南京大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练空间几何体

南京大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练：空间几何体本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．体积为43的球的内接正方体的棱长为()A．2B．2C．3D．5【答案】B2．如图，在三棱锥S-ABC中，SA=SC=AB=BC，则直线SB与AC所成角的大小是()A．30ºB．45ºC．60ºD．90º【答案】D3．如图一个封闭的立方体，它6个表面各标出1、2、3、4、5、6这6个数字，现放成下面3个不同的位置，则数字l、2、3对面的数字是()A．4、5、6B．6、4、5C．5、4、6D．5、6、4【答案】C4．下列命题正确的是()A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。【答案】C5．对于四面体ABCD，给出下列命题：①相对棱AB与CD所在的直线异面；②由顶点A作四面体的高，其垂足是BAD的三条高线的交点；③若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；④分别作出三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4【答案】C6．下列三个命题，其中正确的有()①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的六面体是棱台.A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A7．如果棱长为2cm的正方体的八个顶点都在同一个球面上，那么球的表面积是()A．8πcm2B．12πcm2C．16πcm2D．20πcm2【答案】B8．下列正方体或正四面体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是()【答案】D9．下面图形中是正方体展开图的是()【答案】A10．圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是()A．SB．S2C．S4D．S332【答案】C11．在正三棱锥PABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，4,8ABPA,过A作与,PBPC分别交于D和E的截面，则截面ADE的周长的最小值是()A．9B．10C．11D．12【答案】C12．下列说法正确的是()A．任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关B．任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关C．有的物体的三视图与物体的摆放位置无关D．正方体的三视图一定是三个全等的正方形.【答案】C第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知)0,1(A,)1,2(B,)1,1(C.若将坐标平面沿x轴折成直二面角,则折后BAC的余弦值为【答案】325，14．自半径为R的球面上一点P引球的两两垂直的弦PA、PB、PC,则222PCPBPA=____________【答案】24R15．以三棱柱的顶点为顶点共可组成个不同的三棱锥？【答案】1216．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3。【答案】6三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=21AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1，B，M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.(Ⅰ）求证：EM∥平面A1B1C1D1；(Ⅱ）求二面角B—A1N—B1的正切值.【答案】解法一：(Ⅰ）证明：取A1B1的中点F，连EF，C1F∵E为A1B中点∴EF∥21BB1又∵M为CC1中点∴EF∥C1M∴四边形EFC1M为平行四边形∴EM∥FC1而EM平面A1B1C1D1.FC1平面A1B1C1D1.∴EM∥平面A1B1C1D1(Ⅱ）由（Ⅰ）EM∥平面A1B1C1D1EM平面A1BMN平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N∴A1N//EM//FC1∴N为C1D1中点过B1作B1H⊥A1N于H，连BH，根据三垂线定理BH⊥A1N∠BHB1即为二面角B—A1N—B1的平面角设AA1=a，则AB=2a，∵A1B1C1D1为正方形∴A1H=a5又∵△A1B1H∽△NA1D1∴B1H=54522aaaa在Rt△BB1H中，tan∠BHB1=455411aaHBBB即二面角B—A1N—B1的正切值为45解法二:(Ⅰ）建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2a,AA1=a(a0)，则A1（2a，0，a），B（2a,2a,0）,C（0，2a，0），C1（0，2a，a）∵E为A1B的中点，M为CC1的中点∴E（2a,a,2a），M（0，2a,2a）∴EM//A1B1C1D1(Ⅱ）设平面A1BM的法向量为n=（x,y,z）又BA1=（0，2a,－a）)2,0,2(aaBM由BMnBAn,1，得24,02202zyzxazaxazay),2,4(aaan而平面A1B1C1D1的法向量为)1,0,0(1n.