初三函数图象平移及其典型例题

初中数学辅导个性化教案（内页）二次函数的图像教学目标：1、经历二次函数图像平移的过程；理解函数图像平移的意义。2、了解2axy，2)(mxay，kmxay2)(三类二次函数图像之间的关系。3、会从图像的平移变换的角度认识kmxay2)(型二次函数的图像特征。教学重点：从图像的平移变换的角度认识kmxay2)(型二次函数的图像特征。教学难点：对于平移变换的理解和确定，学生较难理解。一、知识回顾二次函数2axy的图像和特征：1、名称；2、顶点坐标；3、对称轴；4、当oa时，抛物线的开口向，顶点是抛物线上的最点，图像在x轴的(除顶点外)；当oa时，抛物线的开口向，顶点是抛物线上的最点图像在x轴的(除顶点外)。二、合作学习在同一坐标系中画出函数图像221xy，,)2(212xy2)2(21xy的图像。（1）请比较这三个函数图像有什么共同特征？（2）顶点和对称轴有什么关系？（3）图像之间的位置能否通过适当的变换得到？（4）由此，你发现了什么？三、探究二次函数2axy和2)(mxay图像之间的关系1、结合学生所画图像，引导学生观察,)2(212xy与221xy的图像位置关系，直观得出221xy的图像向左平移两个单位,)2(212xy的图像。教师可以采取以下措施：①借助几何画板演示几个对应点的位置关系，如：（0，0）向左平移两个单位（-2，0）（2，2）向左平移两个单位（0，2）；（-2，2）向左平移两个单位（-4，2）②也可以把这些对应点在图像上用彩色粉笔标出，并用带箭头的线段表示平移过程。2、用同样的方法得出221xy的图像向右平移两个单位2)2(21xy的图像。3、请你总结二次函数y=a(x+m)2的图象和性质.2axy（0a）的图像个单位时向右平移当个单位向左平移时当m0mm0m2)2(21xy的图像。函数2)(mxay的图像的顶点坐标是（-m,0）,对称轴是直线x=-m初中数学辅导4、做一做（1）、抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2y=-3(x-1)2y=-4(x-3)2（2）、填空：①、由抛物线y=2x²向平移个单位可得到y=2(x+1)2②、函数y=-5(x-4)2的图象。可以由抛物线向平移4个单位而得到的。3、对于二次函数2)4(31xy，请回答下列问题：①把函数231xy的图像作怎样的平移变换，就能得到函数2)4(31xy的图像？②说出函数2)4(31xy的图像的顶点坐标和对称轴。第3题的解答作如下启发：这里的m是什么数？大于零还是小于零？应当把231xy的图像向左平移还是向右平移？在此同时用平移的方法画出函数2)4(31xy的大致图像（事先画好函数231xy的图像），借助图像有学生回答问题。五、探究二次函数kmxay2)(和2axy图像之间的关系1、在上面的平面直角坐标系中画出二次函数3)2(212xy的图像。首先引导学生观察比较,)2(212xy与3)2(212xy的图像关系，直观得出：,)2(212xy的图像个单位向上平移33)2(212xy的图像。（结合多媒体演示）再引导学生刚才得到的221xy的图像与,)2(212xy的图像之间的位置关系，由此得出：只要把抛物线221xy先向左平移2个单位，在向上平移3个单位，就可得到函数3)2(212xy的图像。函数解析式图像的对称轴图像的顶点坐标221xy,)2(212xy3)2(212xy3、总结kmxay2)(的图像和2axy图像的关系2axy（0a）的图像个单位时向右平移当个单位向左平移时当m0mm0m2)2(21xy的图像初中数学辅导个单位时向下平移当个单位向上平移时当m0km0kkmxay2)(的图像。kmxay2)(的图像的对称轴是直线x=-m，顶点坐标是（-m，k）。口诀：（m、k）正负左右上下移（m左加右减k上加下减）1、函数kmxay2)(的图像和函数2axy图像之间的关系。2、函数kmxay2)(的图像在开口方向、顶点坐标和对称轴等方面的性质。二次函数的图像教学目标：1、了解二次函数图像的特点。2、掌握一般二次函数cbxaxy2的图像与2axy的图像之间的关系。3、会确定图像的开口方向，会利用公式求顶点坐标和对称轴。教学重点：二次函数的图像特征教学难点：例2的解题思路与解题技巧。一、回顾知识1、二次函数kmxay2)(的图像和2axy的图像之间的关系。2、讲评上节课的选作题对于函数122xxy，请回答下列问题：（1）对于函数122xxy的图像可以由什么抛物线，经怎样平移得到的？（2）函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么？思路：把122xxy化为kmxay2)(的形式。=2)1(2)1(2)12()12(2222xxxxxx在2)1(2xy中，m、k分别是什么？从而可以确定由什么函数的图像经怎样的平移得到的？二、探索二次函数cbxaxy2的图像特征1、问题：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的？学生有难度时可启发：通过变形能否将y=ax²+bx+c转化为y=a(x+m)2+k的形式？cbxaxy2=abacabxaacababxabxaacxabxa44)2()2()2()(222222由此可见函数cbxaxy2的图像与函数2axy的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移得到。221yxx初中数学辅导2、二次函数cbxaxy2的图像特征（1）二次函数cbxaxy2(a≠0)的图象是一条抛物线；（2）对称轴是直线x=ab2，顶点坐标是为（ab2，abac442）(3)当a0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。当a0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。