实变函数论文

实变函数课程报告姓名学号指导教师实变函数课程报告第1页共6页实变函数【摘要】实变函数是近代分析数学领域的基础知识，它把研究对象扩大到定义在可测集上的可测函数，并运用集合论的观点对函数及其定义域做更加细致的分析，使微积分在较宽松的环境中加以运用。实变函数主要以n维欧式空间为基地，重点内容是Lebesgue测度和积分的理论，而Lebesgue外测度是Lebesgue积分的基础，本文主要论述了Lebesgue外测度、测度、可测集以及可测函数的定义、性质及相关证明和应用。【关键词】Lebesgue外测度，测度，可测集，可测函数1.引言在19世纪时，数学家们已经认识到,仅有连续函数与Riemann积分的古典理论已不足以解决数学分析中的许多问题，为了克服Riemann积分在理论上的局限性，必须改造原有的积分定义，建立一种新型积分。19世纪下半叶,不少分析学家进行一系列扩充长度和面积概念的探索，逐渐形成测度概念，1898年,Borel建立了一维Borel点集的测度，法国数学家Lebesgue在1902年他的博士论文《长度、面积和积分》中系统的建立了测度论，并成功的建立起新的积分理论—Lebesgue积分（1915年,法国数学家弗雷歇提出在一般代数上建立测度，开始创立抽象测度理论，1918年，意大利数学家Caratheodory关于外测度的研究,对于现代形式测度理论的形成起了关键作用）。Riemann积分忽视了函数的变化而只从定义域方面划分小区域来构造积分和，这样做的结果是将大量的函数排除在Riemann可积函数类之外，Lebesgue积分不是从分割自变量的区域而是从分割函数值域着手构造积分和。例设)(xf在],[ba上有界，满足Mxfm)(，任给0，作分割Myyymn10其中，1iiyy，并作点集.,2,1},)(:{1nibxayxfyxEiii则对应于上面分割的积分和为||11niiiEy,其中||iE为点集iE的长度，这种积分的优点在于可以取很小，使得积分和的近似程度很高，它将积分对象从Riemann可积函数类扩充到更大一类函数——可测函数类。积分和计算的关键是点集iE的度量，对于通常的区间iE的度量就是区间的长度或体积，而对于一般的点集的度量就不是一件简单的事情，它涉及到实变函数课程报告第2页共6页在nR中如何建立一般点集的一种度量方案，这就是Lebesgue外测度与测度理论。Lebesgue外测度是对nR中一般的点集E给出的一种度量，是长度、面积和体积等概念的推广，是Lebesgue积分的基石，所以对其性质和计算的研究是非常重要的，下文即是对Lebesgue外测度的性质、可测集和可测函数的一些研究。2.Lebesgue外测度2.1Lebesgue外测度定义Def1：设nRE。若}{kI是nR中的可数个开矩体，具有kkIE1，则称}{kI为E的一个L—覆盖，我们称}}{|:|inf{1*覆盖—的为LEIImkkk为点集E的Lebesgue外测度。2.2Rn中点集的外测度性质（1）非负性：0,0**）（mEm（2）单调性：若21EE，则)()(2*1*EmEm（3）次可加性：1*1*)()(kkkkEmEm证明：0，kE的L—覆盖}{kI，使得lklkIE,1，kkllkEmI2)(||*1,lkkkkIE,11，1*1,,)(||kklklkEmI显然，},2,1,:{,lkIlk是kkE1的L—覆盖，从而有1*1*)()(kkkkEmEm。由的任意性可知结论成立。（4）距离可加性：设1E，2E是nR中的点集，若它们的距离0)(21EEd)()()(2*1*21*EmEmEEm证明：)()()(2*1*21*EmEmEEm显然成立只要证明)()()(2*1*21*EmEmEEm即可。实变函数课程报告第3页共6页设)(21*EEm，对0，作21EE的L—覆盖}{kI，使得)(||21*1EEmIkk，其中kI的边长都小于nEEd)(21，现将}{kI分为如下两组：（ⅰ）ikkiiJEJJ1121,,（ⅱ）lkkllJEJJ1221,,且其中任一矩体皆不同时含有1E与2E中的点)()(||||||)(2*1*11121*EmEmJJIEEmklkkikkk由任意性可知)()()(21*2*1*EEmEmEm综上知)()()(2*1*21*EmEmEEm（5）平移不变性：设nRE，nRx0，令},{}{00ExxxxE，则)(}){(*0*EmxEm证明：E的任一L—覆盖}{kI经过0x的平移后，}}{{0xIk仍是}{0xE的L—覆盖)(|||}{|}){(**1100EmIxIxEmkkkk，即)(}){(**0EmxEm同理若对}{0xE作向量0x平移，则有}){(}){}{(0*00*xEmxxEm，即}){()(0**xEmEm综上知)(}){(*0*EmxEm3.