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南京师大附中2014届高三模拟考试数学卷第1页共13页(第3题图)频率组距时速(km/h)8070605040300.0390.0280.0180.0100.005绝密★启用前南京师大附中2014届高三模拟考试数学2014.05注意事项:1.本试卷共4页,包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分.本试卷满分为160分,考试时间为120分钟.2.答题前,请务必将自己的姓名、班级写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答.题.纸.上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题纸.参考公式:锥体的体积公式为V=13Sh,其中S是锥体的底面面积,h是高.一.填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题..卡.相应位置上......1.设集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<4,x∈N},则A∩B=▲.2.若复数1+ai2-i(i是虚数单位)为纯虚数,则实数a=▲.3.某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域,将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图.根据图形推断,该时段时速超过50km/h的汽车辆数为▲.4.如图是一个算法流程图,则输出的S的值是▲.5.一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只黑球,2只白球,从中一次随机摸出2只球,至少有1只黑球的概率是▲.6.已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的▲条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)7.函数()sin3cos(π0)fxxxx,的单调增区间是▲.8.设实数x,y,b满足2x-y≥0,y≥x,y≥-x+b,若z=2x+y的最小值为3,则实数b的值为▲.9.设a,b均为正实数,则112abab的最小值是▲.10.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则满足不等式f(1)<f(lg(2x))的x的取值范围是▲.(第4题图)NY结束输出sn≤10开始南京师大附中2014届高三模拟考试数学卷第2页共13页11.在△ABC中,已知∠BAC=90°,AB=6,若D点在斜边BC上,CD=2DB,则AB→·AD→的值为▲.12.在平面直角坐标系xOy中,点M是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F,圆M与y轴相交于P,Q两点.若△PQM是钝角三角形,则该椭圆离心率的取值范围是▲.13.对于定义域内的任意实数x,函数f(x)=x2+(a-1)x-2a+22x2+ax-2a的值恒为正数,则实数a的取值范围是▲.14.记数列{an}的前n项和为Sn,若不等式a2n+S2nn2≥ma21对任意等差数列{an}及任意正整数n都成立,则实数m的最大值为▲.二.解答题:本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内........作答,解答时应写出文字说明.证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2b-3c3a=cosCcosA.(1)求角A的值;(2)若角6B,BC边上的中线AM=7,求ABC的面积.16.(本小题满分14分)在四棱锥P-ABCD中,∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)求证:平面PAC⊥平面PCD;(2)求证:CE∥平面PAB.17.(本小题满分14分)某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品,用半径为10cm的圆形包装纸包装.要求如下:正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合,包装纸不能裁剪,沿底边向上翻折,其边缘恰好达到三棱锥的顶点,如图所示.设正三棱锥的底面边长为xcm,体积为Vcm3.在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中,V的最大值是多少?并求此时x的值.(第17题图)图EABCDP(第16题图)图南京师大附中2014届高三模拟考试数学卷第3页共13页18.(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,两个顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0).过点D(1,0)的直线交椭圆于M,N两点,直线A1M与NA2的交点为G.(1)求实数a,b的值;(2)当直线MN的斜率为1时,若椭圆上恰有两个点P1,P2使得△P1MN和△P2MN的面积为S,求S的取值范围;(3)求证:点G在一条定直线上.19.(本小题满分16分)已知数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且满足a1+a2+a3=9,b1b2b3=27.(1)若a4=b3,b4-b3=m.①当m=18时,求数列{an}和{bn}的通项公式;②若数列{bn}是唯一的,求m的值;(2)若a1+b1,a2+b2,a3+b3均为正整数,且成等比数列,求数列{an}的公差d的最大值.(第18题图)xyGA1NDA2M南京师大附中2014届高三模拟考试数学卷第4页共13页DCBA(第21—A题图)20.(本小题满分16分)设a是实数,函数f(x)=ax2+(a+1)x-2lnx.(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当a=2时,过原点O作曲线y=f(x)的切线,求切点的横坐标;(3)设定义在D上的函数y=g(x)在点P(x0,y0)处的切线方程为l:y=h(x),当x≠x0时,若g(x)-h(x)x-x0<0在D内恒成立,则称点P为函数y=g(x)的“巧点”.