一元一次方程知识点整理

1七年级上一元一次方程知识点整理一、本章知识点梳理：知识点一：方程的相关概念知识点二：解方程知识点三：用方程解应用题二、各知识点分类讲解知识点一：方程的有关概念（1）概念总结1.方程：含有未知数的等式就叫做方程.注意未知数的理解，nmx,等，都可以作为未知数2．一元一次方程：只含有一个未知数(元)，并且未知数的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程。⑴方程：含有未知数的叫做方程；使方程左右两边值相等的，叫做方程的解；求方程解的叫做解方程.注意:重点区分:方程的解与解方程.注：⑴方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程。⑵方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论。理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:①0a时，方程有唯一解abx；②0,0ba时，方程有无穷解；③0,0ba时，方程无解。⑵一元一次方程：在整式方程中，只含有个未知数，并且未知数的次数是，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为0a.3.判断一元一次方程的条件1.首先是一元一次方程。2.其次是必须只含有一个未知数3.未知数的指数是14.分母中不含有未知数例1:判定下列那些方程，那些是一元一次方程？0x，712x，3)813(4)5(21,01002,2,01xxxyxxx0)(22xxx注意：1、分式的含义，分式不能在方程中出现。2、必须进行方程的化简，最后的结果中，仍然满足满足一元一次方程的定义时才可。3、是字母，但不是未知数，是一个常数。（2）典型例题2例1、下列方程①313262xx②4532xx③2（x+1）+3=x1④3(2x+5)-2(x-1)=4x+6.一元一次方程共有()个.A.1B.2C.3D.4例2、如果(m-1)x|m|+5=0是一元一次方程，那么m＝＿＿＿．例3、一个一元一次方程的解为2，请写出一个这样的一元一次方程.知识点二：解方程1：等式的基本性质等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍是等式。用式子形式表示为：如果a=b，那么a±c=b±c。等式的性质(2)：等式两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍是等式。用式子形式表示为：如果a=b，那么ac=bc;如果a=b(c≠0)，那么ac=bc⑴等式：用等号“=”来表示关系的式子叫等式.⑵性质：等式的性质①如果ba，那么ca；等式的性质②如果ba，那么ac；如果ba0c，那么ca.要点诠释：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。即：（其中m≠0）特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：6.12.045.03xx将其化为：6.12401053010xx。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。典型例题例1、已知等式523ba，则下列等式中不一定．．．成立的是（）（A）;253ba（B）;6213ba（C）;523bcac（D）.3532ba例2、下列说法正确的是（）A、在等式ab=ac中，两边都除以a，可得b=cB、在等式a=b两边都除以c2+1可得1122cbcaC、在等式acab两边都除以a，可得b=cD、在等式2x=2a一b两边都除以2，可得x=a一b例3、将等式4x=2x+8变形为x=4,下列说法正确的是（）A运用了等式的性质1，没有运用等式的性质2B运用了等式的性质2，没有运用等式的性质1C既运用了等式的性质1，又运用等式的性质2D等式的两条性质都没有运用33.解一元一次方程的一般步骤常用步骤具体做法依据注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数等式基本性质2防止漏乘（尤其整数项），注意添括号；去括号一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号去括号法则、分配律注意变号，防止漏乘；移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)等式基本性质1移项要变号，不移不变号；合并同类项把方程化成ax＝b(a≠0)的形式合并同类项法则计算要仔细，不要出差错；系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x＝等式基本性质2计算要仔细，分子分母勿颠倒典型例题例1.巧解含有绝对值的方程|x－2|－3＝0思路点拨：解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元一次方程。对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即若|x|＝m，则x＝m或x＝－m；也可以根据绝对值的几何意义进行去括号，如解法二。解法一：移项，得|x－2|＝3当x－2≥0时，原方程可化为x－2＝3，解得x＝5当x－2＜0时，原方程可化为－(x－2)＝3，解得x＝－1。所以方程|x－2|－3＝0的解有两个：x＝5或x＝－1。解法二：移项，得|x－2|＝3。因为绝对值等于3的数有两个：3和－3，所以x－2＝3或x－2＝－3。分别解这两个一元一次方程，得解为x＝5或x＝－1。例2.运用拆项法解方程：思路点拨：注意到，在解有分母的一元一次方程时，可以不直接去分母，而是逆用分数加减法法则，拆项后再合并，有时可以使运算简便。解：原方程逆用分数加减法法则，得移项、合并同类项，得。4系数化为1，得例3.