三、巩固知识1、例1、求抛物线253212xxy的对称轴和顶点坐标。有由学生自己完成。师生点评后指出：求抛物线的对称轴和顶点坐标可以采用配方法或者是用顶点坐标公式。3、（补充例题）例2已知关于x的二次函数的图像的顶点坐标为（-1，2），且图像过点（1，-3）。（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数的图像与坐标轴的交点坐标。(此小题供有余力的学生解答)分析与启发：（1）在已知抛物线的顶点坐标的情况下，将所求的解析式设为什么比较简便？四、小结1、函数cbxaxy2的图像与函数2axy的图像之间的关系。2、函数cbxaxy2的图像在对称轴、顶点坐标等方面的特征。3、函数的解析式类型：一般式：cbxaxy2顶点式：kmxay2)(2.（2012广东佛山8分）(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2＋bx＋c的解析式；①y随x变化的部分数值规律如下表：②有序数对（－1，0），（1，4），（3，0）满足y=ax2＋bx＋c；③已知函数y=ax2＋bx＋c的图象的一部分（如图）．x－10123y03430初中数学辅导(2)直接写出二次函数y=ax2＋bx＋c的三个性质．3.（2012广东梅州10分）（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2=﹣p，x1•x2=q．（2）已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值．【答案】（1）证明：∵a=1，b=p，c=q，p2﹣4q≥0，∴1212bcxx=pxx=qaa，。（2）解：把（﹣1，﹣1）代入y=x2+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）。∵d=|x1﹣x2|，∴d2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1•x2=p2﹣4q=p2﹣4p+8=（p﹣2）2+4。∴当p=2时，d2的最小值是4。4.（2012浙江杭州8分）当k分别取﹣1，1，2时，函数y=（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；初中数学辅导若有，请求出最大值．【答案】解：∵当开口向下时函数y=（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k取最大值∴k﹣1＜0，解得k＜1。∴当k=﹣1时函数y=（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k有最大值，当k=1，2时函数没有最大值。∴当k=﹣1时，函数y=﹣2x2﹣4x+6=﹣2（x+1）2+8。∴最大值为8。【考点】二次函数的最值。【分析】首先根据函数有最大值得到k的取值范围，然后判断即可。求最大值时将函数解析式化为顶点式或用公式即可。5.（2012江苏徐州8分）二次函数2y=x+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）。（1）求b、c的值；（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；（3）在所给坐标系中画出二次函数2y=x+bx+c的图象。【答案】解：（1）∵二次函数2y=x+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0），∴3=16+4b+c0=9+3b+c，解得b=4c=3。（2）∵该二次函数为22y=x4x+3=x21。∴该二次函数图象的顶点坐标为（2，－1），对称轴为x=1。（3）列表如下：x···01234···y···30103···描点作图如下：初中数学辅导6.（2012湖北荆州12分）已知：y关于x的函数y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值．【答案】解：（1）当k=1时，函数为一次函数y=﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点。当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y=0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2=0．△=（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1。综上所述，k的取值范围是k≤2。（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1。由题意得（k﹣1）x12+（k+2）=2kx1（*），将（*）代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k（x1+x2）=4x1x2。又∵x1+x2=2kk1，x1x2=k+2k1，∴2k•2kk1=4•k+2k1，解得：k1=﹣1，k2=2（不合题意，舍去）。∴所求k值为﹣1。②如图，∵k1=﹣1，y=﹣2x2+2x+1=﹣2（x﹣12）2+32，且﹣1≤x≤1，由图象知：当x=﹣1时，y最小=﹣3；当x=12时，y最大=32。∴y的最大值为32，最小值为﹣3。7.（2012山东淄博8分）已知：抛物线21y(x1)4．（1）写出抛物线的对称轴；（2）完成下表；x…−7−313…初中数学辅导y…−9−1…（3）在下面的坐标系中描点画出抛物线的图象．【答案】解：（1）抛物线的对称轴为x=－1。（2）填表如下：x…−7－5−3－1135…y…−9－4－10−1－4－9…（3）描点作图如下：