第二讲分数计算与巧算(拓展)

六年级上拓展与提高专题第二讲分数计算与巧算【知识要点】1．扩分法：将一个分数的分子和分母同乘以一个比1大的整数。扩分后的分数和原来分数的值相等。2．整体约分：如果分子、分母中有相同的“式子因数”，我们可把它们看作一个整体直接约分，简化计算。3．交叉约分：若干个分数连乘，利用交叉约分简化计算。4．带分数合理拆分：有些带分数，如果把它化成假分数之后再进行乘、除或其他运算，会很麻烦。假如能合理拆分，就能化繁为简。【数学趣话】中国古代的分数运算中国古代的数学经典著作《九章算术》给出了相当完整的分数运算法则，所提到的分数的算法有约分术（约分）、合分术（加法）、减分术（减法）、乘分术（乘法）、经分术（除法）、课分术（比较分数大小）、平分术（求分数平均数）。约分术是这样叙述的：“可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。”将其翻译成现代语言就是：“可半者半之”：如果分子、分母是偶数（可半者），那么分子、分母都除以2（半之）；“不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也”：如果分子、分母不全是偶数，那么对于分子、分母，总是以大的数减去小的数，反复进行，直到两个数相等。“以等数约之”：原来的分数的分子、分母同除以那个等数。从上可以看出中国古人将约分分成了三个步骤。请看1520约分的过程：因为15是奇数，“不可半之”，所以（15，20）→（15，5）→（10，5）→（5，5），得到等数5，以5约之，即：15532054。合分术是按这样的步骤进行的：母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一。这里的实、法分别指的是分数的分子和分母，因此，将它们用现在的数学符号表示出来，就是：acadbcbdbd。乘分术是按这样的步骤进行的：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。用现在的数学符号表示出来，就是acacbdbd。这些方法和我们现在所学的分数的运算是相同的。【典例精析】例题1一个分数约分后为411，如果原分数的分母与分子之差为63，求原分数。分析：将原分数的分子和分母同乘以(kk≠0的整数），扩分后的分数和原来分数的值相等。解：设原分数为0aabb、根据题意得41163abba设：4,11akbk114639436,11993699bakkkakbkab例题2分数17的分子与分母同时加某个自然数，得到另一个分数35，求此自然数。分析：利用方程求解分子与分母同时所加的自然数的值。解：设分子与分母同时加的自然数为x.根据题意得13758xxx解得所以，此自然数为8.例题3计算：20093.4693.53.5693.4分析：可以清楚地看到分子的括号部分可以通过乘法意义转化成与分母相同的一个算式使计算简便。解：20093.4693.53.5693.43.4693.52009(3.40.1)693.43.4693.520093.4696.93.43.4693.520093.4693.52009例题4计算：45513262223131171113111317131719171923分析：先把分子分解素因数，约分后就可以获得结果解：4551326222313117111311131713171917192357136131791319319237111311131713171917192356931111171712117例题5计算：123456789(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)2345678910分析：先把每一个括号里的结果计算出来，再利用交叉约分就可与获得结果解：22222222123456789(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)2345678910149162536496481234567891012345678923456789101234567891034678936288例题6计算：411615359分析：把带分数4116159化为53的倍数加上一个带分数，然后再用一些计算性质即可简化计算。解：41161535941(5332)53591591(533)59531533153353595333593359【小试牛刀】练习1一个分数约分后为57，如果原分数的分母与分子之和为72，求原分数。练习2分数19911993的分子与分母同时加多大的整数，使新分数为19941995练习3计算：276543275276543267练习4计算：84294440858235357571171113练习5将2006减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14……最后减去余下的12006，那么这时剩下的数是多少？练习6计算：111563333711281