利用整体思想解方程：思路点拨：因为含有的项均在“”中，所以我们可以将作为一个整体，先求出整体的值，进而再求的值。解：移项通分，得：化简，得：移项，系数化1得：一元一次方程练习题1、2（x－5）＋（x－4）＝3（2x－1）－（5x＋3）2、6531223xxx3、14.01.05.06.01.02.0xx4、xx2214132235、k取什么整数时，方程2kx-4=(k+2)·x的解是正整数？6、小张在解方程1523xa（x为未知数）时，误将-2x看成2x得到的解为3x，请你求出原来方程的解龙文教育--教育是一项良心工程知识点三：列一元一次方程解应用题一、列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．（4）解方程．（5）检验，看方程的解是否符合题意．（6）写出答案．二、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答。三、常见的一些等量关系常见列方程解应用题的几种类型：类型基本数量关系等量关系(1)和、差、倍、分问题①较大量＝较小量＋多余量②总量＝倍数×倍量抓住关键性词语(2)等积变形问题变形前后体积相等(3)行程问题相遇问题路程＝速度×时间甲走的路程＋乙走的路程＝两地距离追及问题同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程同时不同地出发：前者走的路程＋两地距离＝追者所走的路程顺逆流问题顺流速度＝静水速度＋水流速度逆流速度＝静水速度－水流速度顺流的距离＝逆流的距离(4)打折销售问题售价=标价（原价）×折数/10商品利润＝商品售价－商品进价利润率＝×100％售价＝进价×(1＋利润率)抓住价格升降对利润率的影响来考虑龙文教育--教育是一项良心工程(5)工程问题工作总量＝工作效率×工作时间各部分工作量之和＝1(6)数字问题设一个两位数的十位上的数字、个位上的数字分别为a，b，则这个两位数可表示为10a＋b抓住数字所在的位置或新数、原数之间的关系(7)储蓄问题利息＝本金×利率×期数本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数×(1－利息税率)(8)按比例分配问题甲∶乙∶丙＝a∶b∶c全部数量＝各种成分的数量之和(设一份为x)(9)日历中的问题日历中每一行上相邻两数，右边的数比左边的数大1；日历中每一列上相邻的两数，下边的数比上边的数大7日历中的数a的取值范围是1≤a≤31，且都是正整数四、各类型题型分类讲解1.和、差、倍、分问题：增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现.（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.例1：兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？解：设x年后，兄的年龄是弟的年龄的2倍，则x年后兄的年龄是15+x，弟的年龄是9+x．由题意，得2×（9+x）=15+x18+2x=15+x，移向得：2x-x=15-18∴x=-3答：3年前兄的年龄是弟的年龄的2倍．（点拨：-3年的意义，并不是没有意义，而是指以今年为起点前的3年，是与3年后具有相反意义的量）1.一个数的3倍比它的2倍多10，若设这个数为x，可得到方程__________.2.用一根长80厘米的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多10厘米，则这个长方形的长和宽各是_______、________.面积是_______.2.等积变形题型等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为：①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积。典型例题：1、一块正方形铁皮，四角截去4个一样的小正方形，折成底面边长是50cm的无盖长方体盒子，容积是450003cm.求原来正方形铁皮的边长。龙文教育--教育是一项良心工程、用长7.2m的木料做成如图所示的“日”字形窗框，窗的高比宽多0.6m。求窗的高和宽。（不考虑木料加工时损耗）3、鱼儿离不开水，用一个底面半径为20厘米，高为45厘米的圆柱形的塑料桶给一个长方形的玻璃养鱼缸倒水，养鱼缸的长为120厘米、宽为40厘米、高为1米，将满满一桶水倒下去，鱼缸里的水会升高多少？3.行程问题：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题：快行距－慢行距＝原距（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．例1甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？解：设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，140x+90(x+1)=480解：设x小时后两车相距600公里，由题意得，(140+90)x+480=600解：设x小时后两车相距600公里，由题意得，(140－90)x+480=600解：设x小时后快车追上慢车。由题意得，140x=90x+480解：设快车开出x小时后追上慢车。由题意得，140x=90(x+1)+480例2已知轮船逆水前进的速度为m千米/时，水流速度为2千米/时，则轮船在静水中的速度是__________。1.A、B两地相距30千米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。已知甲比乙每小时多走1千米，经过2.5小时两人相遇，求甲、乙两人的速度？2、（环型跑道问题）一条环形跑道长400米，甲、乙两人练习赛跑，甲每分钟跑350米，乙每分钟跑250米。（1）若两人同时同地背向而行，几分钟后两人首次相遇？变式：几分钟后两人二次相遇