初等代数函数值域问题的求解

函数值域问题的求解函数值域问题的求解是中学阶段必修内容的重要一部分，我们已然知道，在函数的三要素中，定义域和值域起决定性作用，而值域又是由定义域和对应法则来共同确定的，研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环，对于如何求解函数的值域，是中学生经常感到苦恼的问题，甚至不知从何下手，它所涉及到的知识面十分广泛，方法也灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程、避繁就简、事半功倍的作用。所以本文现就函数值域的求解展开讨论：一、基本知识1.定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域。2.函数值域问题的基本求解思路：（1）划归为我们常见的几类基本初等函数，利用这些函数的图象和性质求解；（2）反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可求得；（3）可以从方程的角度理解函数的值域，从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程()yfx在定义域内有解的y的取值范围；特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，即利用判别式求出函数的值域。（4）可以用函数的单调性求值域。（5）其他。二、例题解析1、直接观察法对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。例1求函数11yx的值域解：由10x可得101x，所以函数的值域显然为(,0)(0,).注：对于观察法来讲，只适用于比较简单的一类函数，此种方法只需根据函数自身的定义域和固有的性质即可判断y的取值范围。2、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例2求函数1yxx的值域解：令21xt则21xt所以21ytt即221(0)1(0)tttyttt当0t时，213(+24yt），此时最小值为1，最大值为+；当0t时，213(+24yt），此时最小值为1，最大值为+；综上所述函数的值域是(1,).例3求函数221(1)yxx的值域解：因为21(1)0x即2(1)1x所以可令1cosx[0,]则2cos11cossincos1y2sin()14050442sin()12402sin()1124注：在这里，应用换元法求函数值域时，一定要注意根式下自变量的范围，而且在换元后，相应的新自变量的范围也要由原自变量的取值范围来确定，如果忽略了自变量的范围，那么最后值域的范围也就会随之扩大或是缩小，以致得出错误的结果。3、数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单。例4求函数22(2)(+8yxx）的值域解：原函数可化简得：28yxx上式可以看成数轴上点()Px到定点A(2)，(8)B间的距离之和，由上图可知，当点P在线段AB上时，28==10yxxAB当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，28=10yxxAB故所求函数的值域为[10,)例5求函数2261345yxxxx的值域解：原函数可变形为：2222(3)(02)(2)(01)yxx上式可看成x轴上的点(,0)Px到两定点A(3,2)B(2,1)的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，22min(32)(21)43yAB故所求函数的值域为[43,)注：对于给出带根式或是带平方形式的函数，我们要善于区分它与换元法之间的不同，数形结合的方法需要满足一定的条件，即它的几何意义明确，稍难一些的还需对原始函数做变形，才能得到我们想要表达出的几何意义，相反，换元法给出的题目往往比较简短，容易判断，这要引起我们的注意。4、函数单调性法例6求函数532log1xyx(210)x的值域解：令512xy，23log1yx则12,yy在[2,10]上都是增函数所以12yyy在[2,10]上是增函数当2x时，3min312log218y当10x时，5max32log933y故所求函数的值域为：1[,33]85、不等式法利用基本不等式32,3(,,)abababcabcabcR求函数的最值，其题型特征解析式是和式时，要求积为定值，解析式是积时，要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例7求函数2211(sin)(cos)4sincosyxxxx的值域解：原函数变形为：222211(sincos)sincosyxxxx22223221cscsec3tancot3tancot+2=5xxxxxx当且仅当tancotxx时，即当(kz)4xk时，等号成立故原函数的值域为：[5,+)6、综合运用方法例8求函数234241212xxxxyxx的值域。解：22432242422121121211xxxxxxyxxxxxx令tan2x，则22221cos1xx21sin12xx22211117cossinsinsin1sin22416y所以当1sin4时，max1716y当sin1时，min2y此时tan2都存在，故函数的值域为17[2,]16注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sin的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其本身固有的特点，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。其实，求解函数值域的方法远不止这些，本文只列出其中几个比较典型的，并对其每一种方法所蕴含的特性进行解析，通过例题阐释了它们的具体应用，这对中学阶段学生的学习会起到点拨的作用。