图算法基础知识

图算法（一）GraphAlgorithms图●图G=(V,E)■V=顶点的非空有限集■E=边集=VV的子集，V中顶点对，边的有限集。■|E|=O(|V|2)●简单图(SampleGraph)任意两个顶点最多只有一条边，且每个点都没有连接到自身的边。●完全图(CompleteGrapth)若有n个顶点的无向图n(n-1)/2条边，则此图为完全图。图的扩展●扩展:■连通图（connectedgraph）从图中每一顶点都有到其它顶点的路径。■无向图（undirectedgraph）:○边(u,v)=边(v,u)有向图（directedgraph）:○(u,v)表示从顶点u到顶点v的一条有向边,记为uv○一个不含有环的有向图称为无环有向图(Directedacyclicgraphs,DAG）。■加权图（weightedgraph）图中不是边就是顶点与权关联，例如：公路交通图，边以距离w为权。图●通常用边数|E|和顶点数|V|描述运行时间。■无向图中0≤|E|≤|V|(|V|-1)/2■有向图中0≤|E|≤|V|(|V|-1)■若|E||V|2，图是稠密的dense■若|E||V|，图是稀疏的sparse●对稠密图和稀疏图使用不同的数据结构图的表示●假设V={1,2,…,n}●邻接矩阵（adjacencymatrix）将图表示成一个nxn矩阵A:■A[i,j]=1若边(i,j)E(或边的权wij)=0若边(i,j)E图:邻接矩阵●Example:1243A123410110200103000040010有向图非对称矩阵图:邻接矩阵●Example:1243adbcA1234123??4图:邻接矩阵●Example:1243adbcA123410ad0200b030000400c0图:邻接矩阵●Example:12435143A123410350200103000040040图:邻接矩阵●Example:1243adbcA123410ad02a0b03db0c400c0无向图对称矩阵图:邻接矩阵●邻接矩阵的实现constmaxlength=100{最大顶点数}typegraph=array[1..maxlength,1..maxlength]ofinteger;二维数组●输入和查看一遍邻接矩阵需要多少时间？●答:O(|V|2)●存储一个邻接矩阵需要多少存储空间？●答:O(|V|2)●稀疏图（|E||V|或|E||V|),邻接矩阵是稀疏矩阵，浪费空间，因此采用邻接表更有效。图:邻接矩阵图:邻接表●邻接表:对每个顶点vV,将v的所有邻接点存放在一个列表中。●Example:■Adj[1]={2,3}■Adj[2]={3}■Adj[3]={}■Adj[4]={3}12431243图:邻接表123nil23nil3nil43nil●邻接表的实现Typepointer=↑adjnodeadjnode=recordadjvex:integer;{该点在图中的位置}next:pointer;{指向下一个顶点的指针}infor:…;{与边有关的信息，如权值w}Adjlist=array[1..maxlength]ofpointer;图:邻接表无环有向图的拓扑排序Directedacyclicgraphs(DAG)topologicalsortDAG:不含回路的有向图称为无环有向图。检查有向图中是否存在回路的方法之一，是对有向图进行拓扑排序。如果有向图G有一个拓扑排序,则G是一个有向无环图.反之,任一有向无环图必可进行拓扑排序。何谓“拓扑排序”？按照有向图给出的次序关系，将图中顶点排成一个线性序列，对于有向图中没有限定次序关系的顶点，则可以人为加上任意的次序关系。由此所得顶点的线性序列称之为拓扑有序序列例如：对于下列有向图BDAC可求得拓扑有序序列：ABCD或ACBDBDAC反之，对于下列有向图不能求得它的拓扑有序序列。因为图中存在一个回路{B,C,D}如何进行拓扑排序？一、从有向图中选取一个没有前驱的顶点，并输出之;重复上述两步，直至图空，或者图不空但找不到无前驱的顶点为止。二、从有向图中删去此顶点以及所有以它为尾的弧;abcghdfeabhcdgfe在算法中需要用定量的描述替代定性的概念没有前驱的顶点入度为零的顶点删除顶点及以它为尾的弧弧头顶点的入度减1拓扑排序算法Functiontopsort:boolean;P140vari,count:integer;wadj:Arr3;//用来表示图的邻接表表头数组indeg:Arr1;//一维数组，存储每个顶点的入度p:wpointer;//链表，邻接表q:queue;//队列q保存入度为零且未被排序的顶点begin//算法依次对q的出队元素进行编号topsort:=true;count:=0;makenull(q);//清空队列qfillchar(indeg,sizeof(indeg),0);//数组indeg存储每个顶点入度//通过遍历邻接表，计算所有顶点的入度Fori:=1tondobeginp:=wadj[i];//顶点i的邻接表的第一个邻接点whilepnildo//依次为顶点i的所有邻接点入度加1begininc(indeg[p^.v]);p:=p^.next;end;End;//入度为0的顶点加入队列qFori:=1tondoifindeg[i]=0thenenqueue(i,q);//入队//队列q的队首顶点出队，与该顶点邻接的顶点的出度减1Whilenotempty(q)dobegini:=dequeue(q);inc(count);//计数器加1ord[i]:=count;//ord数组存储顶点i的排序后的序号p:=wadj[i];whilepnildo//该循环将顶点i的所有邻接点入度减1begindec(indeg[p^.v]);ifindeg[p^.v]=0thenenqueue(p^.v,q);p:=p^.next;endEnd//入度为0的顶点数小于n时，存在环；否则图不存在环，且可进行拓扑排序，ord数组存储的就是排序后的序号Ifcountnthenbeginwriteln(‘graphiscyclic’);topsort:=false;end;End;拓扑排序应用字母排序●给定的一组字母，并在该组字母上定义偏序关系，确定该组字母能否按此偏序关系升序排序。例如，有序序列A,B,C,D表示AB,BCandCD.在该问题中，给出一形如AB的关系集，并要求确定该序列是否有序。如果有序，输出这个序列，并输出是通过前多少关系得出的（即使之后的关系引出矛盾也不必理会）。如果存在矛盾，则输出前多少项出现的矛盾的。具体思路：每输入一组偏序关系进行一次拓扑排序。如果存在回路，输出矛盾。在不存在回路的基础上，判断每次入度为0的点是否唯一，只有保证每次只有一个点入度为0，才能保证最终的序列唯一。Input46//n=4表示字母数,2≤n≤26,m=6表示形如AB的偏序关系数AB//第1个偏序关系ACBCCDBDAB//第6个偏序关系Output4个关系后确定的有序序列：ABCD.Input32//n=3表示字母数2≤n≤26,m表示形如AB的偏序关系数AB//第1个偏序关系BA//第2个偏序关系OutputInconsistencyfoundafter2relations.