可测集与测度3.1可测集与测度定义Def2：设nRE，若对任意的点集nRT，有)()()(***cETmETmTm，则称E为Lebesgue可测集，简称可测集，其中T称为试验集，可测集的全体称为可测集类，简记为U。对于可测集E，其外测度称为测度记为)(Em，也就是通常所说的nR上的Lebesgue测度。证明：对0，T的L—覆盖}{kI，使得1*||)(kkITm实变函数课程报告第4页共6页)(||)())()(()()())(())(())(())(()()())()(()(1*1**1*1*1*1*1*1*1*****TmIImEImEImEImEImEImEImEImEImETmETmETETmTmkkkkckkkkckkkckkkkckkkkcc由任意性知：)()()(***cETmETmTm（注意：一般为了证明nR中任一点集E是可测集，则只需对任意一点集nRT，证明)()()(***cETmETmTm成立即可，有时也可利用0)(*Em，则UE）3.2可测集的性质（1）U；（2）若UE，则UcE；（3）若U21,EE，则U212121,,EEEEEE。（4）若),2,1(iEiU，则其并集也属于U；若进一步有)(jiEEji，则11)()(iiiiEmEm，即*m在U上满足可数可加性（或称为-可加性）。4.可测函数4.1可测函数定义Def3：设)(xf是定义在可测集nRE上的广义实值函数，若对于任意的实数t，点集})(:{txfEx是可测集，则称)(xf是E上的可测函数，或称)(xf在E上可测。4.2可测函数运算性质（1）若)(xf，)(xg是E上的实值可测函数，则下列函数①1)(Rcxcf;②)()(xgxf;③)()(xgxf都是E上可测函数证：①对于1Rt若0c，则由})(:{})(:{ctxfxtxcfx，可知。)(xcf在E上可测。实变函数课程报告第5页共6页若0c，则由})(:{})(:{ctxfxtxcfx，由)(xf在E上可测知})(:{ctxfx可测，即)(xcf在E上可测。若0c，则0)(xcf，即)(xcf在E上可测。②对于1Rt，})(:{})(:({})()(:{1iiirtxgxrxfxtxgxfx，其中}{ir是全体有理数，从而可知)()(xgxf是E上的可测函数。③首先，)(2xf在E上可测，对于1Rt，;0})(:{})(:{;0})(:{2ttxfxtxfxtEtxfx4)]()([)]()([)()(22xgxfxgxfxgxf，其中由上②知)()(xgxf在E上可测。即)()(xgxf在E上可测。（2）若)}({xfk是E上的可测函数列，则下列函数①)}({sup1xfkk;②)}({inf1xfkk;③)(limxfkk;④)(limxfkk都是E上可测函数（3）若)}({xfk是E上的可测函数列，且有)()(limxfxfkk，则)(xf是E上的可测函数。5.Lebesgue积分5.1Lebesgue积分的定义Def4：设)(xf是mEREn上的非负可测函数，我们定义)(xf是E上的勒贝格积分EEnxfxhRxhdxxhdxxf})(,)({sup)()()(上的非负可测简单函数是这里的积分可以是，若Edxxf)(，则称)(xf在E上Lebesgue可积的。设)(xf是nRE上的可测函数，若积分Edxxf)(，Edxxf)(至少有一个是有极限值，则称EEEdxxfdxxfxdxf)()()()(为)(xfE上可积函数的全体记作)(1EL。5.2Lebesgue积分与Riemann积分的关系实变函数课程报告第6页共6页Th1：设)(xf是定义在有界闭区间[a,b]上的有界函数，则)(xf在[a,b]上是Riemann可积的充要条件是)(xf在[a,b]上的不连续点集是零测集。Th2：若)(xf在有界闭区间[a,b]上是Riemann可积的，则)(xf在[a,b]上也是Lebesgue可积的，其积分值相同。6.小结Lebesgue外测度是对nR中一般的点集E给出的一种度量，是长度、面积和体积等概念的推广，是Lebesgue积分的基石，它成功的解决了Riemann积分只适用于连续函数的的最大缺限，所以对其性质和计算的研究是非常重要的，本论文主要论述了它的一些性质和相关的证明。首先，给出了Lebesgue外测度的定义；接着着重指出和证明了外测度具有的非负性、单调性、次可数可加性、距离可加性、平移不变性这五大主要性质；然后给出了测度的定义与性质；最后延伸介绍了可测数函数与Lebesgue积分。7.参考文献[1]胡适耕.实变函数(第二版）[M].北京:高等教育出版社，2014.[2]周民强.实变函数论（第二版）[M].北京:北京大学出版社，2008.[3]周民强.实变函数解题指南[M].北京:北京大学出版社，2007.