设二面角为，则214||||||cos|11nnnn又：二面角为锐二面角214cos，从而45tan18．如图，DC平面ABC，EB//DC，AC=BC=EB=2DC=2，90ACB，P、Q分别为DE、AB的中点。(Ⅰ）求证：PQ//平面ACD；(Ⅱ）求几何体B—ADE的体积；(Ⅲ）求平面ADE与平面ABC所成锐二面角的正切值。【答案】(Ⅰ）证明：取BC的中点M，连接,PMQM，易证平面PQMACD∥平面又.PQPQMPQACD平面∥平面(Ⅱ）,,DCABCACDCACBCACBCDE平面又平面1433BADEBDESSSACA-BDE(Ⅲ）,,,2,BCEDFAFAFCFBC延长、交于点连接则为所求二面角的棱，易知,,CCGAFGDGDGC过作于连接由已知，为所求二面角的平面角，(10分）2,tan2DGC因为CD=1,易得CG=2所以注：用向量法请对应给分.(法2）以C为原点，CA、CB、CD所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系C－xyz,则A（2，0，0）B（0，2，0）C（0，0，0）D（0，0，1）E（0，2，2）则(2,0,1),(0,2,1),(0,0,1)ADDECD设面ADE法向量为(,,)nxyz则020200nADxzyznDE可取6(1,1,2)cos,3CDnnCDnCDn，则即面ADE与面ABC所成的二面角余弦值为63易得面ADE与面ABC所成二面角的正切值为2219．如图，在四棱锥A-ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点.(1）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；(2）求证：平面BDE⊥平面SAC；(3）当二面角E-BD-C的大小为45°时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由.【答案】（Ⅰ）连接，由条件可得∥.因为平面，平面，所以∥平面.(Ⅱ）法一：证明：由已知可得，,是中点，所以，又因为四边形是正方形，所以.因为，所以.又因为，所以平面平面.-(Ⅱ）法二：证明：由（Ⅰ）知，.建立如图所示的空间直角坐标系.设四棱锥的底面边长为2，则，，，，，.所以，.设（），由已知可求得.所以，.设平面法向量为，则即令，得.易知是平面的法向量.因为，所以，所以平面平面.(Ⅲ）设（），由（Ⅱ）可知，平面法向量为.因为，所以是平面的一个法向量.由已知二面角的大小为.所以，所以，解得.所以点是的中点.20．如图，已知在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DCAD，AB//DC，DC=DD1=2AD=2AB=2．(Ⅰ）求证：DB平面B1BCC1；(Ⅱ）设E是DC上一点，试确定E的位置，使得D1E//平面A1BD，并说明理由．【答案】（I）设E是DC的中点，连结BE，则四边形DABE为正方形，CDBE．故2BD，2CB，2CD，90DBC∠，即BDBC．又1BDBB，1.BBBCBBD平面11BCCB，(II）证明：DC的中点即为E点，连D1E,BEABDE//ABDE∴四边形ABED是平行四边形，∴AD//BE,又AD//A1D1BE//A1D1∴四边形A1D1EB是平行四边形D1E//A1B,∵D1E平面A1BD∴D1E//平面A1BD.21．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点．求证：（1）PA∥平面BDE；(2）平面PAC平面BDE．【答案】（1）∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，又∵OE平面BDE，PA平面BDE，∴PA∥平面BDE．(2）∵PO底面ABCD，∴POBD，又∵ACBD，且ACPO=O∴BD平面PAC，而BD平面BDE，∴平面PAC平面BDE．22．如图，已知△ABC中∠B=300，PA⊥平面ABC，PC⊥BC，PB与平面ABC所成角为450，AH⊥PC，垂足为H．(1)求证：PBAH(2)求二面角A—PB—C的正弦值．【答案】（1）由三垂线定理易证BCAC，可得BC面PAC，也即面PBC面PAC又因为AHPC,所以AH面PBC，所以AHPB(2）过H作HEPB于E，连结AE由三垂线定理可知AEPBAEH为所求二面角的平面角令AC=1则BA=2,BC=3,PA=2.PB=22由等面积法可得AE=2AH=552sinAEH=510