南昌大学2010级高数(上)试题及答案

第1页共9页1南昌大学2010～20011学年第一学期期末考试试卷一、填空题(每空3分，共15分)1.设2xye，1fxx且0x，则x。2.201122sinxxdx。3.反常积分221lndxxx。4.极限limln1lnnnnn。5.设32xxyxx，则dy。二、单项选择题(每小题3分,共15分)1.若fx和gx都为可导函数，则xadfxgtdtdx（）.（A）fxgx（B）fxgx（C）fxgxfxgx（D）xafxgxfxgtdt2．设32xxfxe，当0x时，fx是比x的（）（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）等价无穷小（D）非等价的同阶无穷小3．设fx在,ab上连续，则在,ab上至少有一点，使得（）（A）0f（B）0f第2页共9页2（C）bafxdxfba（D）fbfafba4．设函数12ln11113xxefxxx，在1,3e内（）（A）不满足拉格朗日定理条件；（B）满足拉格朗日定理条件且935ee；（C）满足拉格朗日定理条件，但无法求出；（D）不满足拉格朗日定理条件，但有935ee满足中值定理的结论。5．设函数sin0001sin0xxxxfxxxxx，则0x是fx的（）（A）连续点（B）可去间断点（C）跳跃间断点（D）振荡间断点三、计算题（一）（每小题8分，共24分）1．求极限sin301sinlimxxxex.2．计算不定积分11xdxe3．计算定积分120ln1xxdx第3页共9页3四、计算题（二）（每小题8分，共16分）1．求由方程21yyxxe所确定的隐函数yyx的导数dydx.2．设2220ln11txtuyduu求：dydx.22dydx.五、解答题（每小题8分，共16分）1．确定,ab的值，使点1,3是曲线32yaxbxx的拐点，并求该曲线在点1,3处的切线方程．2．设函数324xyx，求该函数的单调区间和极值．六、应用题（本题满分8分）某房地产公司有50套公寓要出租．当租金定为每月1800元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加100元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费200元整的维修费用．试问房租定为多少可获得最大收入?七、证明题（本题满分6分）设fx可导，证明：fx的两个零点之间一定有fxfx的零点．南昌大学2010～2011学年第一学期期末考试试卷及答案一、填空题(每空3分，共15分)1.设2xye，1fxx且0x，第4页共9页4则xln1x2.201122sinxxdx2。3.反常积分221lndxxx1ln2。4.极限limln1lnnnnn1。5.设32xxyxx，则dy232ln2ln1xxxxxdx.二、单项选择题(每小题3分,共15分)1.若fx和gx都为可导函数，则xadfxgtdtdx（D）.（A）fxgx（B）fxgx（C）fxgxfxgx（D）xafxgxfxgtdt2．设32xxfxe，当0x时，fx是比x的（D）（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）等价无穷小（D）非等价的同阶无穷小3．设fx在,ab上连续，则在,ab上至少有一点，使得（C）（A）0f（B）0f第5页共9页5（C）bafxdxfba（D）fbfafba4．设函数12ln11113xxefxxx，在1,3e内（B）（A）不满足拉格朗日定理条件；（B）满足拉格朗日定理条件且935ee；（C）满足拉格朗日定理条件，但无法求出；（D）不满足拉格朗日定理条件，但有935ee满足中值定理的结论。5．设函数sin0001sin0xxxxfxxxxx，则0x是fx的（C）（A）连续点（B）可去间断点（C）跳跃间断点（D）振荡间断点三、计算题（一）（每小题8分，共24分）1．求极限sin301sinlimxxxex.解:原式=30sinlimxxxx201cos1lim63xxx第6页共9页62．计算不定积分11xdxe解:令1xte则2ln1xt，221tdxdtt原式2211111dtdtttt1ln2ln111xtCexCt（或写成11ln11xxeCe）3．计算定积分120ln1xxdx解:原式112200ln1ln1xxxxdxxdx1122001ln21ln212121xdxxxln2121四、计算题（二）（每小题8分，共16分）1．求由方程21yyxxe所确定的隐函数yyx的导数dydx.解:2yyyxexey21yyxeyxe第7页共9页72．设2220ln11txtuyduu求：dydx.22dydx解:2211221tdydydtttdxtdxdtt2222112241dyddydxddytdxdtdxtdxtdxdtt五、解答题（每小题8分，共16分）1．确定,ab的值，使点1,3是曲线32yaxbxx的拐点，并求该曲线在点1,3处的切线方程．解:2321yaxbx，62yaxb由题意可知：620ab，10ab1a，3b又14y故所求的切线方程为：341yx即：410yx2．设函数324xyx，求该函数的单调区间和极值．解:函数的定义域为：,00,第8页共9页8令3810yx，得驻点：2x当,02,x时，0fx当0,2x时，0fx所以：单调增区间为：,0，2,单调减区间为：0,2极小值为：23f六、应用题（本题满分8分）某房地产公司有50套公寓要出租．当租金定为每月1800元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加100元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费200元整的维修费用．试问房租定为多少可获得最大收入?解:设房租为每月x元，则租出去的房子有：180050100x套。每月总收入为：18002005020068100100xxRxxx1682007010010050xxRxx令0Rx，得唯一驻点：3500x由于13500050R3500108900R为极大值。且为最大值。故每月每套租金为3500元时，收入最高。第9页共9页9最高收入为3500108900R（元）七、证明题（本题满分6分）设fx可导，证明：fx的两个零点之间一定有fxfx的零点．证明:设1x，2x为fx的两个零点，令xxfxe，则120xx，由fx可导，知x可导。且xxxxfxefxefxfxe由罗尔定理知：存在12,xx或21,xx，使得：0.即：0ffe由于0e0ff也即：fx的两个零点之间一定有fxfx的零点．