当a=-14时,试问函数y=f(x)是否存在“巧点”?若存在,请求出“巧点”的横坐标;若不存在,说明理由.南京师大附中2014届高三模拟考试数学(附加题)2014.0521.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每题10分,共计20分.请在答题纸指定区域内........作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.(几何证明选讲选做题)如图,设AB、CD是圆O的两条弦,直线AB是线段CD的垂直平分线.已知6,25ABCD,求线段AC的长度.B.(矩阵与变换选做题)设矩阵Aabcd,矩阵A属于特征值11的一个特征向量为111,属于特征值24的一个特征向量为232,求ad-bc的值.南京师大附中2014届高三模拟考试数学卷第5页共13页C.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设点A,B分别在曲线C1:x=3+cosθy=4+sinθ(θ为参数)和曲线C2:ρ=1上,求线段AB的最小值.D.(不等式选做题)设a,b,c均为正数,abc=1.求证:1a+1b+1c≥a+b+c.22.【必做题】在一个盒子中放有大小质量相同的四个小球,标号分别为1,2,3,4,现从这个盒子中有放回...地先后摸出两个小球,它们的标号分别为x,y,记ξ=|x-y|.(1)求P(ξ=1);(2)求随机变量ξ的分布列和数学期望.23.【必做题】有三种卡片分别写有数字1,10和100.设m为正整数,从上述三种卡片中选取若干张,使得这些卡片上的数字之和为m.考虑不同的选法种数,例如当m=11时,有如下两种选法:“一张卡片写有1,另一张卡片写有10”或“11张写有1的卡片”,则选法种数为2.(1)若m=100,直接写出选法种数;(2)设n为正整数,记所选卡片的数字和为100n的选法种数为an.当n≥2时,求数列{an}的通项公式.南京师大附中2014届高三模拟考试数学卷第6页共13页南京师大附中2014届高三模拟考试数学参考答案及评分标准说明:1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,填空题不给中间分数.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.1.{1};2.2;3.77;4.5;5.910;6.必要不充分;7.[-π6,0];8.94;9.4;10.(0,120)∪(5,+∞);11.24;12.(0,6-22);13.-7<a≤0或a=2;14.15.二、解答题:15.解析:(1)因为(23)cos3cosbcAaC,由正弦定理得(2sin3sin)cos3sincosBCAAC,………………2分即2sincos3sincos3sincosBAACCA=3sin(A+C).………………4分因为B=π-A-C,所以sinB=sin(A+C),所以2sincos3sinBAB.南京师大附中2014届高三模拟考试数学卷第7页共13页因为B∈(0,π),所以sinB≠0,所以3cos2A,因为0A,所以6A.………………7分(2)由(1)知π6AB,所以ACBC,23C.………………8分设ACx,则12MCx,又7.AM在△AMC中,由余弦定理得2222cos,ACMCACMCCAM即222()2cos120(7),22xxxxo解得x=2.………………12分故212sin3.23ABCSx………………14分16.解析:(1)因为PA⊥平面ABCD,CD平面ABCD,所以PA⊥CD,…………………2分又∠ACD=90°,则CDAC,而PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC,因为CD平面ACD,………………4分所以,平面PAC⊥平面PCD.………………7分(2)证法一:取AD中点M,连EM,CM,则EM∥PA.因为EM平面PAB,PA平面PAB,所以EM∥平面PAB.………………9分在Rt△ACD中,AM=CM,所以∠CAD=∠ACM,又∠BAC=∠CAD,所以∠BAC=∠ACM,则MC∥AB.因为MC平面PAB,AB平面PAB,所以MC∥平面PAB.………………12分而EM∩MC=M,所以平面EMC∥平面PAB.由于EC平面EMC,从而EC∥平面PAB.………………14分证法二:延长DC,AB交于点N,连PN.因为∠NAC=∠DAC,AC⊥CD,所以C为ND的中点.而E为PD中点,所以EC∥PN.因为EC平面PAB,PN平面PAB,所以EC∥平面PAB.MEABCDPNEABCDP南京师大附中2014届高三模拟考试数学卷第8页共13页………………14分17.解析:正三棱锥展开如图所示.当按照底边包装时体积最大.设正三棱锥侧面的高为h0,高为h.由题意得:36x+h0=10,解得h0=10-36x.………………2分则h=h02-x212=(10-36x)2-x212=100-1033x,x∈(0,103).………………5分所以,正三棱锥体积V=13Sh=13×34x2×100-1033x=3x212100-1033x.………………8分设y=V2=x448(100-1033x)=100x448-10x5483,求导得y′=100x312-50x4483,令y′=0,得x=83,………………10分当x∈(0,83)时,y′>0,y随着x的增加而增大,当x∈(83,103)时,y′<0,y随着x的增加而减小,所以,当x=83cm时,y取得极大值也是最大值.………………12分此时y=15360,所以Vmax=3215cm3.答:当底面边长为83cm时,正三棱锥的最大体积为3215cm3.………………14分18.解析:(1)由题设可知a=2.………………1分因为e=32,即ca=32,所以c=3.又因为b2=a2-c2=4-3=1,所以b=1.………………2分(2)由题设可知,椭圆的方程为x24+y2=1,直线MN的方程为y=x-1.设M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程组x24+y2=1y=x-1,消去y可得5x
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