南航矩阵论09-10A试卷

南京航空航天大学2009级硕士研究生共5页第1页2009～2010学年第1学期《矩阵论》课程考试A卷考试日期：2010年1月12日课程编号：A000003命题教师：阅卷教师：学院专业学号姓名成绩一、（20分）设411301621A，（1）求A的特征多项式和A的全部特征值；（2）求A的不变因子、初等因子和最小多项式；（3）写出A的Jordan标准形J。（4）求可逆矩阵P，使P-1AP=J。共5页第2页二（20分）（1）设120221A，求1A，2A，A，FA；（2）设nnijCaA)(，令ijjianA,max，证明：是nnC上的矩阵范数，并且是相容范数；（3）设A,B均为n阶矩阵，并且AB=BA，证明：如果A有n个互异的特征值，则B相似于对角阵。共5页第3页三（20分）设3xR表示实数域R上次数小于3的多项式再添上与零多项式构成的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。（1）在3xR中定义线性变换T：222222)(23)(4)1(xxTxxxxTxxxT求变换T在基1,x,x2下的矩阵；（2）求T的值域R(T)和Ker(T)的维数和基；（3）在3xR中定义内积11)()(),(dxxgxfgf，3)(),(xRxgxf求出3xR的一组标准正交基。共5页第4页四（20分）（1）设4140104ttA，其中t为实参数，问t取何值时A正定；（2）设A是n阶Hermite矩阵，证明：A半正定的充分必要条件是A的特征值均为非负实数。（3）已知n阶矩阵0A，证明：1IA，并且等号成立的充分必要条件为0A。共5页第5页五（20分）（1）设111111121A，111b，（i）作出A的满秩分解，并计算A+；（ii）用广义逆矩阵判定线性方程组bAx是否相容。若相容，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解；（2）设A,B,C分别为qmqpnm,,矩阵，则矩阵方程AXB=C有解的充分必要条件时AA+CB+B=C。