利用导数研究方程的根和函数的零点教案

利用导数研究方程的根和函数的零点总结：方程0xf的根的零点函数xfy轴的交点的恒坐标的图像与函数xxfy方程xgxf的根的根方程0xgxf的零点xgxfxh。的图象的交点的横坐标与函数xfyxgy1．设a为实数，函数axxxxf23，当a什么范围内取值时，曲线xfy与x轴仅有一个交点。2、已知函数f(x)=－x2+8x,g(x)=6lnx+m（Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);（Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。解：（I）22()8(4)16.fxxxx当14,t即3t时，()fx在,1tt上单调递增，22()(1)(1)8(1)67;htfttttt当41,tt即34t时，()(4)16;htf当4t时，()fx在,1tt上单调递减，2()()8.htfttt综上，2267,3,()16,34,8,4ttthttttt　　　　　　（II）函数()yfx的图象与()ygx的图象有且只有三个不同的交点，即函数()()()xgxfx的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。22()86ln,62862(1)(3)'()28(0),xxxxmxxxxxxxxxx当(0,1)x时，'()0,()xx是增函数；当(0,3)x时，'()0,()xx是减函数；当(3,)x时，'()0,()xx是增函数；当1,x或3x时，'()0.x()(1)7,()(3)6ln315.xmxm最大值最小值当x充分接近0时，()0,x当x充分大时，()0.x要使()x的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须()70,()6ln3150,xmxm最大值最小值即7156ln3.m所以存在实数m，使得函数()yfx与()ygx的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为(7,156ln3).3、已知()fx是二次函数，不等式()0fx的解集是(0,5),且()fx在区间1,4上的最大值是12。（I）求()fx的解析式；（II）是否存在自然数,m使得方程37()0fxx在区间(,1)mm内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。恒成立问题：4：已知函数0ln2aaxaxxf在，0满足0xf恒成立，求a的取值范围。5：已知函数,ln2,22xxxgxaxxf其中0a，若对于,,0,21xx都有21xgxf恒成立，求a的取值范围。课后练习2、已知函数3()31,0fxxaxa求()fx的单调区间；若()fx在1x处取得极值，直线y=m与()yfx的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。.解析：（1）'22()333(),fxxaxa当0a时，对xR，有'()0,fx当0a时，()fx的单调增区间为(,)当0a时，由'()0fx解得xa或xa；由'()0fx解得axa，当0a时，()fx的单调增区间为(,),(,)aa；()fx的单调减区间为(,)aa。（2）因为()fx在1x处取得极大值，所以'2(1)3(1)30,1.faa所以3'2()31,()33,fxxxfxx由'()0fx解得121,1xx。由（1）中()fx的单调性可知，()fx在1x处取得极大值(1)1f，在1x处取得极小值(1)3f。因为直线ym与函数()yfx的图象有三个不同的交点，又(3)193f，(3)171f，结合()fx的单调性可知，m的取值范围是(3,1)。3、设函数329()62fxxxxa．（1）对于任意实数x，()fxm恒成立，求m的最大值；（2）若方程()0fx有且仅有一个实根，求a的取值范围．解：(1)'2()3963(1)(2)fxxxxx,因为(,)x,'()fxm,即239(6)0xxm恒成立,所以8112(6)0m,得34m，即m的最大值为34(2)因为当1x时,'()0fx;当12x时,'()0fx;当2x时,'()0fx;所以当1x时,()fx取极大值5(1)2fa;当2x时,()fx取极小值(2)2fa;故当(2)0f或(1)0f时,方程()0fx仅有一个实根.解得2a或52a.4、方程076223xx，在2,1内根的个数