用术语，可以写很多，单元，节点，网格，形函数，刚度矩阵，质量矩阵等等Element,node,grid,shapefunction,stiffnessmatrix,massmatrix,strain-displacementmatrix2.Whatarebasicstepsinthefiniteelementmethod?(10points)这个书上有。4-3页6条。（lecture2（3）18页）1)Selectelementtypesanddiscretize选择单元对物体离散2)Selectadisplacementfunction构造位移函数3)Definethestress/displacementandstress/strainrelationships确定应力-位移和应力-应变关系4)Derivetheelementstiffnessmatrixandequations推导单元刚度矩阵和方程5)Assembletheelementequationstoobtaintheglobalortotalequationsandintroduceboundarycondition组装单元方程形成总方程，并引入边界条件6)Solveforthegeneralizeddisplacements求解位移3.Whataretheprinciplesofderivationofelementstiffnessequation?这个在2-4页，虚功原理（lecture1第31页）Ifthesolutionoftheproblem,thedeflection,isperturbedbyaddingavirtualdeformationcompatiblewiththesupportconditions,thentheworkdonebytheinternalstressesalongthevirtualstrainsequalstheexternalworkdonebytheappliedforcesalongthevirtualdeformations.(如果位移的解受到满足边界支撑条件虚位移的扰动，则内应力在虚应变上做的内功（虚应变能）等于外力在虚位移上做的功)Derivethestiffnessequationofbarelement(Fig.1).(20points)这个也在2-4页（lecture2第24-27页）ijfi,uifj,ujA,ELL—length;A—cross-sectionalarea;E—elasticmodulus;ui,uj—nodaldisplacements;fi,fj—nodalforcesFig.1*******/,011()()()()()()1/1/jijijiijjieijeeijijeeTTeTvvxLuxuuNNuxuNuNuuuNNNuududNuBudxdxdddBNNNNLLdxddxuNuBuUdVuB＋=1-，＝=＝=====＝虚应变与虚节点位移的关系********0()11111111eeTTeveTeiijjTeTeevvLeEBudVuBEBdVuWfufuufUWfBEBdVukBEBdVLEAkELLLL虚功原理4.Whatarepropertiesofshapefunctions?FortheelementshowninFig.2,determineN1andN2intermsofand.(20points)Note:LagrangianInterpolation:Fig.2(,,),(,,)0(,,)0ijmiijmiijmfNfatnodeifatothernodes（插值法见lecture5（1）20-23页）这个给孔哥讲过，找直线。（找直线法，具体见lecture5（1）24、25页）设1(1)(1)(1)NA然后将1点坐标（-1,-1）代入11N，可得，1(1)(1)(1)4N设22(1)(1)NA然后将2点坐标（0，-1）代入21N，可得，221(1)(1)2N形函数的性质1.满足：1,,1,2...0ijjijNxyijnij即在节点i处为1，在其他节点处为0。2.1,1nijjNxy，形函数和为1nimmmimnixxxxxL0)(1234-1+1-1+1087653.形函数与位移函数是相同阶次的多项式。2009年题6找直线法：对于N3，在节点3处为1，在其他节点处等于零，567一条直线，方程为10187一条直线，方程为1024一条直线，方程为10这三条直线包含了除3以外其他所有节点，可令,111f这样对其他节点均有,0f，为保证在节点3处31N，只需令333(,)(,)fNf，而333333(,)1114f，从而333(,)1111(,)4fNf，在节点1处，将坐标（-1，-1）代入，3111104N在中心点（0,0）处，31111144NN8同理。5.[K]eisthestiffnessmatrixof3-nodedtriangularelementinwhichthereisonedegreeoffreedomatanode.DefinetheelementsbynodesandfindsystemstiffnessmatrixofFig.3.(15points)（见lecture6第2、3页）Note:Fig.3这个题找的是单元和总体的下标对应，在所有的单元内部，都有5421①②③3220231011eK112233110132022FuFuFu这里的下标都是单元内的下标。对于单元2单元下标1,2,3对应总体下标1,2,3对于单元1，局部下标1,2,3对应总体下标1,5,3对于单元3，局部下标1,2,3对应总体下标4,3,2然后对号入座叠加总刚1110011322200022223120011010203K2100115400047120011010203单元的标号一般以逆时针为其标号顺序ElementNode1Node2Node3115321323234写出每一个单元矩阵的刚度矩阵1115131515553313533kkkkkkkkkk1113122313332212322kkkkkkkkkk2223243323334424344kkkkkkkkkk由此写出总刚度矩阵122201111213141523233022232425123133343530444515511010120101212100033002322135222000220310203kkkkkkkkkkkkkkkk形成总刚度矩阵，只需把三个单元里的元素一一填到总刚度矩阵里面即可，如总刚度矩阵里的1211k由单元1和单元2里的元素11k组成（相加），而014k表示14节点不同时出现在某一个单元里，数值为零；刚度矩阵是对称矩阵。6.Considerthemeshwithtwofour-nodequadrilateralelementsasdepictedinFig.4.Letthephysicalvariable,saytemperatureT,tobesolvedbedescribedbyxyayaxaayxT4321),(Ofcourse,eachelementingeneralhasdifferentsai'.(1)Explainthatthecompatibilityconditionisnotsatisfiedalongtheinter-elementboundarybyanymethod.(10points)(2)Explainthattheabovecompatibilityconditionissatisfiediftheiso-parametricformulationisused.(10points)Fig.4在平面中，由于采用了双线性函数,矩形单元内的应力是线性变化的，与三角元相比，更好地反映了单元内实际应力的变化状况。但矩形单元不能适应曲线边界和非正交的直线边界。如对任意四边形，采用矩形单元的双线性位移函数，则沿边界上（单元的公共边界）位移不再是线性变化的，这样其位移的连续性将得不到保证。将原来的任意四边形单元（子单元）变换为一个正方形单元（母单元）。显然，母单元是正方形，便可以应用矩形单元的双线性位移函数。沿其边界也就线性化了，从而位移协调也就得到了保证。这样，我们取子单元来自结构，它代表了真实结构的几何特征，然后通过坐标变换转换到母单元上去，进行一系列有限元运算。它可以保证各单元公共边界上的位移连续性（这一条是有限元收敛于真实结果的最重要条件）。从而保证了计算结果的正确性。对于四结点平面等参元，由于相邻单元的交界线，可由线上的两个结点坐标唯一确定，因此交界线上的形函数是相同的，而且交界线上的位移只与该线上的结点位移有关，而与其它结点位移无关，因此，交界线上的位移可由该线上的结点位移唯一确定，即单元的协调性得到满足。（1）矩形单元不能适应曲线边界和非正交的直线边界。如对任意四边形，采用矩形单元的双线性位移函数，则沿边界上（单元的公共边界）位移不再是线性变化的，这样其位移的连续性将得不到保证。公共边方程为y=kx+b,将y=kx+b代入，为二次函数，非线性，两个点无法确定位移，因此不相容或不协调。（二次曲线必须由三个点确定，若此时为举行单元，则有，y=b或x=a,即其中一个量为常数，代入双线性函数后仍为一次函数，可由两个边界点来确定位移。）（2）采用坐标变换法，将任意四边形进行等参变换。（等参变换后化为正方形，边界线的方yx0①②123456程变为1,1）对于四结点平面等参元，由于相邻单元的交界线，可由线上的两个结点坐标唯一确定，因此交界线上的形函数是相同的，而且交界线上的位移只与该线上的结点位移有关，而与其它结点位移无关，因此，交界线上的位移可由该线上的结点位移唯一确定，即单元